적응 사분법

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$적응형{\displaystyle }$ 사분법은 기능 f( x )$${\$displaystyle f(x)}$의 적분을 통합 영역의 적응적으로 정제된 하위 절편에 대한 정적 사분법 규칙을 사용하여 근사하게 계산하는$$ 숫자 통합 방법이다.일반적으로 적응 알고리즘은 "잘 행동한" 통합업체의 기존 알고리즘만큼 효율적이고 효과적이지만, 기존의 알고리즘이 실패할 수 있는 "잘 행동하지 않은" 통합의 경우에도 효과적이다.

일반적 계획

적응형 4차분석은 일반적인 방식을 따른다.

1. 절차 통합 (f, a, b, $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$ $$) 2.${\displaystyle Q\ 근사 \int_{a}^{b(x)\,{\mbox{d}x}$
  3. ε ≈ Q−, τ{\displaystyle \varepsilon>\tau}5.m)(a+b)/26.Q)integrate(f, m, τ{\displaystyle \tau}/2)+통합(f, m, b, τ{\displaystyle \tau}b'f())d){\displaystyle \varepsilon \approx \left Q-\int_{}())\,{\mbox{d}}x\right}4. 만약ε 을 ∫./2)7. endif 8. return Q

$[{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$ 간격에$$ $걸쳐{\displaystyle }$f (${\displaystyle x}$ )$${\$displaystyle$ f$(x)}$의 적분에$$ 대한 $근사{\displaystyle }$ Q$${\$displaystyle Q}$가 계산되고, 오류 추정 $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaysty \varepsilon }($줄 3)도 계산된다.추정된 오차가 필요한 공차 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau$ $\}($라인 4)보다 크면 구간이 세분화(라인 5)되고, 사분선이 양쪽 반쪽(라인 6)에 각각 적용된다.초기 추정치 또는 재귀적으로 계산된 반쪽 합계가 반환된다(7행).

중요한 구성 요소는 4차 규칙 그 자체다.

${\displaystyle Q\ 약 \int _{a}^{b}f(x)\,{\mbox{d}x,}$

오차 추정기

${\dplaystyle \varepsilon \약 \left Q-\int _{a}^{b(x)\,{\mbox{d}x\right ,}$

어떤 구간을 세분화할지, 언제 종료할지 결정하는 논리.

이 계획에는 몇 가지 변종이 있다.가장 흔한 것은 나중에 논의될 것이다.

기본 규칙

4차 규칙에는 일반적으로 형태가 있다.

${\displaystyle Q_{n}\quad =\quad \sum \{i=0}^{n_{n_{i}f(x_{i})\quad \ 약 \quad \{a}^{b}f(x)\,{\mbox{d}x}x}$

여기서 노드 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$와 ${\displaystyle w_{}}$ ${\$가 일반적으로$$ 사전 계산된다.

가장 간단한 경우, 뉴턴-코트 공식이 짝수 도식으로 사용되며, 여기서 노드 ${\displaystyle x_{}}$ i ${\$는 다음과 같은 간격에서 균일하게 간격을 두고 있다$$.

${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle a}$+ ${\displaystyle i\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{n}{}}$( ${\displaystyle b}$- ${\displaystyle a}$) ${\displaystyle x_{i}=a+{\frac {n}{n}}(b-a$ .

이러한 규칙을 사용할 경우, $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$이(가) 평가된$$ 지점은 재귀 시 다시 사용할 수 있다.

비슷한 전략이 Clenshaw-Curtis 쿼드레이처와 함께 사용되며, 여기서 노드는 다음과 같이 선택된다.

${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle \frac{\mathrm{2i}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \pi }$) ${\$.

아니면, Fejér 4중주를 사용할 때,

${\displaystyle {}_{}x\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle \frac{2}{}}$( i${\displaystyle \frac{}{}}$+${\displaystyle \frac{0.5}{}}$) n${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\$ .

가우스 사분법 또는 가우스-크론로드 사분법 같은 다른 사분법 규칙도 사용할 수 있다.

알고리즘은 예를 들어 통합이 매끄러운 경우에만 고차 방법을 사용하는 것과 같이 서로 다른 하위 절편에 다른 4차 방법을 사용하도록 선택할 수 있다.

오차추정

일부 4차 알고리즘은 올바른 값에 접근해야 하는 일련의 결과를 생성한다.그렇지 않으면 위의 4차 규칙의 형태를 갖지만 단순한 통합(예를 들어, 통합이 적절한 수준의 다항식인 경우)에 대한 값이 0인 "null 규칙"을 사용할 수 있다.

참조:

• 리처드슨 외삽법(롬버그의 방법 참조)
• Null 규칙
• 엡실론 알고리즘

분할 논리

"로컬" 적응형 4각형은 주어진 간격에 대해 해당 간격의 길이에 비례하는 허용 오차를 만든다.이 기준은 통합업체가 예를 들어 몇 가지 단계 불연속성과 같이 단지 몇 가지 지점에서만 잘못 행동한다면 충족하기 어려울 수 있다.또는 각 하위절차에 대한 오류의 합계가 사용자의 요구 사항보다 작다는 것만을 요구할 수 있다.이것은 "전지구적" 적응형 4각형이 될 것이다.글로벌 적응형 4차분석은 더 효율적일 수 있지만(통합 및 통합에 대한 평가를 더 적게 사용) 일반적으로 프로그래밍하기가 더 복잡하고 현재 간격에 대한 정보를 기록하기 위해 더 많은 작업 공간이 필요할 수 있다.

참고 항목

• 적응형 수치분화
• OSDE의 적응형 단계 크기
• 적응형 4차분석의 예에 대한 적응형 심슨의 방법
• Global Adaptive Quadrature를 사용하는 FORTRAN 라이브러리인 QuadPack

메모들

참조

• McKeeman, William (December 1962). Gotlieb, Calvin (ed.). "Algorithm 145: Adaptive numerical integration by Simpson's rule". Communications of the ACM (Periodical). New York: ACM. 5 (12): 604–605. doi:10.1145/355580.369102. eISSN 1557-7317. ISSN 0001-0782. OCLC 1011805770.
• 존 R. 라이스적응형 사분법을 위한 메탈고리즘.ACM 22(1) 페이지 61-82 (1975년 1월)
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 4.7. Adaptive Quadrature", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8