코어(그룹 이론)

수학의 한 분야인 집단 이론에서, 핵심은 집단의 어떤 특별한 정상 하위집단이다.가장 일반적인 두 가지 유형은 부분군의 정규 중심과 그룹의 p-core이다.

노멀 코어

정의

그룹 G의 경우, 부분군 H의 정규 코어 또는 정규 내부는^[1] H에 포함된 G의 최대 정규 부분군(또는 동등하게 H의 결합체의 교차점)이다.보다 일반적으로 부분 집합 S ⊆ G에 관한 H의 핵심은 S에 따른 H의 결합체의 교차점이다.

${\displaystyle \mathrm {Core} _{S}(H):=\빅캡 _{s\in S}{s^{-1}Hs}.}$

이 보다 일반적인 정의에서 정상 코어는 S = G에 대한 코어다. 정상 서브그룹의 정상 코어는 부분군 그 자체다.

의의

정상 코어는 어떤 점의 동위원소 서브그룹의 정상 코어가 전체 궤도에서 아이덴티티로 작용하는 집합에서 그룹 작용의 맥락에서 중요하다.따라서, 작용이 전이적인 경우, 어떤 동위원소 하위 그룹의 정상 코어는 정확히 작용의 커널이다.

노심 없는 부분군은 정상 노심이 사소한 부분군인 부분군을 말한다.동등하게, 그것은 전이적이고 충실한 그룹 작용의 동위원소 하위그룹으로 발생하는 하위그룹이다.

아벨리아 사례에서 숨겨진 부분군 문제에 대한 해결책은 임의 그룹의 부분군의 경우 정상 코어를 찾는 것으로 일반화된다.

p-core

이 절에서 G는 일부 측면이 국소적으로 유한한 그룹과 이익집단에 일반화되기는 하지만 유한 집단을 나타낸다.

정의

prime p의 경우 유한집단의 p-core는 그것의 가장 큰 정상 p-subgroup으로 정의된다.그것은 그룹의 모든 Sylow p-subgroup의 정상적인 핵심이다.G의 p-core는 $O{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle O_{p}(G$로 표기되는 경우가 많으며, 특히 유한집단의 Fitting 하위집단의 정의 중 하나에 나타난다.Similarly, the p′-core is the largest normal subgroup of G whose order is coprime to p and is denoted ${\displaystyle O_{p'}(G)}$. In the area of finite insoluble groups, including the classification of finite simple groups, the 2′-core is often called simply the core and denoted ${\displaystyle O(G)}$. Th보통 한 집단의 핵심과 집단의 핵심을 구별할 수 있기 때문에, 작은 양의 혼란만 야기한다.The p′,p-core, denoted ${\displaystyle O_{p',p}(G)}$ is defined by ${\displaystyle O_{p',p}(G)/O_{p'}(G)=$$O_{p}(G/O_{p'}(G$ 유한 그룹의 경우 p p,p-core는 고유하게 가장 큰 정상 p-nilpotent 하위 그룹이다.

또한 p-core는 고유하게 가장 큰 부정규격 p-부분군, p-core는 고유하게 가장 큰 부정규격 p-부분군, p-core는 고유하게 가장 큰 부정규격 p-nilpotent 하위군으로 정의할 수 있다.

p′과 p′,p-core는 상위 p-시리즈를 시작한다.π₁, π₂, ..., π의_n+1 primes 설정의 경우, 다음과 같이 부분군_{π1, π2, ..., πn+1} O(G)를 정의한다.

${\displaystyle O_{1}, {1},\pi _{2},\dots,\pi _{n+1}(G)/O_{1},\pi _{1},\dots,\n}(G)=O_{\pi _{n+1}(G/O_{\pi _{1},\pi _{2},\dots,\pi _{n}(G))}$

상위 p-시리즈는 π_2i−1 = p′, π_2i = p를 취함으로써 형성되며, 하위 p-시리즈도 있다.유한집단은 자신의 p′,p-core와 동일한 경우에만 p-nilpotent라고 한다.유한 집단은 상위 p-시리즈의 어떤 용어와 동일한 경우에만 p-solution이 가능하다고 한다. p-length는 상위 p-시리즈의 길이다.A finite group G is said to be p-constrained for a prime p if ${\displaystyle C_{G}(O_{p',p}(G)/O_{p'}(G))\subseteq O_{p',p}(G)}$.

모든 nilpotent 그룹은 p-nilpotent이고, p-nilpotent 그룹은 p-solutable이다.모든 수용성 집단은 p-용해성이며, 모든 p-용해성 집단은 p-변형성이 있다.그룹은 단지 그것의 pp-core인 정상적인 p-completion을 가지고 있는 경우에만 p-nilpotent이다.

의의

세트에서 그룹 작용에 정상 코어가 중요한 것처럼 벡터 공간에서 그룹의 작용을 연구하는 모듈형 표현 이론에서도 p-코어와 p-코어가 중요하다.유한집단의 p-코어는 특성 p의 어떤 분야에도 걸쳐서 돌이킬 수 없는 표현들의 낟알들의 교차점이다.유한집단의 경우 p′-core는 p-block에 있는 일반(복잡한) 불확정표현의 낟알의 교차점이다.유한 그룹의 경우 p p,p-core는 p-블록의 주요 p-블록에서 수정 불가능한 표현들의 낟알들의 교차점이다.또한 유한집단의 경우 p′,p-core는 순서가 p로 구분되는 아벨리안의 주요 요소들의 중심적 요소들의 교차점이다(이 모든 것은 주 블록에 놓여 있는 p 크기의 필드에 대한 해석 불가능한 표현이다).유한한 p-제약된 그룹의 경우, 그룹의 p-core가 표현의 커널에 포함되어 있는 경우에만 특성 p의 한 분야에 대한 불가해한 모듈이 주 블록에 놓여 있다.

해결 가능한 활성산소

개념과 표기법에서 관련 부분군은 해결 가능한 급진파다.The solvable radical is defined to be the largest solvable normal subgroup, and is denoted ${\displaystyle O_{\infty }(G)}$. There is some variance in the literature in defining the p′-core of G. A few authors in only a few papers (for instance Thompson's N-group papers, but not his later work) define the p′-core of an insol그룹 G는 2인치 코어의 특성을 더 잘 모방하기 위해 풀 수 있는 래디컬의 pp-core로서 그룹 G.

참조