비도메인 모형

비도맹 모델은 심장의 전기적 활동을 정의하는 수학 모델이다.그것은 심근 섬유로 시트로 묶인 근육 섬유로 정의되어 비열대성 성질을 가진 복잡한 3차원 구조를 만드는 연속체(볼륨-평균) 접근법으로 구성된다.그런 다음, 전기적 활동을 정의하기 위해 세포 내부와 세포 밖의 영역인 두 개의 상호 접속 도메인을 고려하는데, 각각 세포 내부의 공간과 세포 사이의 영역을 나타낸다.^[1]

비도메인 모델은 1969년^[2] 슈미트에 의해 처음 제안되었다가 1970년대 후반에 수학적으로 공식화되었다.^{[3][4][5][6][7][8][9][10]}

각 셀을 개별적으로 설명하기보다는 연속적인 모델이기 때문에 복잡한 구조로 구성된 셀 그룹의 평균적인 특성과 행동을 나타낸다.따라서, 모델 결과는 복잡한 것으로, 케이블 이론을 더 높은 차원으로 일반화한 것으로 볼 수 있으며, 이른바 비도맹 방정식을 정의하게 된다.^[11][12]

비도메인 모델의 많은 흥미로운 특성은 불평등한 비등분율의 조건으로부터 발생한다.비등방성 조직의 전기전도도는 모든 방향에서 고유하지 않지만 섬유 1에 대해서는 평행과 직각 방향으로 다르다.더욱이 음이소트로피 비율이 같지 않은 조직에서는 섬유에 평행하고 수직인 전도성의 비율이 세포내 공간과 세포외 공간에서 다르다.예를 들어 심장 조직에서 세포 내 공간의 음이소트로피 비율은 약 10:1인 반면 세포 외 공간에서는 약 5:2이다.^[13]수학적으로 음이소트로피 비율이 동일하지 않다는 것은 음이소트로피 효과가 한 방향의 거리 척도 변화에 의해 제거될 수 없다는 것을 의미한다.^[14]대신에 음이소트로피는 전기적 행동에 더 깊은 영향을 미친다.^[15]

불평등한 음이소트로피 비율의 영향의 세 가지 예는 다음과 같다.

• 심장 조직의 단극 자극 동안 투과 전위 ^[16]분포
• 심장 조직을 통해 전파되는 작용 전위파 전방에 의해 생성되는 ^[17]자기장
• 감전 중 섬유 곡률이 투과 전위 분포에 미치는 ^[18]영향

공식화

비도메인 도메인

비도메인 영역은 주로 두 개의 주요 영역으로 대표된다: 세포 내 영역이라고 불리는 심장 세포와 세포 외 영역이라고 불리는 그들을 둘러싼 공간이다.게다가, 보통 다른 지역을 고려하는데, 그것은 심장외 지역이라고 불린다.세포막에 의해 분리된 세포내 영역과 세포외 영역은 심장을 나타내는 고유한 물리적 공간(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ } })으로 간주되는 반면,$$ 심외 영역은 그들에 인접한 고유한 물리적 공간(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ }$$})이다.심외막 부위는 특히 실험 조건을 시뮬레이션하고 싶을 때, 또는 생리적인 상태를 시뮬레이션하기 위한 인간의 몸통으로 생각할 수 있다.^[12]정의된 두 개의 주요 물리적 영역의 경계는 비도메인 모델을 해결하기 위해 중요하다.여기서 하트 경계는 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle H\mathbb{}}$ ${\$로 표시되며$$, 토르소 도메인 경계는 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle T\mathbb{}.}$ ${\displaystyle \partial \mathb {T}}$로 표시된다$.$

알 수 없음 및 매개 변수

비도메인 모델에서 알 수 없는 것은 세포 내 전위 ${\$$displaystyle$ $v_{i$ 세포막 $v{\displaystyle }$ =${\displaystyle {vi}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{v-e}_{}}${$e$$},$ 세포막 전체에 걸친 전위 차이로 정의되는 세포외 전위 $vi{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ v$}$이다$.$$Playstyle v=v_{i}-v_{e$^[12] .

더욱이 일부 중요한 매개변수, 특히 세포내 전도성 텐서 행렬 matrix $i{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\$ 세포외 전도성 텐서 행렬 ${\displaystyle {}_{}}$ e ${\${\$sigma }{e$ .투과 전류가 세포내 영역과 세포외 영역 사이를 흐르며, 단위 $면적당{\displaystyle {}_{}}$ 멤브레인 위에 해당하는 이온 전류가 부분적으로 설명된다 I ${\displaystyle o_{}}$ ${\$$displaystyle$ $I_{ion$ 게다가 단위 $면적당{\displaystyle {}_{}}$ 멤브레인 캐패시턴스 $C_{m}$와 표면 대 체적 비율 th비도메인 모델 제형을 도출하기 위해 e 세포막 $\chi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \chi}$을(를) 고려할 필요가$$ 있으며, 이는 다음 절에서 수행된다.^[12]

표준식

비도메인 모델은 두 개의 부분 미분 방정식(PDE)을 통해 정의되며, 첫 번째 방정식은 투과 전위 측면에서 반응 확산 방정식이며, 두 번째 모델은 주어진 투과 전위 분포에서 출발하는 세포외 전위를 계산한다.^[12]

따라서 비도메인 모델은 다음과 같이 공식화할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aignatedat}{2}&\nabla \cdot \left(\mathbf {\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {\\\\\i}\nabla v_{e}\rigme}오른쪽)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\mathrm {ion} }\right)-I_{s_{1}}\\&\nabla \cdot \left(\left(\mathbf {\Sigma } _{i}+\mathbf {\Sigma } _{e}\right)\nabla v_{e}\right)=-\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)+I_{s_{2}}\end{aignatedat}}}$

여기서 $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {s{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\$및$$ $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{s\mathrm{}}_{}}_{}}$ 2 ${\$ 적용 외부 자극 전류로 정의할 수 있다$$.^[12]

이온 전류 방정식

이온 전류는 보통 보통의 미분방정식(oDE)의 시스템을 통해 이온모델로 표현된다.수학적으로 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}v\mathbf{}}$ ${\displaystyle ,}$ w${\displaystyle }$) ${\displaystyle I_{ion}=$라고 쓸 수 있다.$I_{ion}(v,\mathbf {w})$ 여기서$$ $w{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$을(를) 이온 변수라고 한다.그런 다음 일반적으로 t > ${\displaystyle t>0}$에 대해 시스템은 다음과^[19] 같이 읽는다

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial \mathbf {w} }{\partial t}}=\mathbf {F} (v,\mathbf {w} )&{\text{in }}\mathbb {H} \\\mathbf {w} (t=0)=\mathbf {w} _{0}&{\text{in }}\mathbb {H} \end{cases}}}$

다양한 이온 모델이 제안되었다.^[19]

• 가장 간단한 것으로 세포의 거시적 행동을 재현하는 데 사용되는 현상학적 모델
• 가장 중요한 이온 전류에 대한 꽤 상세한 설명과 함께 거시적 행동과 세포 생리학 모두를 고려한 생리학적 모델.

심외막영역 모형

일부의 경우 심장외부가 고려되기도 한다.이것은 심외막 영역 내부의 잠재적 전파를 설명하는 방정식의 비도맹 모델에 대한 추가를 의미한다.^[12]

보통, 이 방정식은 타입의 단순^[12] 일반화된 라플라스 방정식이다.

${\displaystyle -\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{0}=0\nabla v_{0}=0\quad \mathbf {x} \in \mathb {T}}}}$

여기서 $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 심장외부 전위, ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$은 해당 전도성 텐서이다.

또한, 격리된 도메인 확보가 고려되며, 이는 다음과 같은 경계 조건이 추가됨을 의미한다.

${\displaystyle(\mathbf {\Sigma } _{0}\{0}\cdot \mathbf {n} _{0}=0\quad \mathbf {x} \in \partial \mathb {T},}}$

${\displaystyle {\mathbf{n}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 심장외부 영역 밖으로 지시된 단위 정상이다$$.^[12]

만약 심장외부가 인간의 몸통이라면, 이 모델은 심전도의 전방 문제를 야기시킨다.^[12]

파생

비도메인 방정식은 전자석의 일부 단순화를 고려하여 맥스웰 방정식에서 도출되었다.^[12]

첫 번째 가정은 세포내 전류가 세포내와 세포외 영역 사이에서만 흐를 수 있는 반면, 세포내와 심내외 영역은 그 사이를 합칠 수 있기 때문에 전류가 심외외 영역으로 들어오고 나갈 수 있지만 세포외 공간에서만 흐를 수 있다는 것이다.^[12]

옴의 법칙과 준정전기적 가정을 사용하여 스칼라 전위장 ${\displaystyle \varphi }$의 구배는 $전기장{\displaystyle \mathbf{}}$ E ${\$를) 설명할$$ 수 있다^[12]$.$

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi .}$

그런 다음 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$이(가) $전기장{\displaystyle \mathbf{}}$ E ${\$의 현재 밀도를 나타내는$$ 경우 2개의 방정식을 얻을^[12] 수 있다$.$

${\displaystyle {\reasonedat}{2}J_{i}&=-\mathbf {\Sigma } _{i}\{i}\J_{e}&=-\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e}.\end{aignedat}}}$

여기서 첨자 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$ $및{\displaystyle }$ e$$ ${\displaystyle e}$은 세포내 및 세포외 수량을 각각 나타낸다$$.^[12]

두 번째 가정은 심장이 격리되어 있어서 한 지역을 떠나는 전류가 다른 지역으로 흐를 필요가 있다는 것이다.그렇다면 각 세포내 및 세포외 영역의 전류 밀도는 크기상으로는 같아야 하지만 부호상으로는 반대여야 하며, 단위 면적당$$ 세포막의 표면 대 체적 비율과 투과 이온 전류 $밀도{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ m${\$의 산물로 정의할 수 있다^[12].

${\displaystyle -\nabla \cdot J_{i}=\nabla \cdot J_{e}=\chi I_{m}.}$

이전의 가정을 결합함으로써 전류 밀도의 보존, 즉^[12],

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{i})&=\chi I_{m}\\\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e})&=-\chi I_{m}\end{alignedat}}}$

(1)

두 방정식을^[12] 합치면

$\\displaystyle \nabla \cdot(\mathbf {\Sigma } _{i}) _{i}\nabla v_{i}}=-\nabla \cdot(\mathbf {\\\\e}\nabla v_{e}).}$

이 방정식은 한 도메인을 빠져나가는 모든 전류가 다른 도메인으로 들어가야 한다는 것을 정확히 말한다.^[12]

여기서 sides$$ $\nabla {\displaystyle \mathrm{}}$ (${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathrm{}}$ v ${\displaystyle e_{}}$ $){\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {\\Sigma$}$_{i}\nabla v_{e})$를 양쪽에서 뺀 비도메인 모델의 두 번째 방정식을 쉽게 찾을 수 있다.사실.^[12]

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{i})-\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e})=-\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e})-\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e})}$

그리고 전송 전위가 $v{\displaystyle }$= ${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$로 정의된다는 것을 알고 있다.

${\displaystyle \nabla \cdot(\mathbf {\sigma } _{i}\nabla v)=-\nabla \cdot(\mathbf {\\\\i}+\mathbf _{e}\nabla v_{e}).}$

그런 다음, 투과 전위를 알면 세포외 전위를 회복할 수 있다.

그리고 나서, 세포막을 가로질러 흐르는 전류는 케이블 방정식으로 모델링될 수 있다.^[12]

${\displaystyle I_{m}=\chi \left(C_{m}){\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{{ion}\오른쪽),}$

(2)

등식 (1)과 (2)의 조합은 다음을^[12] 제공한다.

${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\오른쪽)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{ion}\오른쪽).}$

Finally, adding and subtracting ${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e})}$ on the left and rearranging ${\displaystyle v=v_{i}-v_{e}}$, one can get the first equation of the bidomain model^[12]

${\displaystyle \nabla \cdot \좌(\mathbf {\Sigma }_{i}\nabla v\우)+\nabla \cdot \좌(\mathbf {\\Sigma } _{i}\nabla}\우)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\mathrm {ion} }\오른쪽),}$

시간 내에 투과 전위의 진화를 묘사한다.

표준 제형 섹션에서 설명하는 최종 제형은 외부 적용 전류 I ${\displaystyle {{s\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {1{}_{}}_{}}$ ${\$및 $I$ ${\displaystyle {s{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\$}를 통해 부여될 수 있는 가능한 외부 자극을 고려하여 일반화를 통해 얻는다$.$^[12]

경계 조건

모델을 풀기 위해서는 경계조건이 필요하다.보다 고전적인 경계조건은 텅이 공식화한 다음과 같은 조건이다.^[6]

우선, 유도 부분에서 이전의 상태와 마찬가지로, 세포내 영역과 심장외 영역 사이에는 어떠한 전류 흐름도 존재하지 않았다.이것은 수학적으로 다음과^[12] 같이 설명할 수 있다.

${\displaystyle(\mathbf {\Sigma } _{i} _{i}\cdot \mathbf {n} =0\quad \mathbf {x} \in \partial \mathb {H}}}}}$

여기서 $n{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$는) 심장의 심근 표면에 대해 정상인 외관 단위를 나타내는 벡터다$$.세포내 전위는 비도마인 공식에 명시적으로 제시되지 않기 때문에, 이 조건은 $대개{\displaystyle }$ v${\displaystyle }$= ${\displaystyle {vi}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ - v ${\displaystyle e_{}}$ ${\$ 다시^[12] 말해, 투과전위 및 세포외 전위 측면에서 설명된다.

${\displaystyle(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v)\cdot \mathbf {n} =-(\mathbf {\\\Sigma }_{e})\cdot \mathbf {n}\quad \mathb {x} \in {H}.$

세포외 전위의 경우 심근영역이 제시되면 세포외와 심장외부 사이의 흐름의 균형이 고려된다^[12].

${\displaystyle \left(\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e}\right)\cdot \mathbf {n} _{e}=-\left(\mathbf {\Sigma } _{0}\nabla v_{0}\right)\cdot \mathbf {n} _{0}\quad \mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} .}$

여기서 두 도메인의 관점에서 정상적인 벡터가 고려되므로 부정적인 기호가 필요하다.더구나 심장경계에서의 전위전위의 완벽한 전달이 필요한데, 이를 통해^[12] 심장경계에서의 전위전위를 완벽하게 전달할 수 있다.

${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$= v ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle x{}_{}\mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\in }}$ ${\displaystyle H\mathbb{}}$ ${\$

그 대신 심근부위가 나타나지 않는다는 뜻인 심장이 이졸로 간주되면 세포외 문제에 대한 가능한 경계조건은 다음과 같다.

${\displaystyle \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)\cdot \mathbf {n} =-\left((\mathbf {\Sigma } _{i}+\mathbf {\Sigma } _{e})\nabla v_{e}\right)\cdot \mathbf {n} \quad \mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} .}$^[12]

모노도메인 모형으로 축소

By assuming equal anisotropy ratios for the intra- and extracellular domains, i.e. ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{i}=\lambda \mathbf {\Sigma } _{e}}$ for some scalar ${\displaystyle \lambda }$, the model can be reduced to one single equation, called monodomain equation

${\displaystyle \nabla \cdot(\mathbf {\Sigma }\nabla v)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}}+)I_{\mathrm {ion} }\오른쪽)-I_{s}}}$

여기서 유일한 변수는 이제 투과전위(transmbrane predential)이고 전도성 텐서 $Ⅱ{\displaystyle \mathbf{}}$${\$$displaystyle \mathbf{\$$Sigma$ $}}}}$은(는$)$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle \mathbf {\sigma }$의 조합이다$.$$}$^[12]

고립된 영역에 경계 조건이 있는 공식화

심장이 분리된 조직으로 간주되어 그 조직 밖으로 전류가 흐를 수 없는 경우, 경계 조건이 있는 최종 공식은 다음과^[12] 같다.

$\displaystyle {\begin}\nabla \cdot \left(\mathbf {\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {\\Sigma } _{i}\nabla}\rig}\rig)\right)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\mathrm {ion} }\right)-I_{s_{1}}&\mathbf {x} \in \mathbb {H} \\\nabla \cdot \left(\left(\mathbf {\Sigma } _{i}+\mathbf {\Sigma } _{e}\right)\nabla v_{e}\right)=-\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)+I_{s_{2}}&\mathbf {x} \in \mathbb {H} \\\mathbf {\Sigma } _{i}(\nabla v+\nabla v_{e})\cdot \mathbf {n} =0&\mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} \\\left[\mathbf {\Sigma } _{i}(\nabla v+\nabla v_{e})+\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e}\right]\cdot \mathbf {n} =0&\mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} \end{cases}}}$

수치해결

비도메인 방정식을 푸는 데는 다양한 가능한 기법이 있다.그 사이에서 유한한 차이 체계, 유한 요소 체계, 그리고 또한 유한한 부피 체계를 발견할 수 있다.숫자 수렴에 필요한 시간과 공간 분해능이 높기 때문에 이러한 방정식의 숫자 해법에 대해 특별히 고려할 수 있다.^[20][21]

참고 항목

• 모노도메인 모형
• 심전도학의 전방 문제

참조

외부 링크

• 비도메인 모델에 대한 Scholarpedia 기사