사촌 문제

수학에서 사촌 문제는 여러 복잡한 변수에서 국지적 데이터로 지정된 함수들의 존재에 관한 두 가지 질문이다.그것들은 1895년 피에르 사촌에 의해 특별한 경우에 소개되었다.이제 M의 조건 측면에서 복잡한 다양체 M에 대해 포즈되고 해결됩니다.

두 문제 모두 집합_i U별 M의 오픈 커버가 각 U에_i 대한 자형 함수 f와_i 함께 주어진다.

사촌형 문제

첫 번째 사촌 문제 또는 가법 사촌 문제는 각 차이가 다음과 같이 가정합니다.

${\displaystyle f_{i}-f_{j}}$

는 정의되어 있는 완전함수입니다.그것은 M 위의 meromaphunction f를 요구한다.

${\displaystyle f-f_{i}}$

즉, f는 주어진 로컬 함수의 특이 동작을 공유하는 U 위의_i 완전 형상이다.The given condition on the ${\displaystyle f_{i}-f_{j}}$ is evidently necessary for this; so the problem amounts to asking if it is sufficient.M이 복합 평면의 열린 부분 집합일 때, 한 변수의 경우는 규정된 극에 대한 미타그-레플러 정리이다.리만 표면 이론은 M에 대한 몇 가지 제한이 필요하다는 것을 보여준다.이 문제는 항상 스타인 매니폴드에서 해결할 수 있습니다.

첫 번째 사촌 문제는 다음과 같이 시프 코호몰로지의 관점에서 이해될 수 있다.M에서 K를 Meromific 함수의 다발, O를 Holorific 함수의 다발이라고 하자. K의 글로벌 $구간{\displaystyle }$f{$displaystyle$$f}$는 지수 다발 K/O의 글로벌 구간 $)$로 넘어간다.역문제는 첫 번째 사촌의 문제입니다.K/O의 글로벌 섹션이 주어지면 K의 글로벌 섹션이 발생합니까?따라서 문제는 지도의 이미지를 특징짓는 것이다.

$\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K}),\xrightarrow {phi},H^{0}(M,\mathbf {K}/\mathbf {O})}$

길고 정확한 코호몰로지 시퀀스에 따르면

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K}),\xrightarrow {phi},H^{0}(M,\mathbf {O})\to H^{1}(M,\mathbf {O})}$

첫 번째 코호몰로지 그룹¹ H(M,O)가 사라진다면 첫 번째 사촌 문제는 항상 해결할 수 있습니다.특히 카탄의 정리 B에 따르면 사촌 문제는 M이 스타인 다양체라면 항상 풀 수 있다.

세컨드 사촌 문제

두 번째 사촌 문제 또는 승수 사촌 문제는 각 비율이

${\displaystyle f_{i}/f_{j}}$

는 소멸하지 않는 홀모픽 함수이며, 여기서 정의됩니다.그것은 M 위의 meromaphunction f를 요구한다.

${\displaystyle f/f_{i}}$

신성하고 사라지지 않습니다.두 번째 사촌 문제는 지정된 0을 가진 한 변수의 정형함수의 존재에 대한 바이얼스트라스 정리의 다차원 일반화이다.

로그를 취함으로써 이 문제에 대한 공격은 가법 문제로 환원하기 위해 첫 번째 체른 클래스의 형태로 장애물을 충족합니다(지수 시프 시퀀스 참조).시프 이론의 관점에서 O$display {\$displaystyle \$mathbf${O}$$^{*} $be$ \$displaystyle \mathbf {K} ^{*} {$ 0이$$ 아닌 Meromaphy 함수의 시프라고 $하자{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$.이 두 단은 모두 아벨 군이며, 몫 단 $K{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ / ${\displaystyle O{\mathbf{}}^{}}$ ${\$ { $style \mathbf {K}$^{*}/\$mathbf {O}$^{*}}은$$ 잘 정의되어 있다.그런 다음 승수 사촌 문제는 몫 $지도$의 이미지를 식별하려고 합니다. $»$ {\$displaystyle \phi$}

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K}^{*}){\xrightarrow {phi}}H^{0}(M,\mathbf {K}^{*}/\mathbf {O}^{*}).}$

지수와 관련된 길고 정확한 층 코호몰로지 수열은 다음과 같다.

$({displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K}^{*}){\xrightarrow {phi}}H^{0}(M,\mathbf {K}^{*}/\mathbf {O}^{1}(M,\mathbf {O})로)$

따라서 두 번째 사촌 문제는 ${\displaystyle {H1\mathrm{}}^{}{\mathbf{}}^{},}$ O${\displaystyle {}^{}}$ $=$ $.$ {$displaystyle$ H$^{1}(M,\mathbf {O}^{*})=0}$이면 모든 경우에 해결할 수 있다.$$ $K{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ / ${\displaystyle O{\mathbf{}}^{}}$ $∗$ { $displaystyle$\$mathbf${ $K }$ ^ { * } / \ $mathbf${ $O }$ ^ { * }}은$$ M 위의 카르티에 제수의 세균 다발이다.따라서 모든 글로벌 섹션이 meromific 함수에 의해 생성되는지 여부는 M 위의 모든 라인 번들이 사소한지 여부를 판단하는 것과 동일합니다.

$O의$곱셈구조에 대한 코호몰로지 ${\displaystyle {그룹\mathrm{}}^{}}$ H1${\displaystyle {}^{}M,}$ $),$ {\$displaystyle$$$H$^{1}(M,\$$mathbf {O}$$$$^{*})$은 코호몰로지 $그룹{\displaystyle {}^{}}$ $($ $})$과 비교할 수 있다$.$즉, 정확한 시브 순서가 있습니다.

${\displaystyle 0\to 2\pi i\mathbb {Z} \to \mathbf {O} \xrightarrow {exp } \mathbf {O} ^{*} \to 0}$

여기서 왼쪽 끝은 $파이버2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \delta i\mathbb{}}$ Z$(\$ 2$\pii\mathbb {Z$를 가진 로컬 상수 시프입니다.H 레벨에서¹ 대수를 정의하는 장애는${\displaystyle {}^{}\mathrm{H2}(M\mathbb{},}$ Z$)$에 있습니다.\$displaystyle$ H$^{2}(M,\mathbb {Z$는 긴 코호몰로지로부터 정확하게 취득한 것입니다.

$(\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O}^{*})\to H^{2}(M,\mathbb {Z})\to H^{2}(M,\mathbbb {O})\to H^{O}).}$

언제 M은 스타인의 중간 화살표는 유질 동상은 H2(M, Z)=0입니다.{\displaystyle기 때문에 H((M, O))0{\displaystyle H^{q}(M,\mathbf{O})=0}q 을, 0{\displaystyle q>0}도록 그 사건에 두번째 쿠쟁 문제에 대한 필요 충분 조건은 항상 풀 수 있다.H^{2}$(M,\mathbb {Z})=0.$$}$

「 」를 참조해 주세요.

• 카르탄의 이론 A와 B

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