폰 노이만 역설

수학에서, 존 폰 노이만의 이름을 딴 폰 노이만 역설은 단위 사각형 같은 평면형상을 점들의 집합으로, 각각 설정되는 영역 보존형 변형으로 깨뜨려 그 결과가 원본과 같은 크기의 평면형상 2개가 될 수 있다는 생각이다. 이것은 1929년 존 폰 노이만(John von Neumann)에 의해 선택 공리를 가정하여 증명되었다. 이전의 바나흐-타르스키 패러독스에 바탕을 두고 있으며, 하우스도르프 패러독스에 차례대로 바탕을 두고 있다.

바나흐와 타르스키는 등축 변환을 이용하여 2차원 형상을 분해하여 재조립하는 결과가 반드시 원본과 동일한 영역을 가질 것임을 증명했다. 이렇게 하면 하나의 단위 제곱 중 두 개의 단위 제곱을 만들 수 없게 된다. 그러나 폰 노이만은 소위 역설적인 분해의 속임수는 두 개의 발전기를 가진 자유 집단을 포함하는 변형 집단의 사용이라는 것을 깨달았다. 영역 보존 변환 그룹(특수 선형 그룹 또는 특수 결합 그룹)은 이러한 하위 그룹을 포함하며, 이를 통해 역설적인 분해 작업을 수행할 수 있다.

방법의 스케치

다음은 폰 노이만이 발견한 방법을 비공식적으로 설명한 것이다. σ과 τ의 두 변환에 의해 생성되는 영역 보존 선형 변환의 자유 그룹 H가 있다고 가정해 보십시오. 이 변환은 ID 요소에서 멀지 않은 곳에 있습니다. Being a free group means that all its elements can be expressed uniquely in the form ${\displaystyle \sigma ^{u_{1}}\tau ^{v_{1}}\sigma ^{u_{2}}\tau ^{v_{2}}\cdots \sigma ^{u_{n}}\tau ^{v_{n}}}$ for some n, where the ${\displaystyle u}$s and ${\displaystyle v}$${\$$displaystyle$ $v}$는 첫 $번째$u$$ ${\$ u}과 마지막 v {\$displaystyle$ v$}$을(를) 제외하고 모두 0이 아닌 정수임$.$ 이 그룹을 두 부분으로 나눌 수 있다. σ에서 시작하는 σ에서 약간의 0이 아닌 전원(이 세트 A라고 함)과 τ으로 시작하는 τ에서 시작하는 ${\displaystyle u_{}}$로 시작하는 u 1을 일부 전원($즉{\displaystyle {}_{}}$, ${\\$displaystate u1 {\$displaystate u_{{{$$1.$1은$$ 0이다. 이 세트를 B라고 하며, ID를 포함한다.

우리가 H의 다양한 원소에 의해 유클리드 2공간의 어떤 지점에서 작동한다면 우리는 그 지점의 궤도라고 불리는 것을 얻게 된다. 따라서 평면의 모든 점들은 궤도로 분류될 수 있으며, 그 중 연속체의 카디널리티를 가진 무한 숫자가 있다. 선택 공리를 이용하여 각 궤도로부터 한 점을 선택하고 이 점들의 집합 M을 호출할 수 있다. 우리는 H의 고정점인 원점을 제외한다. 만약 우리가 H의 모든 요소에 의해 M에서 작동한다면, 우리는 정확히 한 번 비행기의 각 지점(원점 제외)을 생성한다. 만약 우리가 A나 B의 모든 요소들에 의해 M으로 작업한다면, 우리는 조합이 원점을 제외한 모든 점인 두 개의 분리된 세트를 얻는다.

이제 우리는 유닛 스퀘어나 유닛 디스크와 같은 수치를 얻는다. 그리고 나서 우리는 완전히 그 안에 있는 또 다른 형상을 선택하는데, 예를 들어, 원점을 중심으로 한 더 작은 사각형이다. 우리는 비록 일부 포인트를 2개 이상의 복사본으로 덮지만 작은 인물의 여러 복사본으로 큰 인물을 커버할 수 있다. 그러면 우리는 큰 인물의 각 점을 작은 인물의 사본 중 하나에 배정할 수 있다. 각 카피 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$C ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle \dots ,C_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 해당하는 세트를 호출하자$.$ 이제 큰 그림의 각 포인트를 영역 보존 변환만 사용하여 내부 한 지점에 일대일 매핑한다. $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}에 속하는 점을 취하여$$ C ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$} 정사각형의$$ 중심이 원점에 오도록 번역한다. 그런 다음 위에 정의한 A 세트에 있는 포인트를 취하여 지역 보존 운영 σ에 의해 해당 포인트에 대해 운영한다. 이것은 그들을 B 세트에 넣는다. 그런 다음 B에 속하는 포인트를 취하여 σ으로² 수술한다. 그들은 지금 B에 있을 것이지만, 이 점들의 집합은 이전 세트와 분리될 것이다. 우리는₂ C에서 A 지점의 ττ³(중심화 후)과 B 지점의 σ⁴ 등을 이용하여 이러한 방식으로 진행한다. 이렇게 해서 큰 수치(일부 고정점 제외)부터 중앙에서 그리 멀지 않은 B타입 포인트, 큰 수치 내에서 1대1 방식으로 모든 포인트를 매핑했다. 그러면 우리는 A타입 포인트에 두 번째 매핑을 할 수 있다.

이 시점에서 칸토르-번스타인-슈뢰더 정리법을 적용할 수 있다. 이 정리는 우리가 세트 D에서 세트 E로 주사(큰 그림에서 그 안에 있는 A형 포인트로 주사), E에서 D로 주사(그림의 A형 포인트에서 본인에 대한 신원 매핑 등)를 가지고 있다면 D와 E 사이에 일대일 대응관계가 있다는 것을 말해준다. 즉, 큰 그림에서 그 안에 있는 A 포인트의 부분 집합으로 매핑을 하면, 큰 그림에서 그 안에 있는 모든 A 포인트로 매핑(편향)을 할 수 있다. (일부 지역에서는 앞 단락에서 설명한 매핑을 사용하여 매핑하는 경우도 있다.) 마찬가지로 우리는 큰 수치에서 그 안에 있는 모든 B 지점으로 지도를 만들 수 있다. 그래서 이것을 반대로 보면, 우리는 그 수치를 그것의 A와 B 점으로 분리하고, 그리고 이것들 각각을 전체 그림으로 다시 매핑할 수 있다. (즉, 두 종류의 점을 모두 포함)!

이 스케치는 고정된 포인트를 처리하는 방법 등 몇 가지를 얼버무린다. 이를 위해 더 많은 매핑과 더 많은 집합이 필요한 것으로 나타났다.

결과들

광장의 역설은 다음과 같이 강화될 수 있다.

비어 있지 않은 내부 인테리어가 있는 유클리드 평면의 경계 하위 세트 2개는 지역 보존 부속 지도와 관련하여 동일하다.

이것은 조치 문제에 관한 결과를 가져온다. 폰 노이만이 지적한 바와 같이

"Ebene kein nichtnegates 첨가제인 Ma ( (Wo das Einheitsquadrat das Ma 1 1 hat), dass [sic] gegenüber alen Abbbbildungen von invariant₂ were.^[1]

이에 따라 이미 평면에는 A[영역 보존형 부착형 변환군]에₂ 속하는 모든 변환에 대해 불변하는 (단위 제곱의 측정치가 1인) 비음성 첨가물이 없다.

이를 좀 더 설명하자면, 특정 변형 하에서 보존되는 정밀하게 첨가된 측정치가 존재하느냐의 문제는 어떤 변환이 허용되느냐에 달려 있다. 번역과 회전에 의해 보존되는 평면 내 세트 바나흐 측정은 다곤의 면적을 보존할 때에도 비 등축 변환에 의해 보존되지 않는다. 위에서 설명한 것처럼 (원점을 제외한) 평면의 점들은 우리가 A와 B라고 부를 수 있는 두 개의 밀도 세트로 나눌 수 있다. 특정 영역 보존 변환에 의해 주어진 폴리곤의 A 지점이 변환되고 B 지점이 다른 지점으로 변환되는 경우, 두 집합 모두 두 개의 새로운 폴리곤에서 B 지점의 하위 집합이 될 수 있다. 새로운 폴리곤은 구 폴리곤과 면적이 동일하지만, 변형된 두 세트는 (B 포인트의 일부만 포함하기 때문에) 이전과 같은 척도를 가질 수 없고, 따라서 '작동'하는 척도가 없다.

바나흐-타르스키 현상의 연구 과정에서 폰 노이만이 고립시킨 집단의 등급은 수학의 많은 영역에서 매우 중요한 것으로 판명되었다: 이것들은 어메니블 그룹 또는 불변 평균을 가진 집단이며, 모든 유한하고 모든 해결 가능한 집단을 포함한다. 일반적으로 말해서 역설적인 분해는 등가성 정의에서 동등성에 사용되는 집단이 순응할 수 없을 때 발생한다.

최근진행

폰 노이만의 논문은 선형군 SL(2,R)에 관해서 유닛 광장 내부의 역설적인 분해 가능성을 열어두었다(웨건, 질문 7.4). 2000년, 미클로스 라츠코비치는 그러한 부패가 존재한다는 것을 증명했다.^[2] 더 정확히 말하면, A는 비 빈 내부와 출발지로부터 양의 거리에 있는 비행기의 모든 경계 하위 집합의 가족이 되고, B 모든 평면 집합의 가족이 SL(2,R)의 일부 요소에 따라 정밀하게 많은 조합이 해석하는 특성이 있는 것이다. 그러면 A 계열의 모든 세트는 SL(2,R) 등가성이며, B 계열의 세트와 마찬가지로 동일하다. 두 가문이 모두 역설적인 집합으로 이루어져 있다는 것이 그 뒤를 잇는다.

참조