아비얀카르의 추측
Abhyankar's conjecture추상 대수학에서 아비얀카르의 추측이란 특성 p의 대수적 함수 분야의 갈루아 그룹에 대한 1957년 슈레람 아비얀카르의 추측이다.[1]수용성 사건은 1990년[2] 세레에 의해 해결되었고 완전한 추측은 1994년 미셸 레이노와 데이비드 하바터의 작품으로 증명되었다.[3][4][5]
문제는 유한군 G, 소수 p, 특성 p의 대수적으로 닫힌 필드 K에 대해 정의된 비응축 적분 대수 곡선 C의 함수 필드 K(C)를 포함한다.
이 질문은 G를 갈루아 그룹으로, 그리고 특정한 라미네이션과 함께 K(C)의 갈루아 확장자 L의 존재를 다룬다.기하학적 관점에서 L은 형태론과 함께 또 다른 곡선 C′에 해당한다.
- π : C′ → C
기하학적으로 C에 있는 점의 유한 집합 S에서 π이 함축된다는 주장은 C에서 S의 보완에 국한된 π이 étal 형태론임을 의미한다.이것은 리만 표면의 경우와 유사하다.아비얀카르의 추측에서 S는 고정되어 있으며, 문제는 G가 무엇이 될 수 있느냐 하는 것이다.그러므로 이것은 역 갈루아 문제의 특별한 유형이다.
부분군 p(G)는 소수 p에 대해 G의 모든 Sylow 부분군에 의해 생성된 부분군으로 정의된다.이것은 정상적인 부분군이며, 매개변수 n은 다음 중 최소의 생성자 수로 정의된다.
- G/p(G)
그 다음 K에 대한 C 투영 라인의 경우, 만약 다음과 같은 경우에만 G가 s + 1점을 포함하는 S 바깥의 Galois 그룹인 L로 실현될 수 있다고 추측한다.
- n ≤ s.
이것은 레이노에 의해 증명되었다.
하바터에 의해 증명된 일반적인 경우를 위해 g는 C의 속이라고 하자.그러면 G는 다음과 같은 경우에만 실현될 수 있다.
- n ≤ s + 2 g.
참조
- ^ Abhyankar, Shreeram (1957), "Coverings of Algebraic Curves", American Journal of Mathematics, 79 (4): 825–856, doi:10.2307/2372438.
- ^ Serre, Jean-Pierre (1990), "Construction de revêtements étales de la droite affine en caractéristique p", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I (in French), 311 (6): 341–346, Zbl 0726.14021
- ^ Raynaud, Michel (1994), "Revêtements de la droite affine en caractéristique p > 0", Inventiones Mathematicae, 116 (1): 425–462, Bibcode:1994InMat.116..425R, doi:10.1007/BF01231568, Zbl 0798.14013.
- ^ Harbater, David (1994), "Abhyankar's conjecture on Galois groups over curves", Inventiones Mathematicae, 117 (1): 1–25, Bibcode:1994InMat.117....1H, doi:10.1007/BF01232232, Zbl 0805.14014.
- ^ Fried, Michael D.; Jarden, Moshe (2008), Field arithmetic, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, vol. 11 (3rd ed.), Springer-Verlag, p. 70, ISBN 978-3-540-77269-9, Zbl 1145.12001
