영상 모멘트

이미지 처리, 컴퓨터 비전 및 관련 분야에서 이미지 모멘트는 이미지 픽셀의 강도에 대한 특정 가중 평균(순간) 또는 그러한 모멘트의 함수로, 일반적으로 매력적인 특성 또는 해석을 가지도록 선택됩니다.

영상 모멘트는 분할 후 객체를 설명하는 데 유용합니다.영상 모멘트를 통해 발견되는 영상의 간단한 속성에는 면적(또는 총 명암), 중심 및 방향에 대한 정보가 포함됩니다.

원시 모멘트

2D 연속 함수 f(x,y)의 경우 순서 모멘트(p + q)는 다음과 같이 정의됩니다.

M_{pq}=\int \int _{-\infty }^{-\infty }^{\infty }x^{p}y^{q}f(x,y)f,dy,dy

p,q = 0,1,2,...이를 픽셀 강도 I(x,y)의 스칼라(그레이스케일) 영상에 적응시키면 원시 이미지 모멘트_ij M은 다음과 같이 계산됩니다.

M_{ij}=\sum _{x}\sum _{y}x^{i}y^{j}I(x,y)\!

경우에 따라서는 화상을 확률밀도함수로 간주함으로써, 즉 상기의 나눗셈에 의해 계산될 수 있다.

(\displaystyle \sum _{x}\sum _{y}I(x,y)\!}

고유성 정리(Hu[1962])는 f(x,y)가 구간적으로 연속적이며 xy 평면의 유한 부분에만 0이 아닌 값을 가지면 모든 차수의 모멘트가 존재하며 모멘트 시퀀스(M_pq)는 f(x,^[1]y)에 의해 일의로 결정된다고 기술한다.반대로 (M_pq)은 f(x,y)를 일의로 결정한다.실제로 화상은 몇 가지 저차 모멘트의 함수로 요약됩니다.

예

원시 모멘트를 통해 파생되는 간단한 이미지 속성은 다음과 같습니다.

면적(바이너리 이미지의 경우) 또는 그레이 레벨의 합계(그레이톤 이미지의 경우): $({$
$\{{\bar {x}},\ {\bar {y}}\}=\left\{{\frac {M_{10}}{M_{00}}},{\frac {M_{01}}{M_{00}}}\right\}$ { $\{{\bar {x}},\ {\bar {y}}\}=\left\{{\frac {M_{10}}{M_{00}}},{\frac {M_{01}}{M_{00}}}\right\}$ $\{{\bar {x}},\ {\bar {y}}\}=\left\{{\frac {M_{10}}{M_{00}}},{\frac {M_{01}}{M_{00}}}\right\}$ y $\{{\bar {x}},\ {\bar {y}}\}=\left\{{\frac {M_{10}}{M_{00}}},{\frac {M_{01}}{M_{00}}}\right\}$ } $\{{\bar {x}},\ {\bar {y}}\}=\left\{{\frac {M_{10}}{M_{00}}},{\frac {M_{01}}{M_{00}}}\right\}$ { $\{{\bar {x}},\ {\bar {y}}\}=\left\{{\frac {M_{10}}{M_{00}}},{\frac {M_{01}}{M_{00}}}\right\}$ $\{{\bar {x}},\ {\bar {y}}\}=\left\{{\frac {M_{10}}{M_{00}}},{\frac {M_{01}}{M_{00}}}\right\}$ M $\{{\bar {x}},\ {\bar {y}}\}=\left\{{\frac {M_{10}}{M_{00}}},{\frac {M_{01}}{M_{00}}}\right\}$ 、 $\{{\bar {x}},\ {\bar {y}}\}=\left\{{\frac {M_{10}}{M_{00}}},{\frac {M_{01}}{M_{00}}}\right\}$ $\{{\bar {x}},\ {\bar {y}}\}=\left\{{\frac {M_{10}}{M_{00}}},{\frac {M_{01}}{M_{00}}}\right\}$ M $\{{\bar {x}},\ {\bar {y}}\}=\left\{{\frac {M_{10}}{M_{00}}},{\frac {M_{01}}{M_{00}}}\right\}$ $}$ { \ $displaystyle$ \ { \ $bar$ { $x$ } , \ { \ $bar$ { y} \ } = \ $left$ \ { \ { \ $frac$ { M _ { $10$ } } { $M_{00}}, {\frac {M_{01}}{$ $M_{00}}\right\}$

중심 모멘트

중심 모멘트는 다음과 같이 정의됩니다.

\displaystyle \mu _{pq}=\int \int _{-\infty}^{\infty}(x-{\bar {x})^{p}(y-{\bar {y})^{q}f(x,y,y},dy})

${\bar {x}}={\frac {M_{10}}{M_{00}}}$ 서 x ${\bar {x}}={\frac {M_{10}}{M_{00}}}$ ${\bar {x}}={\frac {M_{10}}{M_{00}}}$ ${\bar {x}}={\frac {M_{10}}{M_{00}}}$ ${\bar {x}}={\frac {M_{10}}{M_{00}}}$ M ${\bar {x}}={\frac {M_{10}}{M_{00}}}$ ({ $displaystyle$ { $x$ } = $flac$ { $M$ _ { $10$ } ) { $M_{00}}}}$ ${\bar {y}}={\frac {M_{01}}{M_{00}}}$ y ${\bar {y}}={\frac {M_{01}}{M_{00}}}$ ${\bar {y}}={\frac {M_{01}}{M_{00}}}$ ${\bar {y}}={\frac {M_{01}}{M_{00}}}$ ${\bar {y}}={\frac {M_{01}}{M_{00}}}$ M 00 ({ $displaystyle {y}}$ = $flac {M_{01}}$ { $M_{00}}}}$ 은 ${\bar {y}}={\frac {M_{{01}}}{M_{{00}}}}$ 중심 성분입니다.

δ(x, y)가 디지털 이미지일 경우 앞의 방정식은

\mu _{pq}=\sum _{x}\sum _{y}(x-{\bar {x})^{p}(y-{\bar {y})^{q}f(x,y)}}

주문의 중심 순서는 다음과 같습니다.

\displaystyle \mu _{00}=M_{00},\!}

\mu _{01}=0,\!

\mu _{10}=0,\!

\displaystyle \mu _{11}=M_{x}=M_{01}=M_{11}-{\bar {y}M_{10}}

\displaystyle \mu _{20}=M_{20}-{\bar {x}M_{10}}

\mu _{02}=M_{02}-{\bar {y}}M_{01,

\mu _{21}-2{\bar {x}}M_{11}-{\bar {y}M_{20}+2{\bar {x}^2}M_{01,

{{12}=M_{12}-2{\bar {y}}M_{11}-{\bar {x}M_{02}+2{\bar {y}}M_{10}

\mu _{30}=M_{30}-3{\bar {x}}M_{20}+2{\bar {x}}^{2}M_{10}

\displaystyle \mu _{03}=M_{03}-3{\bar {y}}M_{02}+2{\bar {y}^2}M_{01}}

다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\mu _{p}=\sum _{m}^{n}{q \choose n}(-{\bar {x})^{(p-m})^{(-{\bar {y}})^{(q-n}}}}M_{mn

중심 모멘트는 번역 불변입니다.

예

영상 방향에 대한 정보는 먼저 2차 중심 모멘트를 사용하여 공분산 행렬을 구성함으로써 얻을 수 있습니다.

\displaystyle \mu '_{20}=\mu _{00}=M_{20}/M_{00}-{\bar {x}^2}

\displaystyle \mu '_{02}=\mu _{00}=M_{02}/M_{00}-{\bar {y}^2}

\displaystyle \mu '_{11}=\mu _{00}=M_{11}/M_{00}-{\bar {x}}{\bar {y}}

$I(x,y)$ I $x$ $I(x,y)$ ) { $displaystyle$ I $(x, y$ )}의 $I(x,y)$ 공분산 행렬은 다음과 같습니다.

\operatorname {cov} [I(x,y)]={\begin{bmatrix}\mu '_{20}&\mu '_{11}\\\mu '_{11}&\mu '_{02}\end{bmatrix}}

\operatorname {cov} [I(x,y)]={\begin{bmatrix}\mu '_{20}&\mu '_{11}\\\mu '_{11}&\mu '_{02}\end{bmatrix}}

[

\operatorname {cov} [I(x,y)]={\begin{bmatrix}\mu '_{20}&\mu '_{11}\\\mu '_{11}&\mu '_{02}\end{bmatrix}}

(

\operatorname {cov} [I(x,y)]={\begin{bmatrix}\mu '_{20}&\mu '_{11}\\\mu '_{11}&\mu '_{02}\end{bmatrix}}

,

\operatorname {cov} [I(x,y)]={\begin{bmatrix}\mu '_{20}&\mu '_{11}\\\mu '_{11}&\mu '_{02}\end{bmatrix}}

)

\operatorname {cov} [I(x,y)]={\begin{bmatrix}\mu '_{20}&\mu '_{11}\\\mu '_{11}&\mu '_{02}\end{bmatrix}}

]

=

[

\operatorname {cov} [I(x,y)]={\begin{bmatrix}\mu '_{20}&\mu '_{11}\\\mu '_{11}&\mu '_{02}\end{bmatrix}}

20

\operatorname {cov} [I(x,y)]={\begin{bmatrix}\mu '_{20}&\mu '_{11}\\\mu '_{11}&\mu '_{02}\end{bmatrix}}

\operatorname {cov} [I(x,y)]={\begin{bmatrix}\mu '_{20}&\mu '_{11}\\\mu '_{11}&\mu '_{02}\end{bmatrix}}

11

\operatorname {cov} [I(x,y)]={\begin{bmatrix}\mu '_{20}&\mu '_{11}\\\mu '_{11}&\mu '_{02}\end{bmatrix}}

\operatorname {cov} [I(x,y)]={\begin{bmatrix}\mu '_{20}&\mu '_{11}\\\mu '_{11}&\mu '_{02}\end{bmatrix}}

11

\operatorname {cov} [I(x,y)]={\begin{bmatrix}\mu '_{20}&\mu '_{11}\\\mu '_{11}&\mu '_{02}\end{bmatrix}}

µ

\operatorname {cov} [I(x,y)]={\begin{bmatrix}\mu '_{20}&\mu '_{11}\\\mu '_{11}&\mu '_{02}\end{bmatrix}}

02

\operatorname {cov} [I(x,y)]={\begin{bmatrix}\mu '_{20}&\mu '_{11}\\\mu '_{11}&\mu '_{02}\end{bmatrix}}

μ

02

]{

\operatorname {

cov

}[

I

( x , y ) ]=

specbegin

{

bmatrix

}\ mu '

_{20

} & \

mu

'

_{ 11

} \ mu '\ mu ' 11 } \

mu

'

11

} \ mat _ mu '

11 }

\

mu

'

11

}

이 행렬의 고유 벡터는 영상 강도의 큰 축과 작은 축에 해당하므로, 따라서 방향은 이 고유 벡터에 가장 가까운 축을 향해 가장 큰 고유 값과 연관된 고유 벡터의 각도에서 추출할 수 있습니다.이 각도 δ는 다음 공식에 의해 주어지는 것을 알 수 있다.

({displaystyle\Theta={1}{2}}\arctan\leftfrac{2\mu '_{11}}{\mu '_{20}-\mu '_{02}}}\오른쪽)})

위의 공식은 다음 기간 동안 유지됩니다.

\displaystyle \mu '_{20}-\mu '_{02}\neq 0}

공분산 행렬의 고유값은 다음과 같이 쉽게 나타낼 수 있습니다.

\displaystyle _{i}=pm frac {{mu '_{20}+{11}^{2}+({\mu '}_{20}-{\mu '}_{02}) {{2}

고유 벡터 축의 제곱 길이에 비례합니다.따라서 고유값의 상대적 크기 차이는 이미지의 편심률 또는 이미지의 길이가 얼마나 긴지를 나타냅니다.특이한 점은

{1-{\frac} {\displayda _{2}} {\displayda _{1}}}.

모멘트 불변량

모멘트는 특정 변환 클래스에 대한 불변량을 도출하는 데 사용될 수 있기 때문에 이미지 분석에서 모멘트를 적용하는 것으로 잘 알려져 있습니다.

불변의 순간이라는 용어는 종종 이 맥락에서 남용된다.그러나 모멘트 불변량이 모멘트로부터 형성되는 불변량인 반면, 모멘트 자체가 유일하게 불변인 것은 중심 ^{[citation needed]}모멘트이다.

아래에 설명된 불변량은 연속 영역에서만 정확히 불변합니다.이산 영역에서는 스케일링도 회전도 잘 정의되어 있지 않다.이렇게 변환된 이산 화상은 일반적으로 근사치이며 변환은 되돌릴 수 없다.따라서 이러한 불변량은 이산 이미지에서 형상을 설명할 때 거의 변하지 않습니다.

번역 불변수

어떤 차수의 중심 모멘트_{i j} μ는 구조상 번역에 관해 불변합니다.

척도 불변량

변환과 스케일에 관한 불변량 θ는_{i j} 적절히 스케일링된 0번째 중심 모멘트를 통해 분할함으로써 중심 모멘트에서 구성할 수 있다.

\displaystyle \eta _{ij}=parcfrac {\mu _{00}^{\left(1+{\frac {i+j}{2}}}\오른쪽)}}}\,\!}

여기서 i + j 2 2. 변환 불변성은 중심 모멘트만을 사용하여 직접 이어집니다.

회전 불변량

Hu의 ^[2]^[3]연구에서 보듯이 변환, 스케일 및 회전과 관련된 불변량을 구성할 수 있습니다.

$I_{1}=\eta_{20}+\eta_{02$

$({displaystyle I_{2}=(\eta _{20}-\eta _{02})^{2}+4\eta _{11}^2})$

$I_{3}=(\eta _{30}-3\eta _{12})^2}+(3\eta _{214-\eta _{03})^2}$

$I_{4}=(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}+(\eta _{21}+\eta _{03})^{2$

$\displaystyle I_{5}=(\eta _{30}-3\eta _{12})(\eta _{30}+\eta _{12})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-3(\eta _214+\eta _{03})^2}+(2)_2+(3\eta _21)_21)_2_2_2_2_2_2_2_2_2_2_21)_2_2_2_2_2_2_2_2_2_21)$

$({displaystyle I_{6}=(\eta _{20}-\eta _{02})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{21}+\eta _{03})^{11}(\eta _{30}+\eta _{12})_3})$

$I_{7}=(3\eta _{21}-\eta _{03})(\eta _{30}+\eta _{12})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-3(\eta _214+\eta _{03})^2}-{2}-(\eta _{2})_{2}_{2}_{2}_{03}_{12}_{12}_{\eta_{\eta_{}_{12})$

이것들은 Hu 모멘트 불변량으로 잘 알려져 있다.

첫 번째 I는₁ 이미지 중심 주변의 관성 모멘트와 유사하며 픽셀의 강도는 물리적 밀도와 유사합니다.처음 여섯 번은₁...I는₆ 반사 대칭입니다. 즉, 이미지가 거울 이미지로 변경되어도 변경되지 않습니다.마지막 I는₇ 반사 반대칭(반사 아래 변경 부호)으로, 그렇지 않으면 동일한 이미지의 미러 이미지를 구분할 수 있습니다.

완전하고 독립적인 회전 모멘트 불변량 집합 도출에 대한 일반 이론은 J. 플러서에 ^[4]의해 제안되었다.그는 전통적인 Hu 모멘트 불변량 집합이 독립적이지도 완전하지도 않다는 것을 보여주었다.나는₃ 다른 것에 의존하기 때문에 별로 쓸모가 없다.원래 Hu 집합에는 누락된 3차 독립 모멘트 불변량이 있습니다.

({displaystyle I_{8}=\eta _{11}[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{03}+{21)^2}-(\eta _{20}-\eta _{020}-{021)

나처럼₇ 나도₈ 반사대칭이다.

나중에 J. 플러서와 T.석은^[5] N-회전 대칭 형태 사례에 대한 이론을 전문화했다.

적용들

장 외는 병리 뇌 검출(PBD) ^[6]문제를 해결하기 위해 Hu 모멘트 불변량을 적용했다.Doerr와 Florence는 2차 중심 모멘트에 관련된 물체 방향 정보를 사용하여 마이크로 X선 ^[7]단층 촬영 이미지 데이터에서 변환 및 회전 불변 물체 단면을 효과적으로 추출했다.

외부 링크

에든버러 대학교 이진 이미지 분석
통계 모멘트, 에든버러 대학교
변종 순간, 기계 인식 및 컴퓨터 비전 페이지(Matlab 및 Python 소스 코드)
YouTube의 Hu Moments 소개 동영상
Gist 이 페이지의 구현, 주피터 및 파이썬.

레퍼런스

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^ J. 플러서: "회전 모멘트 불변량의 독립성에 대하여", 패턴 인식, vol. 33, 페이지 1405–1410, 2000.
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^ Zhang, Y. (2015). "Pathological Brain Detection based on wavelet entropy and Hu moment invariants". Bio-Medical Materials and Engineering. 26: 1283–1290. doi:10.3233/BME-151426. PMID 26405888.
^ Doerr, Frederik; Florence, Alastair (2020). "A micro-XRT image analysis and machine learning methodology for the characterisation of multi-particulate capsule formulations". International Journal of Pharmaceutics: X. 2: 100041. doi:10.1016/j.ijpx.2020.100041. PMC 6997304. PMID 32025658.

[1] Gonzalez, Rafael C.; Woods, Richard E. (2001). Digital Image Processing. Prentice Hall. p. 672. ISBN 0-201-18075-8.

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[Suk-5] J. 플러서와 T.Suk, "대칭 물체의 인식을 위한 회전 모멘트 불변량", IEEE 변환.이미지 프로세서, 제15권, 페이지 3784-3790, 2006.

[6] Zhang, Y. (2015). "Pathological Brain Detection based on wavelet entropy and Hu moment invariants". Bio-Medical Materials and Engineering. 26: 1283–1290. doi:10.3233/BME-151426. PMID 26405888.

[7] Doerr, Frederik; Florence, Alastair (2020). "A micro-XRT image analysis and machine learning methodology for the characterisation of multi-particulate capsule formulations". International Journal of Pharmaceutics: X. 2: 100041. doi:10.1016/j.ijpx.2020.100041. PMC 6997304. PMID 32025658.

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