보험수리적현재가치

보험수리적 현재가치(APV)는 우발현금흐름의 현재가치(즉, 지급될 수 있거나 없을 수 있는 일련의 지급)의 기대가치다. 보험수리적 현재가치는 일반적으로 생명보험 및 생명연금과 관련된 급여지급 또는 일련의 지급에 대해 계산된다. 미래 지급의 확률은 일반적으로 생명표를 사용하여 추정되는 개인의 미래 사망률에 대한 가정에 기초한다.

생명 보험

종신보험은 피보험자가 사망했을 때 또는 사망 직후에 미리 결정된 보험금을 지급한다. 기호(x)는 "x세의 수명"을 나타내기 위해 사용된다. 여기서 x는 0보다 큰 것으로 가정되는 비랜덤 매개변수다. (x)에게 발행된 전체 생명보험의 한 단위의 보험수리적 현재가치는 보험수리적 표기법에서 ${\displaystyle A{}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$ 또는$$ ${\displaystyle A_{}}$의${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$x ${\$ 기호로 표시된다. 렛츠 G>0("죽을 때의 나이")은 (x)와 같은 개인이 죽을 나이를 모형화하는 임의의 변수다. 그리고 (x)가 그 시점에 사망했을 가능성이 가장 높은 경우에도 T(미래 수명 랜덤 변수)는 급여가 지급될 때 연령-x와 연령(x) 사이에 경과한 시간이다. T는 G와 x의 함수니까 T=T(G,x)라고 쓰겠다. 마지막으로, Z를 시간 T에 1회 지급되는 전체 생명보험급여의 현재가치 랜덤 변수가 되게 한다. 다음:

${\displaystyle \,Z=v^{T}=(1+i)^{-T}=e^{-\delta T}}$

여기서 나는 유효 연이자율이고 Δ는 동등한 이자율이다.

편익의 보험수리적 현재가치를 결정하려면 이 변수 Z의 ${\displaystyle 기대값}$ E${\displaystyle }$( Z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \,E(Z)}$을(를) 계산해야 한다. 사망 보험금이 사망 연도 말에 지급된다고 가정합시다. 그 다음 T(G, x) := 상한(G - x)은 (x) 나이 x를 넘어서서 산 "wole years"(위쪽으로 둥글게)의 수치로, 보험의 한 단위의 보험수리적 현재가치는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\reasoned}A_{x}&=E[Z]=E[v^{T}]\\&=\sum _{t=1}^{\npty }v^{t}Pr[]T=t]=\sum _{t=0}^{\infit }v^{t+1}Pr[T(G,x)=t+1]\\&=\sum _{t=0}^{\inful }v^{t+1}Pr[<G-x\leq t+1\mid G>x]\\&=\sum _{t=0}^{\inflt }v^{t+1}\왼쪽({\frac {Pr[G]x+t]}){Pr[G]x]}}\오른쪽)\왼쪽({\frac {Pr[x+t<G\leq x+t+1]}{Pr[G]x+t]}\오른쪽)\\&=\sum _{t=0}^{\infit }v^{t+1}{}{}_{t_{x}\cdot q_{x+t}\end{aigned}}}}}}}}$

여기서 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\$는 (x)가 x+t까지 생존할 확률이고, ${\displaystyle q_{}}$+ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$는 (x+t)가 1년 이내에 사망할 확률이다.

사망시점에 급여가 지급된다면 T(G,x): = G - x와 전체 생명보험의 한 단위의 보험수리적 현재가치는 다음과 같이 계산한다.

${\displaystyle \,{\overline{A}_{x}\!=E[v^{T}]=\int _{0}^{{0}^{{0}f_{T}(t)\,dt=\int _{0}^{0}^{0}{0}^{{t}p_{x}\mu _{x+t}\,dt,}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 f ${\$$T}}$은 ${\displaystyle T_{}}$의 확률밀도함수로, t p ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\$은(는) $수명{\displaystyle }$ $x{\displaystyle }$ {\$displaystyle x+t}$이(가) x${\displaystyle }$+${\displaystyle }$${\displaystyle t}$ ${\$$displaystyle \mu$ _${$$+t$$}$까지 생존할 확률을 $의미$한다$.$${\displaystyle x}$ $[\displaystyle x$

사망시점에 지급해야 하는 n년기 보험의 1단위의 보험수리적 현재가치는 0부터 n까지를 통합하여 유사하게 찾을 수 있다.

n년 순수기여보험급여의 보험수리적 현재가치는 살아있는 경우 n년 후에 지급해야 하는 보험수리적 현재가치는 다음과 같다.

${\displaystyle \,_{n}E_{x}=Pr[G]x+n]v^{n}=\,_{n}p_{x}v^{n}}}}}}}}$

실제로 임의변수 G (그리고 차례로 T)에 대해 이용할 수 있는 정보는 연도별 수치를 제공하는 수명표에서 도출될 수 있다. 예를 들어 사망연도에 10만 달러를 지급하는 3년 만기 생명보험은 보험수리적 현재가치를 가진다.

$10만 개,A_{{\stackrel{1}{x}}:{{\overline{3}}}}}}=100,000\sum _{t=1}^{3}v^{t}Pr[T(G,x)=t]}}$

예를 들어, 주어진 연도에서 개인이 생존할 확률이 90%라고 가정하십시오(즉, T는 기하 분포에 매개변수 p = 0.9와 지지에 대해 {1, 2, 3, ...}이(가) 설정되어 있음). 그러면

${\displaystyle Pr[T(G,x)=1.1,\quad Pr[T(G,x)=2]=0.9(0.1)=0.09,\quad Pr[T(G,x)=3]=0]=0.9^{2}(0.1)=0.081,}$

그리고 이자율 6%로 3년 만기 보험의 1단위의 보험수리적 현재가치는

${\displaystyle \,A_{\\stackrel {1}{x}}:{{\{3}}}}}}}=0.1(1.06)^{-1}+0.09(1.06)^{-2}+0.081(1.06)^{-3}=0.244846,}$

그래서 10만불 보험의 보험수리적 현재가치는 $24,244.85이다.

실무에서 급여는 1년보다 짧은 기간의 끝에 지급될 수 있으며, 이 경우 공식을 조정해야 한다.

종신연금

연 1회의 생명연금의 보험수리적 현재가치는 다음 두 가지 방법으로 확인할 수 있다.

총액 지급 기법(총 현재 가치의 기대치 사용):

이것은 생명보험의 방법과 비슷하다. 이 때 임의변수 Y는 연 1의 연금액에 대한 총 현재가치 랜덤변수로, x세 연령을 기준으로 발행되며, 사람이 살아있는 한 연속적으로 지급되며, 다음과 같이 부여된다.

${\displaystyle Y={\overline{a}_{\overline{T(x)}}}={\frac {1-(1+i)^{-T}}={\frac {1-v^{T}}}}},}$

여기서 T=T(x)는 개인 연령 x에 대한 미래 수명 랜덤 변수다. Y의 기대값은 다음과 같다.

${\displaystyle \,{\overline {a}}_{x}=\int _{0}^{\infty }{\overline {a}}_{\overline {t }}f_{T}(t)\,dt=\int _{0}^{\infty }{\overline {a}}_{\overline {t }}\,_{t}p_{x}\mu _{x+t}\,dt.}$

현재 지급 기법(지급 예상가치를 나타내는 시간 함수의 총 현재가치를 취함):

${\displaystyle \,{\overline{a}_{x}=\int_{0}^{{0}^{\v^{t}[1-F_{T}(t)]\,dt=\int_{0}^{0}{0}^{v^{t},p_{x},d},t}$

여기서 F(t)는 랜덤 변수 T의 누적 분포 함수다.

균등성은 부품별 통합에서도 나타난다.

실제 생활에서는 연금액이 지속적으로 지급되지 않는다. 만약 각 기간의 말에 지급이 이루어진다면 보험수리적 현재가치는 다음과 같다.

${\displaystyle a_{x}=\sum _{t=1}^{\nothy }{t}{t}}{t}(t)=\sum _{t=1}^{t^{t}\,_{t}p_{x}.}$

연간 총 지급액을 1로 유지하면 기간이 길어질수록 현재가치는 다음의 두 가지 효과로 인해 작아진다.

• 결제는 연속적인 경우보다 평균 반년 늦게 이루어진다.
• 사망기에는 그 시간에 대한 비례적 지급이 없다. 즉, 평균 반기에 대한 지급 손실이다.

반대로 일괄타결액이 동일하고 내부수익률이 동일한 계약의 경우 지급간격이 길수록 연간 총지급액은 더 커진다.

생명연금의 기능으로서의 생명보장

평생보증의 APV는 다음과 같은 방법으로 전체 연금지급액의 APV에서 도출할 수 있다.

${\displaystyle \,A_{x}=1-iv{\ddot{a}_{x}}$

이것은 또한 일반적으로 다음과 같이 쓰여진다.

${\displaystyle \,A_{x}=1-d{\ddot{a}_{x}}$

계속적으로 보면.

${\displaystyle \,{\overline{A}_{x}=1-\delta {\overline{a}_{x}.}$

연금과 생명보증이 전생이 아닌 경우에는 보증을 n년 만기보증(n년 만기보증과 n년 순수기여금의 합으로 표현할 수 있음)으로, 연금은 만기가 도래한 n년연금으로 대체해야 한다.

참고 항목

• 보험수리적학
• 보험수리적 표기법
• 보험수리적준비금
• 배우자
• 생명표
• 현재가치

참조

• 1997년 Bowers, N.L., Gerber, H.U., Hickman, J.C., J.J. 존스, D.A., 네스빗, C.J. 4-5장.
• 위험의 수량화를 위한 모델 (제4판), 2011년, By Robin J. Cunningham, Thomas N. 허조그, 리처드 L. 런던, 7-8장