피팅 부분군

Fitting subgroup

수학에서, 특히 집단 이론으로 알려진 대수학 영역에서, 한스 피팅의 이름을 딴 유한 그룹 G의 피팅 부분군 F는 G의 고유한 가장 큰 정상 영점 부분군이다.직관적으로 G가 해결 가능할 때 G의 구조를 "제어"하는 가장 작은 부분군을 나타낸다.G를 해결할 수 없는 경우, Fitting 부분군과 G의 구성요소에 의해 생성되는 Fitting 부분군 F가* 유사한 역할을 수행한다.

임의(필수적으로 유한하지 않은) 그룹 G의 경우, 적합 부분군은 G의 영분 정규 부분군에 의해 생성된 부분군으로 정의된다.무한 그룹의 경우 피팅 하위 그룹이 항상 영점인 것은 아니다.

이 글의 나머지 부분은 유한집단만을 다루고 있다.

적합 부분군

유한집단의 피팅 부분군의 nilpensity는 G의 정상 nilpotent 하위집단의 유한 집합의 산물이 다시 정상 nilpotent 하위집단의 산물이라는 Fitting의 정리를 통해 보장된다.또한 G의 순서를 나누는 모든 프리타임에 걸쳐 G의 p-코어의 곱으로 명시적으로 구성될 수 있다.

G가 유한 비삼각형 그룹인 경우 피팅 하위 그룹은 항상 비삼각형이다. 즉, G11이 유한한 경우 F(G)≠1이다.마찬가지로 G 자체가 영점(nilpotent)이 아닌 경우 G/F(G)의 Fitting 부분군은 비경쟁적이어서 Fitting length라는 개념을 갖게 된다.유한 해결 가능한 그룹의 Fitting 하위 그룹은 자체적인 중앙집중기를 포함하고 있기 때문에, 이것은 유한 해결 가능한 그룹을 nilpotent 그룹의 충실한 자동화 그룹에 의한 nilpotent 그룹의 확장으로 이해하는 방법을 제공한다.

영점 그룹에서 모든 주요 요소는 모든 요소에 의해 집중된다.조건을 다소 완화하고, 모든 주요 요인을 중앙집중화하는 일반 유한 집단의 요소들의 부분군을 취하면, 간단히 피팅 부분군을 다시 얻게 된다(Huppert 1967, Kap).VI, Satz 5.4, 페이지 686:

p-nilpotent 그룹에 대한 일반화는 유사하다.

일반화된 적합 부분군

그룹의 구성 요소는 하위 정규 분포를 구현하는 하위 그룹이다. (단순 그룹의 완벽한 중앙 확장인 경우 그룹이 분산을 구현한다.)그룹의 레이어 E(G) 또는 L(G)는 모든 구성요소에 의해 생성된 하위그룹이다.그룹 통근의 어떤 두 구성 요소라도, 따라서 레이어는 단순한 그룹의 생산물의 완벽한 중심 확장이며, 이 구조를 가진 G의 가장 큰 정상 서브그룹이다.일반화 피팅 부분군 F*(G)는 도면층과 피팅 부분군에 의해 생성된 부분군이다.층은 피팅 부분군과 통근하기 때문에 일반화된 피팅 부분군은 p-그룹과 단순 그룹의 생산물의 중심 확장이다.

계층은 또한 최대 정규 반이행 서브그룹으로, 단순한 그룹의 제품의 완벽한 중앙 확장일 경우 그룹을 세미이행이라고 부른다.

일반화된 피팅 하위 그룹의 정의는 의도된 사용의 일부에 의해 동기 부여될 수 있다.자체 중앙집중기와 피팅 그룹을 포함하는 G의 정규 부분군 H를 식별하는 문제를 고려하십시오.C가 H의 중심축인 경우 우리는 C가 H에 포함되어 있다는 것을 증명하고 싶다. 그렇지 않은 경우, Z(H)가 H의 중심인 C/Z(H)의 최소 특성 부분군 M/Z(H)를 선택한다. 여기서 Z(H)는 C와 H의 교차점과 동일한 H의 중심이다.그렇다면 M/Z(H)는 성격적으로 단순하기 때문에 단순하거나 주기적인 집단의 산물이다.M/Z(H)가 주기적 그룹의 산물인 경우, M은 피팅 부분군에 있어야 한다.M/Z(H)가 비아벨적 단순 그룹의 산물인 경우, M의 파생된 부분군은 M/Z(H)에 대한 일반적인 반이행 부분군 매핑이다.따라서 H가 Fitting 부분군과 모든 정상 반실행 부분군을 포함하는 경우, M/Z(H)는 사소한 것이어야 하므로 H는 자체적인 중앙집중기를 포함한다.일반화된 피팅 부분군은 피팅 부분군과 모든 정규 반실행 부분군을 포함하는 가장 작은 부분군이다.

일반화된 적합 부분군도 주요 요인의 일반화된 중앙집중제로 볼 수 있다.비아벨적 반실행 집단은 스스로를 중앙집중화할 수 없지만, 그것은 그 자체로 내적인 자동화로 작용한다.집단은 모든 원소가 모든 주요 요소에서 내적 자동화로 작용하면 준핵산이라고 한다.일반화된 피팅 부분군은 가장 큰 고유 준정규 준 질량 부분군이며, 전체 그룹의 모든 주요 요소에서 내적 자동화로 작용하는 모든 요소의 집합과 같다(Huppert & Blackburn 1982, X장, Organism 5.4, 페이지 126).

여기서 원소 g는 H에 H, xg only x mod K의 모든 x에 대해 H에 H가 있는 경우에만 HCG(H/K)에h 있다.

특성.

G가 유한한 해결 가능한 그룹인 경우 Fitting 하위 그룹이 자체적인 중앙집중기를 포함한다.피팅 부분군의 중심기는 피팅 부분군의 중심이다.이 경우 일반화된 피팅 부분군은 피팅 부분군과 동일하다.보다 일반적으로 G가 유한한 그룹이라면 일반화된 Fitting 부분군에는 자체적인 중앙집중기가 포함되어 있다.이것은 어떤 의미에서 일반화된 Fitting 부분군이 G를 제어한다는 것을 의미한다. G modulo의 중심기는* F*(G)의 자동형 그룹에 포함되고 F*(G)의 중심기는 F(G)에* 포함되기 때문이다.특히 주어진 일반화된 피팅 부분군을 가진 그룹의 수는 한정되어 있다.

적용들

유한집단의 비경쟁적 p-subgroups의 정규화자를 p-local subgroups라고 하며, 집단의 구조에 대해 (현지 분석이라고 하는 것을 허용) 많은 통제를 행한다.유한집단은 특성 p의 한 분야에 걸쳐 정의된 Lie 타입의 모든 집단이 이 특성을 가지기 때문에 모든* p-local 하위집단에 대한 p-그룹이라면 특성 p 타입이라고 한다.유한단순집단의 분류에서, 이것은 단순집단을 정의해야 하는 분야를 추측할 수 있게 한다.몇 개의 그룹은 둘 이상의 p에 대한 특성 p 유형이라는 점에 유의하십시오.

단순 그룹이 주어진 특성 p의 필드에 걸쳐 Lie 타입이 아닌 경우, 일반적으로 p-local 하위 그룹은 일반화된 Fitting 하위 그룹에 구성요소를 가지지만, 순위가 작거나 작은 영역에 걸쳐 정의되거나 산발적인 그룹에 대해서는 예외가 많다.p-local subgroup이 알려진 구성요소를 가지고 있다면, 그룹 전체를 식별할 수 있는 경우가 많기 때문에, 이것은 유한 단순 집단을 분류하는 데 사용된다(Aschbacher & Seitz 1976).

최대 하위집단의 일반화된 피팅 하위집단의 구조와 임베딩에 의한 유한단순집단의 분석은 헬무트 벤더(벤더 1970)에 의해 시작되어 벤더의 방법으로 알려져 왔다.특히 부품이나 신호기 펑터가 적용되지 않는 예외적인 경우에 효과적이다.

참조

  • Aschbacher, Michael (2000), Finite Group Theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78675-1
  • Aschbacher, Michael; Seitz, Gary M. (1976), "On groups with a standard component of known type", Osaka J. Math., 13 (3): 439–482
  • Bender, Helmut (1970), "On groups with abelian Sylow 2-subgroups", Mathematische Zeitschrift, 117: 164–176, doi:10.1007/BF01109839, ISSN 0025-5874, MR 0288180
  • Huppert, B. (1967), Endliche Gruppen (in German), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-03825-2, MR 0224703, OCLC 527050
  • Huppert, Bertram; Blackburn, Norman (1982), Finite groups. III., Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 243, Berlin-New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-10633-2, MR 0650245