핀홀 카메라 모델

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핀홀 카메라 모델은 3차원 공간에 있는 점의 좌표와 이상적인 핀홀 카메라의 이미지 평면에 투영되는 점 사이의 수학적 관계를 기술합니다. 여기서 카메라 구멍은 점으로 설명되며 빛의 초점을 맞추기 위해 렌즈가 사용되지 않습니다.예를 들어 렌즈 및 한정된 크기의 구멍으로 인해 초점이 맞지 않는 물체의 기하학적 왜곡이나 흐릿함은 모델에 포함되지 않습니다.또한 대부분의 실용적인 카메라에는 개별 이미지 좌표만 있다는 점도 고려하지 않습니다.즉, 핀홀 카메라 모델은 3D 장면에서 2D 영상으로의 매핑의 1차 근사치로만 사용할 수 있습니다.유효성은 카메라의 품질에 따라 달라지며, 일반적으로 렌즈 왜곡 효과가 증가함에 따라 이미지의 중심에서 가장자리로 감소합니다.

예를 들어 핀홀 카메라 모델이 고려하지 않은 효과 중 일부는 이미지 좌표에 적절한 좌표 변환을 적용하여 보상할 수 있습니다. 다른 효과는 고품질 카메라를 사용할 경우 무시할 수 있을 정도로 작습니다.즉, 핀홀 카메라 모델은 카메라가 3D 장면을 어떻게 묘사하는지, 예를 들어 컴퓨터 비전 및 컴퓨터 그래픽에서 설명하는 데 자주 사용될 수 있습니다.

기하학.

메모₁₂₃: 그림의 xxx 좌표계는 왼손잡이입니다. 즉, OZ축의 방향이 판독기에 익숙한 시스템과는 반대입니다.

그림에 핀홀 카메라의 매핑과 관련된 지오메트리가 표시되어 있습니다.이 그림에는 다음과 같은 기본 개체가 포함되어 있습니다.

• 원점이 O인 3D 직교 좌표계.카메라 조리개가 있는 곳이기도 합니다.좌표계의 세 축을 X1, X2, X3이라고 합니다.축 X3는 카메라의 표시 방향을 가리키며 광축, 주축 또는 주광선이라고 합니다.축 X1과 X2에 의해 가로놓인 평면은 카메라 전면 또는 주 평면입니다.
• 3D 세계가 카메라의 구멍을 통해 투영되는 이미지 평면.이미지 평면은 X1 및 X2축과 평행하며 원점 O에서 X3축의 음의 방향으로 $거리{\displaystyle }$f(\$displaystyle$f$$)에 위치합니다. 여기서 f는 핀홀 카메라의 초점 거리입니다.핀홀 카메라의 실장에서는, 화상 평면이 좌표 -f 로 X3 축과 교차하도록 배치되어 있는 것을 의미합니다.여기서 f > 0 입니다.
• 광축과 상평면의 교차점 R.이 점을 주점 또는 이미지 센터라고 합니다.
• X1, X2, X3에 상대적인 좌표$({\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {x2\mathrm{}}_{}}$ $)$ {$displaystyle(x_{1}, x_{2}, x_{3})}$에 있는 점 P.
• P점을 카메라로 투영하는 선.이것은 점 P와 점 O를 지나는 녹색 선입니다.
• 점 P를 이미지 평면에 투영하는 것으로, Q로 표시됩니다.이 점은 투영 선(녹색)과 영상 평면의 교차점에 의해 지정됩니다.어떤 실제 상황에서든 x $(\$ > $0$이라고 가정할 수 있습니다.즉, 교차점이 잘 정의되어 있음을 의미합니다.
• 또한 영상 평면에는 원점이 R이고 축 Y1과 Y2가 각각 X1과 X2와 평행한 2D 좌표계가 있습니다.이 좌표계를 기준으로 점 Q의 좌표는 ( ${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)$${$displaystyle$( $y_{1}, y_{2}}$ $)$입니다$.{\displaystyle }$

모든 투영 라인이 통과해야 하는 카메라의 핀홀 구멍은 무한히 작은 점으로 가정합니다.문헌에서는 3D 공간의 이 지점을 광학(또는 렌즈 또는 카메라)^[2] 센터라고 합니다.

공식화

다음으로 점 Q의 좌표$({\displaystyle }$${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$1,${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$2)$${$displaystyle(y_{1},y_{2})$ {displaystyle($x_2$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 3$}$ {$displaystyle(x_{1},x_{2$},$x{3})$ {displaystyle(x_{2})}} {displaystyle(x_{3})에 대해 설명합니다.이는 이전 그림과 동일한 장면을 보여주지만 이제 위에서 X2 축의 음의 방향을 내려다보는 다음 그림의 도움을 받아 수행할 수 있습니다.

이 그림에서는 두 개의 유사한 삼각형을 볼 수 있으며, 둘 다 투영 선의 일부(녹색)를 빗변으로 가지고 있습니다.왼쪽 삼각형은$$ 1({$displaystyle -y_{1})$과 f이고 $오른쪽$ 삼각형은$$ x $({$과 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 3$({$입니다$.{\displaystyle }$ 두 삼각형은 비슷하므로 다음과 같습니다.

${\displaystyle \frac{-}{}}$ ${\displaystyle \frac{{y\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ f ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle x\frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}}}$ x$$ ({$display {-y_{1}}$ {f}} = $specfrac {x_{3}})$ 또는$$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle =}$ - ${\displaystyle \frac{f{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{x\mathrm{}}_{}}{}}$ 1 ${\displaystyle \frac{{x\mathrm{}}_{}}{}}$3 ({1}= - {\$frac {f,x_{3}})$

X1 축의 음의 방향을 보면 다음과 같은 결과가 나온다.

${\displaystyle \frac{-}{}}$ ${\displaystyle \frac{{y\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ f ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{{x\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}}}$ x$$ $({display style {-y_{2}}$ {$f}}$ = $specfrac$ {$x_${$3}})$ 또는$$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\displaystyle =}$ - ${\displaystyle \frac{f{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{x\mathrm{}}_{}}{}}$ 2 ${\displaystyle \frac{{x\mathrm{}}_{}}{}}$3 ({2}= - {\$frac {f,x_{3}})$

이는 다음과 같이 요약할 수 있습니다.

${\displaystyle {pmatrix}y_{1}\y_{2}\end{pmatrix}=-{\frac {f}{x_{3}}{\displaystyle {pmatrix}x_{1}\x_{2}\end{pmatrix}}$

이 표현식은 P점의${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {좌표\mathrm{}}_{}{x\mathrm{}}_{}}$1, ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 2, ${\displaystyle {}_{}}$3)$${$displaystyle (x_{1$},$x_{2$},$x_{3})$과 이미지 평면 내의 점 Q에 의해 주어진 이미지 좌표$({\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ 1$y_{1},y_{2}) 사이$의 관계를 설명하는 표현식입니다$.$

회전된 영상 및 가상 영상 평면

핀홀 카메라로 설명하는 3D 좌표에서 2D 좌표로의 매핑은 투시 투영 후 영상 평면에서 180° 회전합니다.이는 실제 핀홀 카메라가 작동하는 방식에 해당합니다. 결과 이미지는 180° 회전하며 투영된 물체의 상대적 크기는 초점까지의 거리에 따라 달라지며 이미지의 전체 크기는 이미지 평면과 초점 사이의 거리 f에 따라 달라집니다.카메라에서 기대하는 회전하지 않는 이미지를 만들기 위해서는 다음 두 가지 방법이 있습니다.

• 영상 평면에서 좌표계를 180°(어느 방향으로든) 회전합니다.이것은 핀홀 카메라를 실제로 실장하면 문제를 해결할 수 있는 방법입니다.사진 카메라의 경우 이미지를 보기 전에 회전시키고, 디지털 카메라의 경우 픽셀을 회전시키는 순서로 읽습니다.
• 영상 평면이 -f가 아닌 f에서 X3 축과 교차하도록 배치하고 이전 계산을 다시 수행합니다.이렇게 하면 실제로는 구현할 수 없는 가상(또는 전면) 이미지 평면이 생성되지만 실제보다 분석하기 쉬운 이론 카메라를 제공할 수 있습니다.

두 경우 모두 3D 좌표에서 2D 영상 좌표로의 결과 매핑은 위의 식에 의해 제공되지만 부정은 없습니다.

${\displaystyle {pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}=blac {f}{x_{3}}{\displaystyle {pmatrix}x_{1}\x_{2}\end{pmatrix}}$

동종 좌표

공간 내 점의 3D 좌표에서 2D 영상 좌표로의 매핑도 균질 좌표로 나타낼 수 있습니다.$(\$를 균일한 좌표(4차원 벡터)로, y$(\$를 핀홀 카메라(3차원 벡터)로 이 점의 이미지를 표현합니다.그러면 다음과 같은 관계가 유지된다.

$\displaystyle \mathbf {y} \sim \mathbf {C} ,\mathbf {x} }$

$여기$서 C$(\$는 3${\displaystyle }$×$$(\$displaystyle$ 3$\times$ 4$)$ 카메라 매트릭스이며 $~(\displaystyle \sim)$는 투영 공간의 요소 간에 동일함을 의미합니다.이는 왼쪽과 오른쪽이 0이 아닌 스칼라 곱셈까지 같다는 것을 의미합니다.이 관계의 결과로$$C$(\displaystyle$ \$mathbf${C$})$도 투영 공간의 요소로 볼 수 있습니다. 2개의 카메라 행렬이 스칼라 곱셈까지 같으면 동등합니다.핀홀 카메라 매핑에 대한 이러한 설명은 2개의 선형 표현식의 일부가 아닌 선형 $변환{\displaystyle \mathbf{}}$ C$(\$로서, 3D 및 2D ^{[citation needed]}좌표 사이의 많은 관계 도출을 단순화할 수 있습니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 입구 동공, 실제 카메라의 물체 공간에 대한 핀홀의 동등한 위치.
• 실제 카메라의 이미지 평면을 기준으로 핀홀과 동등한 위치인 동공 출구를 선택합니다.
• 공선 방정식
• 핀홀 카메라, 이 기사에 설명된 수학적 모델의 실제 구현입니다.
• 직선 렌즈
• 이븐 알-헤이탐

레퍼런스

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참고 문헌

• David A. Forsyth and Jean Ponce (2003). Computer Vision, A Modern Approach. Prentice Hall. ISBN 0-12-379777-2.
• Richard Hartley and Andrew Zisserman (2003). Multiple View Geometry in computer vision. Cambridge University Press. ISBN 0-521-54051-8.
• Bernd Jähne (1997). Practical Handbook on Image Processing for Scientific Applications. CRC Press. ISBN 0-8493-8906-2.
• Linda G. Shapiro and George C. Stockman (2001). Computer Vision. Prentice Hall. ISBN 0-13-030796-3.
• Gang Xu and Zhengyou Zhang (1996). Epipolar geometry in Stereo, Motion and Object Recognition. Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-4199-6.