박스 스플라인

수치해석 및 근사 이론의 수학적 장에서 상자 스플라인들은 여러 변수의 조각적인 다항식 함수들이다.^[1]박스 스플라인(box spline)은 기본 스플라인(B-spline)의 다변량 일반화로 간주되며, 일반적으로 다변량 근사치/간극화에 사용된다.기하학적으로 박스 스플라인(box spline)은 저차원 공간으로 투영된 하이퍼큐브의 그림자(X-ray)이다.^[2]박스 스플라인과 심플렉스 스플라인들은 일반 폴리토페스의 그림자로 정의되는 다면 스플라인들의 특별한 경우에 잘 연구되고 있다.

정의

A box spline is a multivariate function (${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} }$) defined for a set of vectors, ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{d}}$, usually gathered in a matrix ${\displaystyle \mathbf {\Xi } :=\left[\xi _{1}\dots \xi _{N}\right]}$.

벡터 수가 도메인의 치수($예{\displaystyle }$: ${\displaystyle N}$= d ${\displaystyle N=d$ )와 같으면 상자 스플라인이란 단순히 $\xi {\displaystyle \mathbf{}}${\$displaystyle \mathbf {\Xi}}$의 벡터에 의해 형성된 병렬형(정규형) 표시기 함수일 뿐이다$.$

${\displaystyle M_{\mathbf {\Xi } }(\mathbf {x} ):={\frac {1}{\mid {\det {\Xi }}\mid }}\chi _{\mathbf {\Xi } }(\mathbf {x} )={\begin{cases}{\frac {1}{\mid {\det {\Xi }}\mid }}&{\text{if }}\mathbf {x} =\sum _{n=1}^{d}{t_{n}\xi _{n}}{\text{ for some }}0\leq t_{n}<1\\0&{\text{otherwise}}.\end{case}}}$

새 방향인 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi$을(를) $\xi {\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$에 추가하거나 으로 N> ${\displaysty N>d$일 때 상자 스플라인을 재귀적으로 정의한다.^[1]

${\displaystyle M_{\mathbf {\Xi} \컵 \xi }(\mathbf {x} )=\int _{0}^{1}}M_{\mathbf {\Xi }}}(\mathbf {x} -t\xi )\,{\rm {d}t.}$

The box spline ${\displaystyle M_{\mathbf {\Xi } }}$ can be interpreted as the shadow of the indicator function of the unit hypercube in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ when projected down into ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$. In this view, the vectors ${\displaystyle \xi \in \mathb$$f {\Xi}$}은$$(는) ${\displaystyle {}^{}}$ N ${\$즉, 하이퍼큐브의 가장자리)에서 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 대한 표준 기반 기하학적 투영이다.

단방향 벡터와 연관된 박스 스플라인(box spline)은 0distributions t < (\$displaystyle t$$xi }$에서 지원되는 Dirac 유사 일반화 함수로 (\$displaystyle 0\leq t<1}).$그런 다음 일반 상자 스플라인을 단일 벡터 상자 스플라인과 관련된 분포의 콘볼루션으로 정의한다.

${\displaystyle M_{\mathbf {\Xi}}}=M_{\xi _{1}:{1}\ast M_{1}\xi _{2}}\st \dots \ast M_{\xi _{N}}}}}$

특성.

• $\kappa {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \$$Kappa$ $}$을(를) ξ ${\displaystyle \Xi }$에서 제거하면 나머지$$ 방향이 R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 표시 스타일 $\$$mathb {R}$^{$d}}}}$에 걸쳐지지 않는 최소 방향 수를 두십시오$$$.$ 그러면 상자 스플라인에 다음 - ${\d$의 연속성이$$ 있습니다$.$${\displaystyle M_{}}$ ${\displaystyle {\xi \mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\kappa }^{}}$- ${\displaystyle 2^{}}$( R ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle M_{\mathbf {\Xi }}\in$ C$^{\kappa -2}(\mathb {R} ^{d})}$^[1].
• When ${\displaystyle N\geq d}$ (and vectors in ${\displaystyle \Xi }$ span ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$) the box spline is a compactly supported function whose support is a zonotope in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ formed by the Minkowski sum of the direction vectors ${\dis$$playstyle \xi \in \mathbf {\Xi }$
• Zonotope는 중심적으로 대칭적이기 때문에 박스 스플라인 지지대는 중심과 관련하여 대칭적이다: $c{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ 2 ${\displaystyle \sum \underset{}{\overset{}{}}{n}_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ N${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle \mathbf {c} _{\Xi }}}:={\frac {1}{n=1$}^{$n}}xi _{n}.$$}$
• 박스 스플라인에 대한 푸리에 변환$($ {\$displaystyle d}$ 치수$$)은 다음과 같다.

${\displaystyle {\M}_{\Xi }{\Xi }{\j\mathbf {c} _{\Xi }\cdot \omega )\prod _{n=1}^{n}\operatorname {sinc}(\xi _{n}\cdot \omega).}$

적용들

용도의 경우 격자에 있는 하나 이상의 상자 스플라인 이동의 선형 결합이 사용된다.그러한 스플라인들은 재조립할 수 있고, 정의상 시프트 불변성이기 때문에 단순 스플라인들의 선형 결합보다 효율적이다.따라서 그것들은 많은 분할 표면 구조의 시작점을 형성한다.

박스 스플라인들은 하이퍼플레인 배열의 특성화에 유용했다.^[3]또한 박스 스플라인들은 폴리토페스의 부피를 계산하는데 사용될 수 있다.^[4]

다차원 신호 처리의 맥락에서 박스 스플라인들은 비카르트 샘플링 격자에 맞춘 다변량 보간 커널(^[5]재구성 필터)과 많은 정보-이론적으로 최적의 샘플링 격자를 포함하는 결정학적 격자(루트 격자)를 제공할 수 있다.^[6]일반적으로 최적의 구면 패킹과 구면 덮개^[7] 격자는 2-D, 3-D 이상 치수의 다변량 함수를 표본 추출하는 데 유용하다.^[8]2-D 설정에서 3방향 상자 스플라인^[9](Spline)은 육각 샘플링된 영상의 보간술에 사용된다.3-D 설정에서는 (최적) 신체^[11] 중심 입방체 및 얼굴 중심 입방체 격자에서 각각 샘플링된 데이터의 보간에는 4방향^[10] 및 6방향 상자 스플라인을 사용한다.^[5]7방향 박스 스플라인^[12](Spline)은 표면 모델링에 사용되어 왔으며 신체 중심 입방 격자뿐만 아니라 데카르트 격자의^[13] 데이터 보간에도 사용할 수 있다.^[14]4방향^[10] 및 6방향^[11] 상자 스플라인을 보다 높은 차원으로^[15] 일반화하면 루트 격자에 스플라인을 구축할 수 있다.^[16]박스 스플라인(box splines)은 육각^[17] 스플라인과 보로노이 스플라인^[18](voronoi splines)의 핵심 성분으로, 그러나 다시 사용할 수 없다.

박스 스플라인들은 특히 빠른 쌍방향 필터링과 비로컬 수단 알고리즘을 위한 고차원 필터링의 응용 프로그램을 발견했다.^[19]또한 박스 스플라인들은 효율적인 공간 변수(즉, 비융합형) 필터를 설계하는 데 사용된다.^[20]

박스 스플라인(box spline)은 박스 스플라인 공간에 의해 생성된 스플라인 공간이 X선 및 라돈 변환에 의해 닫히기 때문에 단층 재구성 문제 상황에서 이미지 표현에 유용한 기본 기능이다.^[21][22]이 애플리케이션에서 신호가 시프트 인바리어스 공간에 표현되는 동안, 투영은 박스 스플라인에 대한 불균일한 번역에 의해 폐쇄형 형태로 얻어진다.^[21]

이미지 처리의 맥락에서 박스 스플라인 프레임이 에지 검출에 효과적인 것으로 나타났다.^[23]

참조