초정량학

어떤 초정량체.

수학에서 초정량학 또는 초정량학(또한 초정량학)은 제곱 연산이 임의의 힘으로 대체되는 것을 제외하고는 타원체나 다른 사분법들의 그것과 유사한 공식에 의해 정의되는 기하학적 형상의 계열이다.이들은 초벌집단의 3차원적 친족으로 볼 수 있다.용어는 문맥에 따라 고체 물체 또는 그 표면을 가리킬 수 있다.아래의 방정식은 표면을 명시한다. 고체는 등호들을 등호보다 작거나 같은 부호로 대체함으로써 지정된다.

초정량체에는 정육면체, 옥타헤드라, 실린더, 로젠지, 스핀들과 유사한 모양들이 많이 있으며 모서리가 둥글거나 날카롭다.유연성과 상대적인 단순성 때문에, 그것들은 특히 컴퓨터 그래픽에서 인기 있는 기하학적 모델링 도구들이다.

앨런 바와 같은 일부 저자들은 "초정체"를 초정체류와 초정체류 모두를 포함하는 것으로 정의한다.^[1][2]그러나 (적절한) 슈퍼토로이드는 위에서 정의한 것과 같은 슈퍼쿼디릭이 아니며, 일부 슈퍼쿼디릭은 초페렐립소이드인 반면, 다른 패밀리에는 두 패밀리가 모두 포함되어 있지 않다.초정량체의 기하학적 특성에 대한 포괄적 범위와 범위 이미지로부터의 복구 방법은 단문자로 다루어져 있다.^[3]

공식

암묵적 방정식

기본 슈퍼쿼드릭의 표면은 다음과 같다.

${\displaystyle \왼쪽 x\오른쪽 ^{r}+\왼쪽 y\오른쪽 ^{s}+\왼쪽 z\오른쪽 ^{t}=1}$

여기서 r, s, t는 수퍼쿼드릭의 주요 특징을 결정하는 양의 실수다.즉:

• 1 미만: 오목한 얼굴과 날카로운 가장자리를 가지도록 수정된 뾰족한 팔면체.
• 정확히 1: 보통 팔면체
• 1과 2 사이: 볼록한 얼굴, 무딘 가장자리 및 무딘 모서리를 가지도록 수정된 팔면체.
• 정확히 2: 구체
• 2 이상: 모서리와 모서리가 둥글게 되도록 수정된 큐브
• 무한(한계에): 큐브

각 지수를 독립적으로 변경하여 결합된 형상을 얻을 수 있다.예를 들어, r=s=2, t=4일 경우, 둥근 단면이 있지만 끝이 평평한 타원형처럼 생긴 회전 고체를 얻는다.이 공식은 (그리고 만약의 경우에만) r = s일 경우 s의 speprellipsoid 공식의 특별한 경우다.

어떤 지수가 음수가 되도록 허용되면 형상은 무한대로 확장된다.그러한 모양은 때때로 초하이퍼볼로이드라고 불린다.

위의 기본 모양은 각 좌표 축을 따라 -1 ~ +1에 걸쳐 있다.일반적인 수퍼쿼드릭은 각 축을 따라 다른 양인 A, B, C만큼 이 기본 모양을 스케일링한 결과물이다.그것의 일반적인 방정식은

${\displaystyle \왼쪽 {\frac {x}{A}\오른쪽 ^{r}+\왼쪽 {\frac {y}{B}\오른쪽 ^{s}+\왼쪽 {\frac {z}{C}}\오른쪽 ^{t}=1.}$

파라메트릭 설명

표면 매개변수 u 및 v(m이 2일 경우 경도 및 위도와 동일)의 매개변수 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}x(u,v)&{}=Ag\left(v,{\frac {2}{r}}\right)g\left(u,{\frac {2}{r}}\right)\\y(u,v)&{}=Bg\left(v,{\frac {2}{s}}\right)f\left(u,{\frac {2}{s}}\right)\\z(u,v)&{}=Cf\left(v,{\frac {2}{t}}\right)\\&-{\frac {\pi }{2}}\leq v\leq {\frac {\pi }{2}},\quad -\pi \leq u<\pi ,\end{aligned}}}$

보조 기능이 있는 곳

${\displaystyle {\conligned}f(\omega,m)&}{}=\snname {sgn}(\sin \omega )\좌측 \sin \nomega \right ^{m}\cos \cos \openname {sgn}({m}}}}}}}}})\좌측 \cos \cos \cos \cos \opergened}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고 부호함수 sgn(x)은

${\displaystyle \sgn}(x)={\display{case}-1,&x<0\\0,&x=0\\+1,&x>0.\end{case}}}$

구면제품

Bar는 두 개의 평면 치료가 3D 표면을 만드는 구형 제품을 소개한다.만약

$${\displaystyle f(\mu )={\pmatrix}f_{1}(\mu )\\f_{2}(\mu )\end{pmatrix}},\nu(\nu )={\pmatrix}g_{1}(\nu)\nu\matrix}}}}}}}}$$

$${\displaystyle h(\mu ,\nu )=f(\mu )\otimes g(\nu )={\\pmatrix}g_{1}(\nu )\f_{1}(\nu )\{1}(\mu )\{2}(nu )\end{pmatrix}}}}}}}}}}}$$

$${\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi \\y&=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \qquad (0\leq \theta \leq \pi ,\;0\leq \varphi <2\pi )\\z&=z_{0}+r\cos \theta \,\end{aligned}}}}$$

Bar는 구형 제품을 사용하여 타원형, 하이퍼볼로이드와 같은 4중 표면과 토러스, supperellipsoid, 1, 2장의 초정량 하이퍼볼로이드, 슈퍼토로이드 등을 정의한다.^[1]

플로팅 코드

다음 GNU 옥타브 코드는 슈퍼쿼드릭의 메쉬 근사치를 생성한다.

function superquadric(epsilon,a)  n = 50;  etamax = pi/2;  etamin = -pi/2;  wmax = pi;  wmin = -pi;  deta = (etamax-etamin)/n;  dw = (wmax-wmin)/n;  [i,j] = meshgrid(1:n+1,1:n+1)  eta = etamin + (i-1) * deta;  w = wmin + (j-1) * dw;  x = a(1) .* sign(cos(eta)) .* abs(cos(eta)).^엡실론(1) .* 부호(cos(w) .* 복근(cos(w)).^엡실론(1); y = a(2) .* 기호(cos(eta) .* 복근(cos(eta)).^엡실론(2) .* 기호(w) .* 복근(w).^엡실론(2); z = a(3) .* 기호(eta) .* 복근(eta).^엡실론(3), 메쉬(x,y,z), 끝

참고 항목

• 수페레그

참조

외부 링크

• 서지학: 슈퍼쿼드릭 표현
• 슈퍼쿼드릭 텐서 글리프스
• SuperQuadric Ellipsoids and Toroids, OpenGL 조명 및 타이밍
• 로버트 크래글러의 슈퍼쿼드릭, 울프램 시연 프로젝트.
• 파이썬의 초정량학