페이-밀노르 정리

노트의 수학적 이론에서, 이스탄 파리와 존 밀너(John Milnor)의 이름을 딴 파리와 밀너(Fary-Milnor)의 정리는, 총 곡률이 작은 3차원 평활 곡선은 반드시 매듭을 풀어야 한다고 기술하고 있다.이 정리는 1949년 파리와 1950년 밀노르에 의해 독립적으로 증명되었다.나중에 4중주제의 존재로부터 그 뒤를 따르는 것으로 나타났다(Denne 2004).

성명서

K가 각각의 점에서 곡률 κ을 정의하기에 충분히 평탄한 유클리드 공간의 어떤 폐쇄 곡선이고, 총 절대 곡률 4이 4π 이하라면 K는 언코트(unknot이다.

${\displaystyle {\text{if}}\,\coint _{K}\! \kappa (s) \,\operatorname {d}s\leq 4\pi \{\text}}\{\text}\{\text}}}.}$

반대자는 K가 원과 동위원소가 아닌 경우, 즉 K가 원과 동위원소가 아닌 경우, 총 곡률은 4㎛이상으로 엄격히 커지게 된다는 것을 알려준다.총 곡률이 4㎛ 이하인 것은 K가 Unknot이 되기에 충분한 조건일 뿐 필요한 조건은 아니라는 점에 유의한다.즉, 총 곡률이 4㎛ 이하인 모든 노트가 Unknot이지만, 4㎛이상의 곡률을 가진 Unknots가 존재한다.

부드러운 곡선이 아닌 곡선에 대한 일반화

닫힌 다각형 체인의 경우 동일한 결과가 체인의 인접한 세그먼트 사이의 각도의 합으로 대체된 곡률의 적분으로 유지된다.다각형 체인에 의한 임의 곡선의 근사치를 통해 전체 곡률의 정의를 Fary-Milnor 정리가 또한 보유하고 있는 더 큰 종류의 곡선으로 확장할 수 있다(Milnor 1950, Sullivan 2008).

참조

• Denne, Elizabeth Jane (2004), Alternating quadrisecants of knots, Ph.D. thesis, University of Illinois at Urbana-Champaign, arXiv:math/0510561, Bibcode:2005math.....10561D.
• Fary, I. (1949), "Sur la courbure totale d'une courbe gauche faisant un nœud", Bulletin de la Société Mathématique de France, 77: 128–138.
• Milnor, J. W. (1950), "On the total curvature of knots", Annals of Mathematics, 52 (2): 248–257, doi:10.2307/1969467.
• Sullivan, John M. (2008), "Curves of finite total curvature", Discrete differential geometry, Oberwolfach Semin., vol. 38, Birkhäuser, Basel, pp. 137–161, arXiv:math/0606007, doi:10.1007/978-3-7643-8621-4_7, MR 2405664.

외부 링크

• Fenner, Stephen A. (1990), The total curvature of a knot (long). 페너는 어떤 매끄러운 닫힌 곡선이든 적어도 2㎛이상의 총 곡률을 가지고 있다는, 그리고 관련 정리의 기하학적 증거를 기술하고 있다.