지배 순서

n 파티션의 우위 순서 예제여기서 n = 6, 노드는 6의 파티션이며, 가장자리는 상위 노드가 하위 노드를 지배한다는 것을 나타낸다.이 특정한 부분 순서는 등급이 매겨지지만, 이것은 숫자 n > 6의 칸막이에 대한 우위 순서에 대해서는 해당되지 않는다.

이산수학에서 우위 순서(동성어: 우위 순서, 주요화 순서, 자연 순서)는 특히 대칭함수와 대칭함수 표현 이론의 맥락에서 대수적 결합론과 표현 이론에 중요한 역할을 하는 양의 정수 n의 분할 집합에 관한 부분 순서다.ic그룹

정의

p = (p₁,p₂,…)와 q = (q₁, q₂,…)가 n의 분할이고 부품이 약하게 감소하는 순서로 배열된 경우, p가 우세 순서에서 q보다 앞서는 경우, p의 k 가장 큰 부분의 합은 q의 k 가장 큰 부분의 합보다 작거나 같다.

{\displaystyle p\jeq q{1}+\cdots +p_{k}\leq q_{1}+\cdots +q_{k}{\}{\text{{}가 모든 }}에 대한 경우에만 해당됨

이 정의에서 파티션은 필요에 따라 끝에 0개의 부품을 추가하여 확장된다.

우위 순서의 속성

n의 칸막이 중에서는 (1, ...,1)이 가장 작고 (n)이 가장 크다.
우위 순서는 사전순으로, 즉 p가_i q와 p ≠ q를 지배하는 경우 p ≠ q가_i p_i > q를 갖는 가장_i 작은 i를 의미한다.
n 칸막이의 포셋은 n if 5인 경우에만 선형적으로 정렬된다(그리고 사전 순서와 동일하다).n grad 6인 경우에만 등급이 매겨진다.예를 들어 오른쪽의 이미지를 참조하십시오.
파티션 p는 p_i = q_i_k + 1, p = q_k - 1, p = q_j - 1, p = q_j 모든 j , i,k 및 (1) k = i + 1 또는 (2) q_i_k (Bryetski, prop. 2.3) 중 하나에 해당하는 경우에만 파티션 q를 커버한다.q의 영 도표에서 시작하여, p의 영 도표는 k행의 마지막 상자를 먼저 제거한 다음, q의 영 도표의 i ~ k 행의 바로 앞 행의 끝에 붙이거나, q의 영 도표의 i ~ k 행의 길이가 모두 같은 경우 i < k 행의 끝에 붙임으로써 얻는다.
모든 칸막이 p에는 공극(또는 이중) 칸막이 p′이 있는데, 이 칸막이의 영 도표는 p의 영 도표의 전치형이다.이 작업은 우위 순서를 역전시킨다.

p\trianglelefteq q

q^{\prime }\trianglelefteq p^{\prime }.

q q

q^{\prime }\trianglelefteq p^{\prime }.

q^{\prime }\trianglelefteq p^{\prime }.

p\trianglelefteq q

q^{\prime }\trianglelefteq p^{\prime }.

.

{\displaystyle q^{\prime }\premefteq p^{\

premy }}}인 경우에만

p\trianglelefteq q

p\trianglelefteq q

p

p\trianglelefteq q

{\displaystystyle

q p^{\

premium }}}}

우위 순서는 nilpotent matrix의 결합 등급의 Zariski 폐쇄 사이의 포함을 결정한다.

격자 구조

n의 칸막이는 지배순서에 따라 격자를 형성하고 L로_n 표시하며, 결합의 작동은 이 격자의 반유동성이다.격자 작업을 명시적으로 설명하려면 각 파티션 p에 대해 관련(n + 1) 튜플을 고려하십시오.

{\p}}=(0,p_{1},p_{1}+p_{2},\ldots,p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n}).

The partition p can be recovered from its associated (n+1)-tuple by applying the step 1 difference, $p_{i}={\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{i-1}.$ Moreover, the (n+1)-tuples associated to partitions of n are characterized among all integer sequences of length n + 1 by the following three 속성:

비감소, ${\hat {p}}_{i}\leq {\hat {p}}_{i+1};$ ${\hat {p}}_{i}\leq {\hat {p}}_{i+1};$ ${\hat {p}}_{i}\leq {\hat {p}}_{i+1};$ ${\hat {p}}_{i}\leq {\hat {p}}_{i+1};$ ${\hat {p}}_{i}\leq {\hat {p}}_{i+1};$ + ${\hat {p}}_{i}\leq {\hat {p}}_{i+1};$ ${\displaystyle {\p}_{p$ }_{i $}\leq {\hat$ { $p}_{i+1};}$
오목한, $2{\hat {p}}_{i}\geq {\hat {p}}_{i-1}+{\hat {p}}_{i+1};$ $2{\hat {p}}_{i}\geq {\hat {p}}_{i-1}+{\hat {p}}_{i+1};$ $2{\hat {p}}_{i}\geq {\hat {p}}_{i-1}+{\hat {p}}_{i+1};$ i - $2{\hat {p}}_{i}\geq {\hat {p}}_{i-1}+{\hat {p}}_{i+1};$ + $2{\hat {p}}_{i}\geq {\hat {p}}_{i-1}+{\hat {p}}_{i+1};$ $2{\hat {p}}_{i}\geq {\hat {p}}_{i-1}+{\hat {p}}_{i+1};$ $2{\hat {p}}_{i}\geq {\hat {p}}_{i-1}+{\hat {p}}_{i+1};$ + 1 $;$ {\ $displaystyle 2{p}_{i$ }\ $geq$ {\ $hat{p}}}+{p}+{\hat {p}_{i+1};}$
초기 항은 0이고 최종 항은 n, ${\hat {p}}_{0}=0,{\hat {p}}_{n}=n.$ ${\hat {p}}_{0}=0,{\hat {p}}_{n}=n.$ ${\hat {p}}_{0}=0,{\hat {p}}_{n}=n.$ = ${\hat {p}}_{0}=0,{\hat {p}}_{n}=n.$ ${\hat {p}}_{0}=0,{\hat {p}}_{n}=n.$ ${\hat {p}}_{0}=0,{\hat {p}}_{n}=n.$ ${\hat {p}}_{0}=0,{\hat {p}}_{n}=n.$ = ${\hat {p}}_{0}=0,{\hat {p}}_{n}=n.$ ${\displaystyle {\p}_{0}=0,{\hat$ { $p}_{n}=n.$ $}$

By the definition of the dominance ordering, partition p precedes partition q if and only if the associated (n + 1)-tuple of p is term-by-term less than or equal to the associated (n + 1)-tuple of q. If p, q, r are partitions then $r\trianglelefteq p,r\trianglelefteq q$ if and only if ${\hat {r}}\leq {\hat {p}},{\hat {r}}\leq {\hat {q}}.$ ${\hat {r}}\leq {\hat {p}},{\hat {r}}\leq {\hat {q}}.$ ${\hat {r}}\leq {\hat {p}},{\hat {r}}\leq {\hat {q}}.$ ^ ${\hat {r}}\leq {\hat {p}},{\hat {r}}\leq {\hat {q}}.$ ${\displaystyle {\r}\leq {\p},{\hat$ {p},{\ $hat}\leq {\q}}}}$ 구성상 ${\hat {r}}\leq {\hat {p}},{\hat {r}}\leq {\hat {q}}.$ 최소 두 개의 비감소 오목 정수 시퀀스도 비감소 및 오목하다.따라서 n, p 및 q의 두 파티션에 대해 이들의 만남은 n의 파티션이며, 연결된 (n + 1)-투플에는 구성 요소 $\operatorname {min} ({\hat {p}}_{i},{\hat {q}}_{i}).$ min $\operatorname {min} ({\hat {p}}_{i},{\hat {q}}_{i}).$ ^ $\operatorname {min} ({\hat {p}}_{i},{\hat {q}}_{i}).$ , $\operatorname {min} ({\hat {p}}_{i},{\hat {q}}_{i}).$ 이 있다 $.$ {\ $displaysty \operatorname$ {min $}({\hat$ {p} $_{i},{\hat{q}}}})$ 이 있다 $.$ $}}$ 요소별 최대 오목 시퀀스 2개까지 오목할 필요가 없기 때문에 조인에도 비슷한 공식을 사용하려는 자연적 $\operatorname {min} ({\hat {p}}_{i},{\hat {q}}_{i}).$ 발상이 실패한다.예를 들어, n = 6의 경우, [3,1,1,1]과 [2,2,2] 파티션에는 관련 시퀀스(0,3,4,5,6,6,6,6,6,6)와 (0,2,4,6,6,6,6)가 있으며, 구성 요소별 최대값(0,3,4,6,6,6,6,6)은 어떤 파티션과도 일치하지 않는다.n의 어떤 두 칸막이에도 결합이 있음을 보여주기 위해 p와 q의 결합은 p p과 q의 만남의 결합 칸막이:

p\lor q=(p^{\premy }\land q^{\premy }^{\premy }}}

앞의 예에서 두 칸막이 p와 q의 경우, 이들의 결합 칸막이는 [4,1,1]과 [3,3]이며, 이 칸막이는 [3,2,1]을 충족하므로 p와 q의 결합은 [3,2,1]이다.

토마스 브라이레츠키는 최소 높이와 최대 피복수 등 격자_n L의 많은 불변수를 결정하고, 작은 길이의 간격을 분류했다.L은_n n ≥ 7에 대한 분배는 아니지만, 일부 속성을 분배 격자와 공유한다. 예를 들어, 그것의 뫼비우스 함수는 값 0, 1, -1만 차지한다.

일반화

파티션 6 = 4 + 2에 대한 Young tableaux의 우세 순서

n의 칸막이는 n 박스의 영 도표로 그래픽으로 나타낼 수 있다.표준 영 tableaux는 영 도표를 숫자로 채우는 확실한 방법이며, 그것들에 대한 부분적인 순서(영 도표의 우위 순서라고도 함)는 영 도표의 우위 질서의 관점에서 정의할 수 있다.Young tableau T가 또 다른 Young tableau S를 지배하려면 T의 형상은 분할로서 S의 형상을 지배해야 하며, 더욱이 K의 각 선택에 대해 T와 S가 주어진 값 k까지의 항목을 포함하는 하위 테이블로 처음 잘릴 때마다 동일한 형상이 유지되어야 한다.

마찬가지로, 표준 단수론에서 역할을 하는 표준 영 비타블로의 집합에서도 우세한 질서가 있다.

참고 항목

참조

Macdonald, Ian G. (1979). "section I.1". Symmetric functions and Hall polynomials. Oxford University Press. pp. 5–7. ISBN 0-19-853530-9.
Stanley, Richard P. (1999). Enumerative Combinatorics. Vol. 2. Cambridge University Press. ISBN 0-521-56069-1.
Brylawski, Thomas (1973). "The lattice of integer partitions". Discrete Mathematics. 6 (3): 201–2. doi:10.1016/0012-365X(73)90094-0.

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