적응형 스텝 크기

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수학 수치해석에서는 방법의 오류를 제어하고 A-안정성과 같은 안정성 특성을 보장하기 위해 일반 미분방정식의 수치해결 방법(숫자통합의 특별한 경우를 포함한다)에 적응단계 크기를 일부 방법에서 사용한다. 파생상품의 크기에 큰 차이가 있을 때 적응적 단계화를 사용하는 것은 특히 중요하다. 예를 들어, 지구에 대한 위성의 움직임을 표준 케플러 궤도로 모델링할 때 오일러 방법과 같은 고정된 타임스텝 방식으로 충분할 수 있다. 그러나 삼체 문제에서처럼 지구와 달 모두를 고려한 우주선의 움직임을 모형화하고자 한다면 상황은 더 어렵다. 그곳에서 우주선이 지구와 달에서 멀리 떨어져 있을 때 큰 시간 스텝을 밟을 수 있는 시나리오가 등장하지만 우주선이 행성체 중 하나와 충돌할 정도로 가까워지면 작은 시간 스텝이 필요하다. Romberg의 방법과 Runge-Kutta-Fehlberg는 적응적 단계화를 사용하는 수치적 통합 방법의 예들이다.

예

단순성을 위해 다음의 예는 가장 간단한 통합 방법인 오일러 방법을 사용하며, 실제로는 융복합성과 안정성 특성이 우수하기 때문에 룬게-쿠타 방법과 같은 고차방식이 선호된다.

초기 가치 문제 고려

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t),\qquad y(a)=y_{a}}}$

여기서 y와 f는 벡터를 나타낼 수 있다(이 경우 이 방정식은 여러 변수의 결합된 ODE 시스템을 나타낸다).

함수 f(t,y)와 초기 조건(a, y_a)이 주어지며, t = b에서 솔루션을 찾는 데 관심이 있다. y(b)는 b에서 정확한 솔루션을 나타내고 y는_b 계산하는 솔루션을 나타내도록 한다. $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$+ ${\displaystyle \epsilon }$= ${\displaystyle y}$( b${\displaystyle }$) ${\displaystyle y_{b}+\varepsilon =y(b)}$라고 쓰는데 여기서 $where{\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon$ }은$($는) 숫자 해법의 오류다$.$

t_n = a + nh로 t 값의 시퀀스(t_n)에 대해 오일러 방법은 y(t_n)의 해당 값에 근사치를 제공한다.

${\displaystyle y_{n+1}^{0)=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}}}}$

이 근사치의 로컬 잘라내기 오류는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \tau _{n+1}^{n(0)}=y(t_{n+1}-y_{n+1}^{0)}}}}$

그리고 테일러의 정리를 통해 (제공 f가 충분히 매끄러운 경우) 국부 절단 오차는 스텝 크기의 제곱에 비례한다는 것을 알 수 있다.

${\displaystyle \tau_{n+1}^{0}=ch^{2}}$

여기서 c는 비례성의 일정한 것이다.

우리는 이 솔루션과 그 오류를 a${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle (0)}$로 표시했다$.$

c의 가치는 우리에게 알려져 있지 않다. 이제 다른 스텝 크기로 오일러의 방법을 다시 적용하여 y(t_n+1)에 대한 두 번째 근사치를 생성해 봅시다. 우리는 (${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle(1)}$로 라벨을 붙이는 두 번째 솔루션을 얻는다$.$ 새로운 단계 크기를 원래 단계 크기의 절반으로 잡고, 오일러의 방법의 두 단계를 적용한다. 이 두 번째 해결책은 아마도 더 정확할 것이다. 오일러의 방법을 두 번 적용해야 하기 때문에 (최악의 경우) 국소 오차는 원래 오차의 두 배다.

${\displaystyle y_{n+{\frac {1}{1}{1}:{2}}=y_{n}+{\frac {h}{2}}f(t_{n}},y_{n}}}}}}}}}$

${\displaystyle y_{n+1}^{(1)=y_{n+{\frac {1}{1}:{2}}:}{\frac {h}{2}}f(t_{n+{\frac {1}{1}:{1}}}}}}}$

${\displaystyle \tau _{n+1}^{(1)}=c\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}+c\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}=2c\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}ch^{2}={\frac {1}{2}}\tau _{n+1}^{(0)}}$

${\displaystyle y_{n+1}^{(1)+\tau _{n+1}^{n1}=y(t+h)}$

여기서 오류 인자 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$이$({\displaystyle }$가) [${\displaystyle t}$, t${\displaystyle }$+ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [t,t+h]}$ 간격에 걸쳐 일정하다고$$ 가정한다$.$ 실제로 그 변화율은 $y{\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle 3{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ y$^{(3)}(t)}}$에 비례한다$.$ 용액을 빼면 다음과 같은 오류 추정치가 나온다.

${\displaystyle y_{n+1}^{(1)-y_{n+1}^{(0)=\tau_{n+1}^{n+1}:{(1)}$

이 현지 오류 추정치는 세 번째 오더 정확하다.

현지 오류 추정치는 원하는 정확도를 달성하기 위해 단계 $크기{\displaystyle }$ h ${\displaystyle$ h$}$을(를) 수정하는 방법을$$ 결정하는 데 사용할 수 있다. 예를 들어 ${\displaystyle \text{toll}}$ ${\${\$text{$tol$}}$의 로컬 허용 오차가 허용되면$$ h가 다음과 같이 진화하도록 할 수 있다.

${\displaystyle h\brightarrow 0.9\white h\back \min \좌측(\max \좌측(\좌측(\좌측)\frac{\text}}}{2\좌측 \tau _{n+1}^{(1)\우측)^{1/2,0.3\우측,2\우측)}$

$0{\displaystyle .9}$ ${\displaystyle 0.9}$은(는) 다음 시도에서 성공을 보장하는 안전 요인이다$$. 최소값과 최대값은 이전 단계의 극단적인 변화를 방지하는 것이다. 이는 원칙적으로 다음 시도에서$$ 약 $0{\displaystyle .9}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \text{toll}}$ ${\$의 오차를 제공해야 한다. + ( )< ${\$을(를) 사용하면 단계가 성공적이라고 간주하고, 오류 추정치를 사용하여 솔루션을 개선한다.

${\displaystyle y_{n+1}^{(2)=y_{n+1}^{(1)+\tau _{n+1}^{n+1}:{n+1}^{(1)}}}$

이 솔루션은 실제로 현지 범위에서 세 번째 순서(전지구적 범위에서 두 번째 순서)가 정확하지만, 오류 추정치가 없기 때문에 단계 수를 줄이는 데 도움이 되지 않는다. 이 기법은 리처드슨 외삽법이라고 불린다.

$h{\displaystyle }$= ${\displaystyle b}$- ${\displaystyle h=b-a}$의 초기 단계적 크기를 시작으로$,$ 이 이론은 로컬 오류 허용오차가 주어지는 최적의 단계 수를 사용하여$$${\displaystyle a}$에서 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$까지 OSD의 제어 가능한 통합을 촉진한다. 단점은 특히 저차 오일러 방식을 사용할 경우 스텝 크기가 엄청나게 작아질 수 있다는 점이다.

4차 룬게-쿠타 방법과 같이 고차방식에 대해서도 유사한 방법을 개발할 수 있다. 또한 로컬 오류를 글로벌 범위로 확장함으로써 글로벌 오류 허용오차를 달성할 수 있다.

포함된 오류 추정치

소위 '임베디드' 오류 추정치를 사용하는 적응 단계화 방법에는 보고키-샴핀, 런지-쿠타-펠버그, 캐시-카프 및 도만드-프린스 방법이 포함된다. 이러한 방법은 계산적으로 더 효율적이지만 오차 추정의 정확도는 더 낮은 것으로 간주된다.

내장된 방법의 아이디어를 설명하려면 ${\displaystyle y_{}}$ n {\$displaystyle y_{$n}}을$($를) 업데이트하는 다음 방법을 고려하십시오$.$

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h_{n}\properties(t_{n},y_{n},h_{n}}})$

${\displaystyle t_{n+1}=t_{n}+h_{n}}}}$

${\displaystyle {다음}_{}}$ 단계 $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 이전 정보 ${\displaystyle h_{}}$ $n{\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle g}$ (${\displaystyle t_{}}$n${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{h}}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ )${\displaystyle h_{n}=g(t_{n},y_{n},h_{n-1}}}})$에서 예측된다$.$

임베디드 RK 메서드의 경우 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$ 연산에는 하위 순서 RK 메서드${\displaystyle \stackrel{}{}}\psi {\displaystyle \stackrel{}{}}$ ~ ${\$이(가) 포함되어$$ 있다$.$ 그러면 오류는 간단하게 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle {\textrm}_{n}(h)={\tilde {y}_{n+1}-y_{n+1}-y_{n}}-{n(t_{n},h_{n})-\cH_{n}-\i_{n}-}}}}}}}}$

${\displaystyle {errer}_{}}$n {\$displaystyle$ {\$textrm}_{n}}$은(는) 정규화되지 않은 오류다. 이를 정상화하기 위해 절대 허용오차 및 상대 허용오차로 구성된 사용자 정의 허용오차와 비교한다.

${\displaystyle {\textrm {tol}_{n}={\textrm {Atol}+{\textrm {Rtol}}\cdot \max(y_{n}, y_{n-1} )}}$

${\displaystyle E_{n}={\textrm {norm}({\textrm {err}_{n}/{\textrm {tol}_{n}}})}$

그런 다음 정규화된 ${\displaystyle {오류}_{}}$ $E{\displaystyle {}_{}}$ n ${\$을 1과$$ 비교하여 예측된 ${\displaystyle h_{}}$ ${\$:

${\displaystyle h_{n}=h_{n-1}(1/E_{n})^{1/(q+1)}}}}}$

매개 변수 q는 순서가 낮은 RK 방법 $\psi {\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$에 해당하는 순서다$.$ 위의 예측 공식은 추정된 국소 오차가 공차보다 작을 경우 단계를 확대하고 그렇지 않을 경우 단계를 축소한다는 점에서 그럴듯하다.

위에 제시된 설명은 명시적 RK 솔러에 대한 단계별 제어에 사용되는 간단한 절차다. 더 자세한 치료법은 하이레의 교과서에서 찾을 수 있다.^[1] 많은 프로그래밍 언어의 OSE 해결사는 이 절차를 적응 단계별 제어를 위한 기본 전략으로 사용하며, 이는 다른 엔지니어링 매개변수를 추가하여 시스템을 보다 안정적으로 만든다.

참고 항목

• 적응 사분법
• 적응형 수치분화

참조

추가 읽기

• 윌리엄 H. 언론, 사울 A. Teukolsky, William T. Brian P. Flannery, C, Second Edition, C. C. C.의 수치적 레시피1992년 ITY PRESS. ISBN0-521-43108-5
• 켄달 E. 앳킨슨, 수치분석, 세컨드 에디션, 존 와일리 & 선즈, 1989. ISBN 0-471-62489-6