초점 부분군 정리

추상 대수학에서 초점 부분군 정리는 유한집단의 시로우 부분군에서 원소들의 융합을 기술한다.초점 부분군 정리는 (Higman 1953)에 도입되었으며, (고렌슈타인, 라이온스 & 솔로몬 1996, 페이지 90)에 따른 "이전의 첫 번째 주요 적용"이다.초점 부분군 정리는 (그룬 1936)에서 설명한 바와 같이 이전과 융합의 사상을 관련시킨다.이러한 아이디어의 다양한 적용에는 p-nilpotence에 대한 국소 기준과 유한집단이 정상적인 p지수를 가지고 있다는 것을 보여주는 데 초점을 맞춘 다양한 비단순성 기준이 포함된다.

배경

초점 부분군 정리는 유한집단 이론에서 몇 개의 조사 선과 관련된다: 정상 부분군들은 p의 힘, 전달 동형성, 원소의 융합이다.

부분군

다음의 세 가지 정상 부분군 지수 a p 검정력은 자연적으로 정의되며, 가장 작은 정상 부분군으로서 발생하며, 따라서 해당 지수는 (특정 종류의) p-그룹이다.형식적으로, 그것들은 p-group의 반사적인 하위 범주(존중적으로, 초등 아벨리안 p-groups, 아벨리안 p-groups)에 대한 반사의 커널이다.

• E^p(G)는 모든 지수 p 정상 부분군의 교차점이며, G/E^p(G)는 초등 아벨리아 그룹이며, G가 대상인 가장 큰 초등 아벨리안 p-그룹이다.
• K는 G/K은abelian p-group(업데이트:2007년 11월 파생 그룹[G, G]가 포함되어 있습니다. 즉, K 있는 인덱스 pk{\displaystyle p^{k}}정규 부분 군{\displaystyle[G,G]})과 같은 G(G)가장 큰abelian p-group(반드시 초등)ont 모든 정상 하위 그룹의 Ap(G)(에서 표기법(오스트레일리아 총독. 2008년, 5D 페이지의 주 164))는 않습니다.oG가 속상해 하는 것.
• O^p(G)는 G/K가 (아마도 비아벨리안) p-그룹(즉, K는 인덱스 p ${\displaystyle k^{}}$ ${\$ p$^{k}$ 정상$$ 서브그룹)인 G의 모든 정상 서브그룹 K의 교차점이다. G/O^p(G)는 G가 돌출하는 가장 큰 p-그룹(필수 아벨리안)이다.O^p(G)는 p-잔차 부분군이라고도 한다.

Firstly, as these are weaker conditions on the groups K, one obtains the containments ${\displaystyle \mathbf {E} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {A} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {O} ^{p}(G).$$}$이러한$$ 사항은 다음과 같다.

A^p(G) = O(G^p)[G,G]

O^p(G)는 q≠p로서 G의 모든 Sylow q-subgroup에 의해 생성된 부분군이 p와 구별되는 G 순서의 primary divisor에 걸쳐 있기 때문에 다음과 같은 대체 특성을 갖는다.

O^p(G)는 p-core에 설명된 상위 p-시리즈와 유사하게 G의 하위 p-시리즈를 정의하는데 사용된다.

전이동형성

전이동형성(transfer homorphism)은 유한지수의 부분군 H ≤ G에 의해 정의된 아벨군 H/[H,H]로 어떤 그룹 G에서 정의될 수 있는 동형성으로서, [G:H] < ∞.유한 그룹 G에서 그것의 Sylow p-subgroup으로의 전송 맵은 설명하기 쉬운 커널을 가지고 있다.

유한집단 G에서 그것의 Sylow p-subgroup P로 전달된 동형성의 커널은 그것의 커널로서 A^p(G)를 가지고 있다(Isaacs 2008, Organis 5.20, 페이지 165).

즉, 아벨의 p그룹에 대한 "불확실한" 동형성은 사실 가장 일반적인 동형성이다.

퓨전

G에서 부분군 H의 융접 패턴은 H의 원소 h, k의 두 원소가 G-콘주게이트일 경우, 즉 G에 h = k와^g 같은 G가 있을 경우 H의 원소에 대한 동등성 관계다.G의 정상구조는 Sylow p-subgroup의 융합패턴에 영향을 미치고, 반대로 Sylow p-subgroup의 융합패턴은 G, (고렌슈타인, 라이온스 & 솔로몬 1996, 페이지 89)의 정상구조에 영향을 미친다.

초점 부분군

G에 대한 H의 초점 부분군을 다음과 같이 정의할 수 있다(Isaacs 2008, 페이지 165).

Foc_G(H) = ⟨ x⁻¹ y x,y in H와 x는 y에 대한 G-콘주게이트이다.

이 초점 부분군은 G에서 H의 요소들이 어느 정도 퓨즈되는지 측정하는 반면, 이전의 정의는 G 그룹의 특정 아벨리안 p-그룹 동형상 이미지를 측정했다.초점 부분군 정리의 내용은 초점 부분군의 이 두 가지 정의가 양립할 수 있다는 것이다.

(고렌슈타인 1980, 페이지 246)은 G에서 P의 초점 부분군이 G의 파생 부분군 [G,G]과 유한군 G의 시로우 p-분군 P의 교차점 P∩[G,G]임을 보여준다.초점 부분군은 파생 부분군의 Sylow p-subgroup이기 때문에 중요하다.또한 다음과 같은 결과를 얻는다.

P/P an[G,G]에 대해 G/K가 아벨리안 p-그룹 이형성을 갖는 G의 정규 부분군 K가 존재한다(여기 K는 A^p(G)를 나타낸다).

K가 G/K가 아벨리안 p-그룹을 가진 G의 정상 부분군이라면, P∩[G,G] k K, G/K는 P/P[[G,G]의 동형상이다(고렌슈타인, 1980, Orgion 7.3.1, 페이지 90).

정리명세서

Sylow p-subgroup P를 가진 유한 그룹 G의 초점 하위 그룹은 다음과 같이 주어진다.

P∩[G,G] = P∩A^p(G) = P∩ker(v) = Foc_G(P) = ⟨ x⁻¹ x,y, p에서 x는 G-콘주게이트 ~ y ⟩

여기서 v는 G에서 P/[P,P]로 동형체를 옮기는 것이다(Isaacs 2008, Organis 5.21, 페이지 165).

기록 및 일반화

이 양도와 핵융합 사이의 연결은 (Higman 1958) 하브 오류에 기인한다: 대상 없음: CATEREFHigman1958 (도움말),^[1] 여기서 다른 언어로 초점 부분군 정리가 다양한 일반화와 함께 증명되었다.G/K가 아벨리안이어야 한다는 요건이 떨어졌기 때문에, 하이그먼은^p O(G)와 영분 잔류 γ_∞(G)도 연구했는데, 이른바 초초점 부분군이라고 한다.히그먼은 또한 단일 p 프라임 p로 제한하지 않고 오히려 프라임 π의 집합에 대해 π-그룹을 허용하고 홀 하위그룹으로의 이적에 관한 유사한 결과를 증명하기 위해 필립 홀의 홀 하위그룹 정리를 사용하였다; 홀 =-부분군을 = = {p} 복용하는 것은 시로우 p-부분군이며, 히그먼의 결과는 위에서 제시한 바와 같다.

초초점 부분군에 대한 관심은 (Puig 2000)의 연구로 잘 행동된 특정 블록의 모듈화 표현 이론을 이해함으로써 갱신되었다.G에서 P의 초점 부분군은 P∩γ_∞(G)로 정의할 수 있는데, 즉 G의 영점 잔류물의 Sylow p-subgroup으로 정의된다. P가 유한군 G의 Sylow p-subgroup이라면, 표준 초점 부분군 정리를 얻는다.

P∩γ_∞(G) = P∩O^p(G) = ⟨ x⁻¹ y : x,y in P, y = x의^g 일부 g의 경우 p ⟩.

그리고 지역 특성:

P∩O^p(G) = ⟨ x y⁻¹ : x,y in Q ≤ P, y = x^g = p order 순서의 N_G(Q)에 있는 일부 g에 대한 x.

이는 다음과 같이 초점 부분군의 국소적 특성화와 비교된다.

P_G∩A^p(G) = ⟨ x y⁻¹ : x,y in Q ≤ P, y = n^g(Q) ⟩ 일부 g의 경우 x

Puig는 모듈형 표현 이론에서 p-블록의 결점 그룹의 융합 패턴을 모델링하는 유한집단에 관한 Sylow p-subgroup의 융합 패턴의 범주형 모델인 퓨전 시스템에 대한 이러한 상황의 일반화에 관심이 있다.사실 핵융합 시스템은 등가성 호모토피 이론으로 알려진 대수적 위상 영역에서 많은 놀라운 응용과 영감을 찾아냈다.이 영역의 주요 대수학 이론 중 일부는 현재 위상학적으로만 증명할 수 있다.

기타 특성화

다양한 수학자들이 작은 그룹으로부터 초점 하위 그룹을 계산하는 방법을 제시해 왔다.예를 들면, 영향력 있는 작품(Alperin 1967)은 융합의 국부적 통제에 대한 아이디어를 개발하며, 적용 사례로서 다음과 같은 것을 보여준다.

P ∩ A^p(G)는 정류자 하위그룹[Q, N_G(Q)]에 의해 생성되며, Q는 P 하위그룹 C에 따라 다르다.

The choice of the family C can be made in many ways (C is what is called a "weak conjugation family" in (Alperin 1967)), and several examples are given: one can take C to be all non-identity subgroups of P, or the smaller choice of just the intersections Q = P ∩ P^g for g in G in which N_P(Q) and N_P^g(Q) are both Sylow p-subgroups of N_G(Q).후자의 선택은 (고렌슈타인 1980, 정리 7.4.1, 페이지 251)에서 이루어진다.(Grün 1935) harv error의 작업: 대상 없음: CITREFGrün1935 (도움말)은 이전과 융합의 측면도 연구하여 그룬의 첫 번째 정리를 이루었다.

P ∩ A^p(G)는 P ∩[N, N]과 P ∩[Q, Q]에 의해 생성되며 여기서 N = N_G(P)과 Q는 G의 Sylow p-subgroup Q = P^g(Gorenstein 1980, Orgion 7.4.2, 페이지 252)에 걸쳐 생성된다.

적용들

이 구간은 확장이 필요하다.추가하면 도움이 된다.(2010년 1월)

The textbook presentations in (Rose 1978, pp. 254–264) harv error: no target: CITEREFRose1978 (help), (Isaacs 2008, Chapter 5), (Hall 1959, Chapter 14), (Suzuki 1986, §5.2, pp. 138–165), all contain various applications of the focal subgroup theorem relating fusion, transfer, and a certain kind of splitting called p-nilpotence.

준치경 시로우 2-분군을 가진 유한단순군을 분류하는 알페린-브라우어-고렌슈타인 정리 과정에서 준치경 시로우 2-분군을 가진 4종류의 그룹, 즉 2-닐포텐트 그룹, 초점 하위군이 지수 2의 일반 콰터니온 그룹인 Q형 그룹, D형 그로우를 구분할 필요가 있다.초점 부분군이 지수 2의 분면 그룹인 ups와 초점 부분군이 전체 준분면 그룹인 QD형 그룹.핵융합 측면에서, 2-nilpotent 그룹은 비자발성 2개 등급과 순서 4의 주기적 하위그룹 2개 등급, Q-type은 비자발성 2개 등급과 순서 4의 주기적 하위그룹 1개 등급, QD-type은 순서 4의 주기적 하위그룹 각각 1개 등급씩을 가진다.즉 준치경 Sylow 2-subgroup을 가진 유한집단은 그 초점 하위집단에 따라, 또는 그 융접 패턴에 따라 동등하게 분류할 수 있다.각 핵융합 패턴을 가진 그룹의 명시적 목록은 (Alperin, Brauer & Gorenstein 1970)에 포함되어 있다.

메모들

참조

• Alperin, J. L. (1967), "Sylow intersections and fusion", Journal of Algebra, 6 (2): 222–241, doi:10.1016/0021-8693(67)90005-1, ISSN 0021-8693, MR 0215913
• Alperin, J. L.; Brauer, R.; Gorenstein, D. (1970), "Finite groups with quasi-dihedral and wreathed Sylow 2-subgroups", Transactions of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 151 (1): 1–261, doi:10.2307/1995627, ISSN 0002-9947, JSTOR 1995627, MR 0284499
• Gorenstein, D. (1980), Finite Groups, New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6, MR 0569209
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1996), The classification of the finite simple groups. Number 2. Part I. Chapter G, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0390-5, MR 1358135
• Grün, Otto (1936), "Beiträge zur Gruppentheorie. I.", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (in German), 174: 1–14, ISSN 0075-4102, Zbl 0012.34102
• Hall, Marshall, Jr. (1959), The theory of groups, New York: Macmillan, MR 0103215
• Higman, Donald G. (1953), "Focal series in finite groups", Canadian Journal of Mathematics, 5: 477–497, doi:10.4153/cjm-1953-055-5, ISSN 0008-414X, MR 0058597
• Isaacs, I. Martin (2008), Finite Group Theory, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4344-4
• Puig, Lluis (2000), "The hyperfocal subalgebra of a block", Inventiones Mathematicae, 141 (2): 365–397, doi:10.1007/s002220000072, ISSN 0020-9910, MR 1775217, S2CID 122330778
• Rose, John S. (1994) [1978], A Course in Group Theory, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-68194-8, MR 0498810
• Suzuki, Michio (1986), Group theory. II, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 248, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-10916-9, MR 0815926