K-기능

수학에서 일반적으로 K(z)로 표기되는 K-함수는 감마함수에 대한 인자의 일반화와 유사하게 복합수에 대한 초요인자의 일반화다.

정의

형식적으로 K-기능은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle K(z)(z)=(2\pi )^{-{\frac {z+1}{2}}:}\exp[{\binom {z}{2}}+\int_{0}^{z-1}\ln \감마(t+1)\,dt\right]}$

또한 다음과 같이 폐쇄적인 형태로 주어질 수 있다.

${\displaystyle K(z)=\exp [}\bigl [}\bigl [-1,z)-\zeta '(-1){\bigr ]}}}$

여기서 ζ′(z)는 리만 제타함수의 파생형을 나타내고, ζ(a,z)는 허위츠 제타함수를 나타낸다.

${\displaystyle \zeta '(a,z)\\\\\\\\\stackrel {\mathrm {def}}{=}\ \왼쪽.{\frac {\buffer \zeta(s,z)}{\buffer s}\right _{s=a}}$

다감마 함수를 사용한 또 다른 표현은^[1]

${\displaystyle K(z)=\exp \left[\psi ^{-2)}+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln 2\pi \right]}}}$

또는 다감마 함수의 균형잡힌 일반화를 사용한다.^[2]

$[\displaystyle K(z)=]A\exp \left[\psi(-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}\오른쪽]}$

여기서 A는 글래셔 상수다.

특성.

α > 0에 대해서는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \int_{\alpha }^{\alpha +1}\ln K(x)\,dx-\int _{0}^{1}{1}{{1}}},dx={\tfrac {1}{1}{1}}\lfrac {1}{1}}오른쪽)$

이는 함수 f를 정의하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle f(\alpha )=\int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln K(x)\,dx}$

α 산출량과 관련하여 지금 이 정체성을 구별하는 것:

${\displaystyle f'(\alpha )=\ln K(\alpha +1)-\ln K(\alpha )}$

로그 규칙 적용

${\displaystyle f'(\alpha )=\ln {\frac {K(\alpha +1)}{K(\alpha )}}$

우리가 쓰는 K-function의 정의에 의해

$\displaystyle f'(\displaystyle )=\display \ln \ln \$

등등

${\displaystyle f(\property )={\tfrac {1}{1}{2}}\properties ^{2}\왼쪽(\ln \ln \protection -{\tfrac {1}{1}{2}}\오른쪽)++C}$

설정 α = 0이(가) 있음

${\displaystyle \int_{0}^{1}^{1}\ln K(x)\,dx=\lim_{t\오른쪽 화살표 0}\왼쪽[{\tfrac {1}:{1}{1}:{2}}:t^{2}\lift(\ln t-{{1}{2}}\오른쪽)\오른쪽]+++C\ =C}$

이제 위의 정체성을 추론할 수 있다.

K-함수는 감마함수와 반즈 G-함수와 밀접하게 관련되어 있다. 자연수 n의 경우,

${\displaystyle K(n)={\frac {{\bigl (}\Gamma (n){\bigr )}^{n-1}{G(n)}}}.}$

좀 더 비현실적으로 말하면, 사람들은 글을 쓸지도 모른다.

${\displaystyle K(n+1)=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots n^{n}.}$

첫 번째 값은

1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 331976398771200000, ...(OEIS의 경우 시퀀스 A002109).

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "K-Function". MathWorld.