에너지 방출률(파쇄 기계)

파괴역학에서 에너지 방출 속도 $(\displaystyle$ G$)$는 물질이 파괴를 겪으면서 에너지가 변환되는 속도입니다.에너지 방출 속도는 파괴 표면적의 ^[1][2]증가당 총 위치 에너지의 감소로 표현되며, 따라서 단위 면적당 에너지로 표현된다.파괴 중에 방출되는 에너지와 결과적인 새로운 표면의 에너지 및 가소성 및 발열과 같은 다른 소멸 프로세스와 관련하여 다양한 에너지 밸런스를 구성할 수 있습니다.에너지 방출률은 문제를 해결하고 파단 및 피로와 관련된 재료 특성을 추정할 때 파단 역학 분야의 핵심입니다.

정의.

에너지 $방출률{\displaystyle }$G(\$displaystyle$ G$)$는 단위 균열 성장 $영역당{\displaystyle }$ 총 잠재 에너지$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle$$\$$Pi$$)$의 순간 손실량으로 정의됩니다$.$

$\displaystyle G\equiv -{\frac\partial\Pi}{\partial s},}$

여기서 총 위치 에너지는 총 변형률 에너지$(\displaystyle$ \Omega$\}),$ 표면 $트랙션{\displaystyle \mathbf{}}$t(\$displaystyle \mathbf {t$ $변위{\displaystyle \mathbf{}}$u(\$displaystyle \mathbf$${u$$\})$ 및 차체 힘$b{\displaystyle \mathbf{}}$(\$displaystyle \mathbf${b$})$로 표시됩니다.

$\displaystyle \Pi = \Omega - \left\int _{\mathcal {S}_{t}} \mathbf {u} \cdot \mathbf {V} \mathbf {b} \cdot \mathbf {v} \right } 。}$

첫 번째 적분은 재료의 ${\displaystyle {표면}_{}}$ S$$t {\$displaystyle S_{t}$ 위에$$ 있고 두 번째 적분은 재료의 $볼륨{\displaystyle }$ V$${\$displaystyle$ V$\}$ 위에 있습니다.

오른쪽 그림은 $외력{\displaystyle }$P$대$ 하중점 $q$의$$플롯(곡선 $아래$ 면적이 변형 에너지)을 나타냅니다.곡선과 P$(\displaystyle$ P$)$ $축$ 사이의 흰색 영역을 상보 에너지라고 합니다.선형탄성물질의 경우 P${\displaystyle }$(${\displaystyle q}$) {$displaystyle$ P$(q)}$는 직선이며 스트레인 에너지는 상보 에너지와 같다.

규정치환량

소정의 변위일 경우 스트레인에너지는 특정 변위와 균열표면 ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle (q}$,$$s ) \ $displaystyle \Omega$ ($q$, s )$$, ${\displaystyle \mathrm{the}}$ = = ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle \mathrm{\partial }\mathrm{s}}$ /${\displaystyle \mathrm{}s}$ s${\displaystyle }$) \ $display s$ style \ display style \ Omega ( , ) = \ ${\displaystyle \mathrm{display}}$ style \ display s$$$=$$l \Omega /\partial$ s$)\delta$s$\}.$ 이에 따라 이 경우의 에너지 방출 속도는 다음과 같이 표현된다.

$(\displaystyle G=-\왼쪽).{frac {partial \ Omega } {\partial s}} \ right _ {q} 。}$

여기서 G$(\displaystyle$ G$)$를 스트레인에너지 방출률이라고 $정확$하게 말할 수 있습니다.

소정의 부하

변위 대신 부하가 규정된 경우 변형 에너지는 ${\displaystyle \delta }$ (${\displaystyle q}$(${\displaystyle }$P ,${\displaystyle s}$) ,${\displaystyle s}$ )$$\ $displaystyle \Omega ($q ($P$ ,$s$)$$} 로 수정해야 합니다. 그러면 에너지 방출 속도는 다음과 같이 계산됩니다.

$(\displaystyle G=-\왼쪽).(\frac {\partial s}}\오른쪽 _{P}\left(\Omega -Pq\오른쪽)}$

재료가 선형으로 변형된 경우 $\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle P}$q / $(\displaystyle \Omega$=$Pq/2)$이며 대신 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$(\displaystyle G=\왼쪽).(\frac\partial\Omega}{\partial s}}\오른쪽 _{P}).}$

2차원의 경우 G

2차원적인 문제의 경우 균열성장면적의 변화는 균열길이에 시료의 두께를 곱한 변화일 뿐이다.즉$,{\displaystyle \mathrm{}}$ "${\displaystyle s}$ $=$ ${\displaystyle B\mathrm{"}}$ $\displaystyle \displaystyle$ s=B$\partial$ a$"$ 입니다.따라서$$G 연산방정식은 2D $케이스에$맞게 $수정$할 수 있습니다.

• 규정된 변위: $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ - ${\displaystyle {\frac{1}{}}_{}}$ B ${\displaystyle {\partial \frac{\mathrm{}}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{\omega }{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{\mathrm{}}{}}_{}}$ ${\displaystyle {a\frac{}{}}_{}}$.$${ $displaystyle$ G = - \$$$left$ 。${\frac {1} {B} {\frac {\partial \Omega } {\partial a} {\partial a} \ right _ {q}$$。$$}$
• 규정된 하중: $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ - ${\displaystyle {\frac{1}{}}_{}}$ B${\displaystyle {\frac{\mathrm{}}{}\partial \frac{\mathrm{}}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{a}{}}_{}{P\frac{}{}}_{}}$ (${\displaystyle \omega \mathrm{}}$ - ${\displaystyle P}$q ${\displaystyle ).}${\ $displaystyle$ G= - \$$$left$ }${\frac {1} {B} {\frac {\partial } {\partial a}}\오른쪽 _{P}\left(\Omega -Pq\오른쪽)$$}$
• 규정된 하중, 선형 탄성: $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {1\frac{\mathrm{}}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{B}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\partial \frac{\mathrm{}}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{\omega }{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{\mathrm{}}{}}_{}}$ a ${\displaystyle {P\frac{}{}}_{}}$. \ $displaystyle$ G = \$$$left$ .${\frac {1} {B} {\frac {\partial \Omega } {\partial a} \ right _ {P}$$。$$}$

자세한 내용은 다음 섹션에 포함된 계산 예를 참조하십시오.때때로 변형 에너지는 단위 두께당 에너지인 U $=$ / B {\$displaystyle$U=\Omega /$B$를 $사용$하여 작성됩니다.이것으로 알 수 있다.

• 규정된 $변위량{\displaystyle }$: G${\displaystyle =}$ -${\displaystyle {\frac{\mathrm{}a}{}}_{}}$ U${\displaystyle {\frac{\mathrm{}}{}q\frac{}{}}_{}}$. \ $displaystyle$ G = - \$$$left$.$오른쪽입니다.$$}$
• 지정 하중: $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ - ${\displaystyle {\frac{\partial \mathrm{}}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{p}{}}_{}}$ ${\displaystyle {a\frac{}{}}_{}}$P (${\displaystyle U}$ - ${\displaystyle P\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$B${\displaystyle }$)$$. \ $display style$ G= - \$$$left$ .${\frac {\partial a}\오른쪽 {P}\left(U-{\frac {Pq}{B}}\오른쪽).$$}$
• 규정된 하중, 선형 탄성: $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\partial \frac{\mathrm{}}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{U}{\mathrm{}a}}_{}}$ a${\displaystyle {}_{}{P\frac{}{}}_{}}$. \ \ $displaystyle$G$$= \$$left .$오른쪽입니다.$$}$

강도

에너지 방출 속도는 균열이 ^[3]직진할 때 주어진 2차원 하중 모드(Mode-I, Mode-II 또는 Mode-II)와 관련된 응력 강도 인자와 직접 관련이 있습니다.이는 평면응력, 평면변형, 반평면전단 하의 균열에 적용할 수 있다.

Mode-I의 경우 에너지 방출 $속도{\displaystyle }$G(\$displaystyle$ G$)$ 속도는$$ Mode-I 스트레스 강도 $계수{\displaystyle {}_{}}$ $(\$와 관련이 있습니다.$I}}:$ 선형$$ 탄성 재료의 경우,

${\displaystyle G=syslogfrac {K_}I}^{2}:{E'},$

$여기$서 E ${\$ \ $displaystyle$ E$'$는 재료가 평면 응력 또는 평면 변형률에 따라 영 $계수{\displaystyle }$ E \$displaystyle$ E$$및$$포아송 비율$$ratio \ $displaystyle$ \ $nu$ }와$관련$이 있습니다.

$^{displaystyle E'=case}E,\mathrm {case},\flane {case},\flane {case}\end {case}}$

경우 은 Mode-II로 됩니다.

${\displaystyle G=syslogfrac {K_}II}^{2}}{E'}.}$

Mode-III(반평면 전단)의 경우 에너지 방출 속도는 전단 $계수{\displaystyle }$μ(\$displaystyle$ \$mu$의 함수입니다.

${\displaystyle G=syslogfrac {K_}III}^{2}}{2\mu}.}$

모든 하중 모드의 임의 조합에 대해 이러한 선형 탄성 용액은 다음과 같이 중첩될 수 있다.

${\displaystyle G=syslogfrac {K_}I}^{2}}{E'}}+{\frac {K_{II}^{2}}{E'}}+{\frac {K_{III}^{2}}{2\mu}.}$

K에$$$대한{\displaystyle }$ $G$의 대체 표현(\$displaystyle$$$K$)$
$G{({\displaystyle G=case}{\frac {(1-\nu)^2}}{E_{})I}^{2}+K_{II}^{2}+(1-\nu)K_{III}^{2}&{\text {\frac {1}{E}}(K_{)I}^{2}+K_{II} {{2}&{\text {plane stress}}\end {case}}$ 및 를 통해 을 알 수 . $E(1displaystyle E=2G(1+\nu)}$

인성과의

균열성장은 에너지 방출률이 초과될 때 재료 특성인 ${\displaystyle {임계값}_{}}$ G$$c {\$displaystyle G_{$c$\}\}$가 되면 개시된다.

$displaystyle G_{c}$

Mode-I 로딩에서 임계 에너지 방출 $속도{\displaystyle {}_{}}$ G$$ {\$displaystyle G_{c}$는 Mode-I 파괴 $인성{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ C$${\$displaystyle K_{$c}와 관련됩니다.$IC$ 다른 재료 특성, 기준

${\displaystyle G_{c}=black {K_{IC}^{2}:{E'}.}$

G의 계산

재료 특성, 시료 형상 및 부하 조건에 따라 에너지 방출률을 계산하는 데 사용할 수 있는 다양한 방법이 있습니다.일부는 재료가 완전히 탄성이 있거나 심지어 선형 탄성이 있거나 균열이 직선으로 전방으로 성장해야 하는 것과 같은 특정 기준을 충족하는지에 달려 있다.제시된 방법 중 임의로 작동하는 유일한 방법은 총 잠재 에너지를 사용하는 것입니다.두 가지 방법을 모두 적용할 수 있는 경우 동일한 에너지 방출 속도를 산출해야 합니다.

퍼텐셜

임의의 조건에 대해$$G {\$displaystyle$G}를 계산하는 방법은 균열 표면적을 기준으로 총 위치에너지를 계산하여 미분하는 방법밖에 없다.이 작업은 일반적으로 다음과 같이 수행됩니다.

• , 즉 부하에 따른 응력장 계산,
• 입니다.
• 하면, 외하로 하는 일을 계산할 수 있습니다.

모두 균열 표면적 측면에서 볼 때 그렇습니다.

총 위치에너지를 이용한$$G {\$displaystyle$ G$}$의 $계산{\displaystyle }$ 예

DCB(DCB)에 대해 설명합니다. 이 문제는 2차원적이며 고정 하중을 가지므로 s ${\displaystyle =}$ $(\displaystyle$ s$=aB$의 $경우{\displaystyle }$, $(\displaystyle G=-{\frac {1}{B}}\displaystyle).(\frac {partial a}} {P}(\Omega - Pq).}$ 재료는 직선적으로 변형되어 ${\displaystyle \mathrm{있기}}$ $때문$에 ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle =}$ P ${\displaystyle q\mathrm{}}$ /$$2 $(\displaystyle$ \$Omega$= Pq/$2)$ 입니다$$. $({displaystyle G=blac {1}{B}}{\flac\Omega}{\flac a}}).}$ 은 각 입니다.DCB는 DCB의 굽힘 응력입니다. $displaystyle _{11}(x,y)=-{\frac {M(x)y}{I}}=-{\frac {12Pxy}{Bh^{3}}},$ $여기$서 B$(\displaystyle$ B$)$는 페이지 내 길이입니다.W $=$ ${\displaystyle {11}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$2 / ${\displaystyle 2}$E {\$displaystyle$ W=\$sigma$ _${11}^{2}/2E$를 $사용$하면 변형 에너지를 얻을 수 있습니다. $\Omega,dV}\}^}{2displaystyle \Omega =\int _{V}W,dV=2B\ _{h/2}^{-h}^{a}E}}\left({\frac {12Pxy}{Bh^{3}}\frac}{2},dx,dy})$ 여기서 2의 계수는 2개의 캔틸레버 빔이 있기 때문입니다. 결결,,, $displaystyle \Omega=prac {P^{2}}{B^{3}})$ $그런$ 다음$a스타일$에 대한$$ $파생상품$을 취하여 $B스타일$로 나눕니다$.$ ${{displaystyle G=flac {P^{2}}{B^{2}}{\flac {12a^{2}}{Eh^{3}}}.}$

재료가 선형 탄성일 경우 에너지 방출률 계산을 훨씬 단순화할 수 있다.이 경우 로드 대하중 지점 변위 곡선은 양의 기울기와 선형이며 적용되는 단위 힘당 변위는 적합성으로 정의됩니다$.$ $C{\displaystyle }$ \ $displaystyle$ C$$}

${\displaystyle C=syslogfrac {q}{P}}.}$

해당하는 변형 에너지$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle \Omega)$는 다음과 같습니다(곡선 아래 영역).

${\displaystyle \Omega = specfrac {1}{2}}{C}=specfrac {1}{2}}P^{2}C.}$

준수 방법을 사용하면 규정된 부하와 변위의 경우 모두에 대한 에너지 방출률이

${\displaystyle G=syslogfrac {1}{2}{\frac C}{\partial s}}.}$

G$\displaystyle$G의 컴플라이언스$$ $방법$을 이용한 계산 예

B를 이중 보 없음) 오른쪽 그림과 같이 이중 캔틸레버 빔(DCB) 시료를 고려합니다.는 일일 the the the the the the the the the the 。 $_{maxdisplaystyle \nu _{max}=블랙 {Pa^{3}}}{3}EI}},\quad {text}\cap I=cap frac {Bh^{3}} {12}.}$ $따라서{\displaystyle \mathrm{}}$ 부하점 $(\displaystyle$q)는 ${\displaystyle {\mathrm{2\mu m}}_{}}$ x$(\$ 2$\nu$ _${max$입니다.준거 방정식에 대입하여 다음과 같이 단순화합니다. $C}= {displaystyle C=black {q}{P}=black {8a^{3}}}{EBh^{3}}}.}$ ${\displaystyle \mathrm{여기}}$서${\displaystyle \mathrm{}}$C${\displaystyle }$/${\displaystyle \mathrm{}S}${ $displaystyle${ $partial$ C } / { \ $partial$ s$$}는$$ 다음과 같이 계산됩니다. ${\{\ sdisplaystyle {displaystyle {\frac C}{\frac c}{\frac c}{\frac c}{\fraca}{\fraca}{\fracc}EBh^{3}}\right)\left({\frac {1}{B}}\right).}$ 마지막으로 이 DCB 시료의 에너지 방출 속도는 다음과 같이 나타낼 수 있다. ${\displaystyle G(P,a)=프랙 {1}{2}{\frac {P^{2}}=프랙 {12a^{2}}{Eh^{3}}}.}$ 에너지 방출 속도는 q$\displaystyle$q$$$$$및{\displaystyle }$\$displaystyle$a로 $표시$할 수 있습니다. $G^{displaystyle G(q,a)=paramfrac {3}{16}{\frac {Eh^{2}}}}}})$ 즉, 고정하중의 경우 $균열길이{\displaystyle }$a에 따라 G$(\$displaystyle G$)$가 감소하고 고정하중의 경우 a에 대해 G(\$displaystyle$G)가 감소함을 $나타낸다{\displaystyle }$.

소정의 변위 시에는 균열 길이를 일정하게 유지한 상태에서 다음과 같이 에너지 방출률을 계산할 수 있다.

$G=-\ _ G=-\int _{0}^q}{\frac P}{\frac P}{\partial s},dq$

규정 ^[3]하중의 경우,

${\displaystyle G=\int _{0}^P}{\frac\frac s},dP.}$

두 경우 모두 에너지 방출 $속도{\displaystyle }$ G$(\displaystyle$ G$)$에 $표면{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$의 변화$(\displaystyle$ ds$)$를 곱하면 곡선 사이의 면적이 반환되는 것을 알 수 있습니다. 이는 오른쪽 그림과 같이 새 표면적을 위해 에너지가 소산되었음을 나타냅니다.

${\displaystyle Gds=-ds\int _{0}^q}{\frac {\frac s},dq=ds\int _{0}^P}{\frac {\frac s},dP}}$

폐쇄

에너지 방출률은 균열 표면 성장에 대한 총 위치에너지의 음의 도함수로 정의되므로 에너지 방출률은 균열 성장 전후의 위치에너지의 차이로 표기할 수 있다.몇 가지 신중한 유도 후, 균열 폐쇄 일체형으로 이어집니다.

$G _ s 0 s}-{i)$

여기서 ${\displaystyle \delta }$s$(\displaystyle$ \$Delta$s)는 새로운 파단 표면적, ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ $0(\$})은 균열이 커짐에 따라 상단 파단 표면에 방출되는 트랙션의 구성요소입니다. $\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {ui}_{}^{}}$+ - {\ ${\displaystyle {ui}_{}^{}}$ {$displaystyle$ \ $Delta u_{i}^{$i}-}^{$i$}^{i}^{i$}^{i$는 다음과 같습니다.ement(상단과 하단의 균열 표면 간 변위 차이)이며, 적분은 $재료{\displaystyle }$ S$(\displaystyle$ S$)$ 표면 위에 있습니다.

균열폐쇄적분은 탄성재료에 대해서만 유효하나, 어느 방향으로나 커지는 균열에도 유효하다.그럼에도 불구하고 2차원 균열의 경우 균열 폐쇄 요소는 다음과 같이 단순해집니다.

$G= _displaystyle G=\lim _{\Delta a}{\delta a}{\delta a}}{\{0}^{\displaystyle G=\lim}\ a _1},},\pi}), }(a}\sigma _{i2}(x_{1},0)u_{i}(\Delta a-x_{1}), {1})$

여기서 ${\displaystyle \delta }$ a$(\displaystyle \Delta$ a$)$는 새로운 균열 길이이며, 변위 성분은 $극좌표{\displaystyle }$ r $=$ ${\displaystyle \delta }$a - ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1(\$displaystyle$ r=\$Delta a-x_{1$}) 및 $\delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$\$displaystyle \theta$ =\$pi$}의$$ 함수로 표기됩니다$.$

균열폐쇄적분을 이용한 G$\displaystyle$G의$$ $계산{\displaystyle }$ 예

DCB(DCB)에 대해 설명합니다. 그림과 같이 DCB 시료의 균열을 고려한다.0이 아닌 응력 및 변위 성분은 다음과 같이 주어진다. $_ {{\displaystyle \displaystyle _{22}(x_{1},0)I}}{\sqrt {2\pi x_{1}}},\qquad u_{22}(\Delta a-x_{1},\pi)=sqrc {8K_{}I} {E} {{sqrt {Delta a_{1}-x_{1}} {2\pi}}.}$ 재료의 할 때 균열 적분은 균열이 입니다. $G{\displaystyle G=syslogfrac {2K_{I}^{2}}{\pi E}},\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\int _{0}^{\a} {\sqrt {\frac {Delta a_{1}-x_{1} {x_{1}}, dx_{1}.}$ $다음$에 대해 ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1 / ${\displaystyle \delta }$a ${\displaystyle$ \xi $=x_{1}/\Delta$ a$}$를 사용하여 적분의 스케일을 재조정하는 것을 고려합니다. $G{\displaystyle G=syslogfrac {2K_{ E _sqrt {I}^{2}}{\int _{0}{1}{\sqrt {frac {1-\xi}}{\xi},\xi}$ 서 더 은 서 where where where to to to to where to to to to to to to to to to to to where where 이다. $_=\xi }{displaystyle \int _0}^1}{\displayrt {1-\xi },{{2}}$ 를 그대로 ${\displaystyle G=syslogfrac {K_}I}^{2}}{E}},}$ 기대되는 관계이 경우 $($ K_${)$를 $얻는{\displaystyle {}_{}}$ 것은 간단하지 않습니다.$I})$ 문제의$$ 하중 및 기하학적 구조에서 직접 발생하지만 균열이 직진하고 재료가 선형 탄성적이기 때문에 여기서의 에너지 방출률은 다른 방법을 사용하여 계산한 에너지 방출률과 같아야 한다.이것은 이 문제에 대한 스트레스 강도 계수를 간접적으로 검색할 수 있게 합니다. $displaystyle K_{I}=paramfrac {P}{B}}{\frac {2a}{h}}{\paramrt {3}{h}}}}.}$

J적분

특정 상황에서 에너지 방출 속도 G(\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $G)$는 J 적분($예{\displaystyle }$: G ${\displaystyle =}$ J$=$ \$displaystyle$ G$=J)$을 사용하여 계산할 수 있습니다.

$J _{\\Gammadisplaystyle J=\int _{\Gamma}\left(Wn_{1-t}_i})$

$여기$서 W$(\displaystyle$ W$)$는 탄성 변형률 에너지 밀도, $(\$은 $단위{\displaystyle \mathrm{}}$ 벡터의 ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$$(\displaystyle x_$${1$$\})$ $성분$이며, ${\displaystyle {선}_{}}$ 적분에 사용되는 곡선은 트랙션 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ $t_{i}$ 성분입니다$$.${\displaystyle }$=$$ n \ displaystyle \$mathbf${ t } $=$bold \ $cd bold$$symbol$ \$mathbf${ n$$} （$$）$$$。$$여기서$u \ $displaystyle u_{$i$$$}$는 변위 벡터의 $성분$입니다.

이 적분은 단순한 폐쇄 경로에서 0이 되며 경로에 의존하지 않으므로 균열 표면에서 시작 및 끝나는 모든 단순한 경로를 사용하여$$J(\$displaystyle$J$)$를 $계산$할 수 있습니다${\displaystyle .}$ J ${\displaystyle \mathrm{적분}}$과 $에너지{\displaystyle }$ 방출 속도를 같게 하려면 다음 조건이 충족되어야 합니다.

• 으로 쭉
• 균열 부근의 변형($en{\displaystyle \mathrm{}}$\$displaystyle \Gamma$로 둘러싸임$)$은 (플라스틱이 아님) 탄성이 있어야 한다.

J 적분은 이러한 조건을 위반하여 계산될 수 있지만, G${\displaystyle j}$J (\$displaystyle$ G$\neq$J$$)이 위반되지 않은 경우 에너지 방출 속도와 J 적분은 탄성 모듈리 및 응력 강도 계수와 관련지을 수 있습니다.

$G{\displaystyle G=J=frac {K_{I}^{2}}{E'}}+{\frac {K_{II}^{2}}{E'}}+{\frac {K_{III}^{2}}{2\mu}.}$

J 적분을 사용한$$G {\$displaystyle$ G$}$의 $계산{\displaystyle }$ 예

DCB(DCB)에 대해 설명합니다. DCB의 J-J-J-J-J입니다. 그림에서 보를 중심으로 $한{\displaystyle \mathrm{}}$ 높이 ${\displaystyle \mathrm{2시간}}$({displaystyle $2h})$의 균열의 길이가 a$({displaystyle$ p$$$})$이고 $하중{\displaystyle }$ P({$displaystyle$ P$})$를 가하여 균열을 여는 이중 캔틸레버 빔 시료를 생각해보자.재료는 직선탄성이고 균열이 직진한다고 가정한다.두 번째 그림에 나타낸 직사각형 경로를 예로 들 수 있습니다$.$ (1) $균열면$에서 상단으로 $올라가고$ (2) 균열선단을 지나 우측으로 가고 (3) -2시간$({\displaystyle \mathrm{디스플레이}}$ $스타일 -2h$에서 하단으로 내려가고 (4) 하단을 따라 좌측으로 가고 (5) 하단으로 돌아간다.이 경로의 많은 부분을 따라 J 적분은 0입니다.재료는 균열 뒤에 효과적으로 하역되므로 (1)과 (5)에 따라 변형 에너지 밀도와 트랙션이 모두 0이며, 따라서 J-적분이다.(2) 및 (4)에 따라 n ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ $=$ {\$displaystyle n_{1$}=$0}$ $및$ t $=$ {\$displaystyle \mathbf {t} =\mathbf {0}($자유 표면에서 트랙션 없음)을 가지므로 J 적분은 (2) 및 (4)에서도 0이 됩니다.이는 (3)만 남습니다. u 1 $=$ $(디스플레이$ 스타일 ${\displaystyle {\mathrm{u\_}}_{}}$${1$}=$0}$ $및$ § 12 $=$ $(디스플레이$ 스타일 $\display$ style _${12$}=$0$$})$이 균열에서 떨어져 있으므로 트랙션 기간은 0입니다. ${\displaystyle J=\int _{\Gamma _{3}}Wn_{1},d\Gamma _{3}.}$ ${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}}$ 1 $=$ $(디스플레이$ 스타일 $n_{1$}=$1)($3$$) 및 $(디스플레이 스타일$ W$)$는 캔틸레버 빔의 굽힘 응력에 의한 것입니다. $}}=-{\ ({displaystyle _{11}(y)=-{\frac {My}=-{Bh^{3}}}})$ $여기$서 B$(\displaystyle$ B$)$는 페이지 내 길이입니다.W $=$ ${\displaystyle {11}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$2 / ${\displaystyle 2}$E {\$displaystyle$ W=\$sigma$ _${11}^{2}/2E$를 $사용$하여 이제 다음을 수행합니다. $J{1}{\displaystyle J=2\int _{-h/2}^{h/2}{\frac {1}{2}E}}\left({\frac {12Pay}{Bh^{3}}\frac {{2},dy,})})$ 여기서 2의 계수는 2개의 캔틸레버 빔이 있기 때문입니다. 결결,,, $G {\ { ({displaystyle G=J=paramfrac {P^{2}} {B^{2}} {\frac {12a^{2}}}} {Eh^{3})}$

의

유한 요소를 가진 G$(\displaystyle$ G$)$를 $계산$하는 방법은 몇 가지 있습니다.(FEA에 의해 출력되는 변형률 및 응력을 이용하여) J-적분을 직접 계산할 수 있지만, 어떤 유형의 균열 성장에 대한 근사적인 접근법이 존재하며 간단한 계산을 통해 합리적인 정확도를 제공한다.이 섹션에서는 수치 시뮬레이션을 이용한 비교적 간단한 파괴 해석 방법에 대해 설명합니다.

해제

균열이 직선적으로 커지는 경우 에너지 방출률은 3가지 모드별 에너지와 관련된 $3항{\displaystyle {}_{}}$ $(\$})의$$ 합으로 분해할 수 있다.그 결과, Nodal Release Method(NR)를 $이용$하여 FEA 결과로부터 ${\displaystyle {Gi}_{}}$({displaystyle $G_{i})$를 $결정$할 수 있다.에너지 방출률은 균열의 유한요소 메쉬의 초기 길이에 대한 노드(nodes)에서 계산되며, 작은 거리 ${\displaystyle \Omega }$ a$(\displaystyle \Delta$a$)$만큼 연장되며, 먼저 관심 노드(${\displaystyle node\stackrel{}{}}$) ${\displaystyle \stackrel{}{\to }}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\to }^{}}$ (${\displaystyle t^{}}$ +${\displaystyle 1^{}}$) - ${\displaystyle {\to }^{}}$ t${\display$ \$Delta c$(\dec)에서의 변위 변동을 계산한다.${u}}=secvec {u}^{(t+1)}-{\vec$ {u$}^(t$균열 팁 노드 해제 전후).둘째, FEA가 출력하는$$ $노드력{\displaystyle \stackrel{}{}}$ F $→$ {\$displaystyle {F}}$을 추적합니다.$마지막$으로 다음 공식을 사용하여$G의$$$각 구성 요소를 찾을 수 있습니다.

여기서 ${\displaystyle \delta }$a \$displaystyle \Delta$a는$$ 균열 팁의 경계를 이루는 요소의 폭입니다.방법의 정확도는 그물망 정교도에 따라 크게 달라지는데, 그 이유는 변위와 힘이 좌우되기 ${\displaystyle \underset{}{때문}}$이고, G ${\displaystyle \underset{}{\to }}$ $lim$ ${\displaystyle \underset{}{0}}$ $=$ 0 ${\displaystyle {\text{G}}^{}}$ NR {\$displaystyle$ G$=\lim$ _{\$Delta$ a$\to$ 0$}G^{\text${\text$}$이다.$NR$ 위의 공식은 균열폐쇄적분을 사용하여 도출한 것에 주의한다.

에너지 방출률이 임계값을 초과하면 균열은 커집니다.이 경우 균열 선단의 노드가 해제되는 새로운 FEA 시뮬레이션(다음 단계용)이 실행됩니다.유계 기판의 경우, 이전 시간 단계의 균열 팁 노드에서 고정된 Dirichlet 경계 조건의 적용을 간단히 중지할 수 있습니다(즉, 변위는 더 이상 억제되지 않습니다).대칭 균열의 경우 더 긴 균열 개구부로 영역의 형상을 업데이트해야 합니다(따라서 새로운^[5] 메쉬를 생성).

된 균열 폐쇄

에너지 방출률 연방 절점 변위(나는 j u){\displaystyle(u_{나는}^{j})}와 힘을 활용함 여기서 어디{\displaystyle 나는}방향 와를 나타내는 .[6][7]{\displaystyle(F_{나는}^{j})}(나는 j F)를 계산해 목적별 결절 해방 방법에 유사하게, 수정된 균열 닫힘 적분(MCCI)것도 방법.respon균열 팁에서 원점을 갖는 데카르트 기준 벡터에 대한 딩, $\displaystyle$j는 노드 인덱스를 나타냅니다$$.MCCI는 균열 성장 증가량마다 1회 분석만 필요하기 때문에 노드 방출 방법보다 계산 효율이 높다.

MCCI 방법에 필요한 조건은 균열면을 ${\displaystyle {따라\mathrm{}}_{}}$ 균일한 요소 길이$({\displaystyle \delta }$a$$)(\$displaystyle (\Delta$a)) x$$${\displaystyle {}_{}}$1 -$$\$style x_{1}-}$ 방향이다$$.또한 이 방법은 하나의 요소 응력장의 길이에 걸쳐 자가 유사할 수 있도록 충분한 이산화를 필요로 한다.이는 균열이 확산함에 따라 K${\displaystyle (a}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \delta }$a$k$ $($) \ displaystyle K($a+\Delta$ a) \ k K$(a)}$가 $되는{\displaystyle }$ 것을 의미합니다.다음은 두 가지 유형의 공통 유한 요소를 사용하는 MCCI 방법의 예입니다.

노드 4 " " "

그림 2에 나타난 4노드의 정사각형 선형 요소는 $노드{\displaystyle }$j(\$displaystyle$ j$)$와${\displaystyle }$j + 1$(\displaystyle$j+1$) 사이$의 거리가${\displaystyle \delta }$와 같습니다$.{displaystyle \Delta$ a$.}$ 노드$$${\displaystyle }$j$.(\displaystyle$ j$.)$에 팁이 위치하는 균열을 고려하십시오. 균열이 하나의 전자 전파되는 경우와 유사합니다.ment 길이(${\displaystyle {x1\mathrm{}}_{}}${$디스플레이$ 스타일 $x_{1$}} -$$축과 평행$$)는 이전 균열 팁의 변위, $즉{\displaystyle {\mathit{}}^{}}$ ${\displaystyle {u\mathit{}}^{}}$j(\$displaystyle {u^{j}}})$는 이전$$ 균열 팁의 변위, 새 균열${\displaystyle 팁}$의 힘$(j$ +$$1)은 F +${\displaystyle {}^{}}1$이 $됩니다$.${{displaystyle {F}} {{j+$1$$}} 균열성장이 자기유사하다고 가정하기 때문에 균열전파 후 $node{\displaystyle }$j {{$displaystyle$j}에서의 변위는 $node{\displaystyle }$j -$$({$displaystyle$j-1})에서$$ 균열이 전파되기 전의 변위와 같다.$노드{\displaystyle }$j + $({displaystyle$ j$+1$$})$ $및{\displaystyle }$ j$.$ {{$displaystyle$j.}의$$ 힘에도 동일한 개념을 적용할 수 있습니다. 노드 해제 섹션에 나와 있는 것과 같은 방법을 사용하여 에너지 방출 속도에 대한 다음 방정식을 복구합니다.

${\displaystyle G_{1}^{\text{a}}MCCI} = flac {1} {2\Delta a}F_{2}^{j}{\u_{2}^j-1})$

${\displaystyle G_{2}^{\text{}MCCI}} = fac {1} {2\Delta a}}F_{1}^{j}{\u_{1}^{j-1})$

${\displaystyle G_{3}^{\text{}a}}MCCI} = flac {1} {2\Delta a}F_{3}^{j}{\ u_{3}^{j-1}$

여기서 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle 1_{}^{}}$ $=$ ${\displaystyle u_{}^{}}$i${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle {}_{}^{}}$+ )${\displaystyle j_{}^{}}$ -${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^{}}$ - ${\displaystyle u_{}^{}}$i${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle {}_{}^{}}$- )${\displaystyle j_{}^{}}$ -$$ { $displaystyle \Delta u_{i}^{(+)j-1}-u_{i}^{(-)j-1$ (각각각각 균열면 위 및 균열 아래 부분).균열에 평행한 대칭선이 있기 때문에 ${\displaystyle u_{}^{}}i{\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle {}_{}^{}}$+ )${\displaystyle {\mathrm{j}}_{}^{}}$ - 1 ${\displaystyle =}$ - ${\displaystyle u_{}^{}}$i${\displaystyle {}_{}^{}}$( -${\displaystyle {}_{}^{}}$) j - ${\displaystyle 1_{}^{}}$ . { $displaystyle u$_ { i$}^{$ ( + ) $j$ - 1$$} = - $u$_ { $i$}^{ ( - ) j - 1$$} 。

$따라서{\displaystyle \mathrm{}}$ , ${\displaystyle u_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{j}}_{}^{}}$ - 1 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle u_{}^{}}$i${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle {}_{}^{}}$+ )${\displaystyle j_{}^{}}$ -${\displaystyle {}_{}^{}{1}_{}^{}}$. { $displaystyle$\ $Delta u$_ { $i$}^{ j - 1 =$2u$_ { i }^{ ( + )$$j - 1 } 。

노드 " " "

그림 3에 나타난 8-노드 직사각형 요소는 2차 기저 함수를 가진다.G를 계산하는 프로세스는 4노드 요소와 동일하지만 ${\displaystyle \delta }$ a$$\$displaystyle$ $\Delta$a $$(1개 요소에 대한 균열 증가)는 노드$j$에서 j$$${\displaystyle }$+${\displaystyle 2}$까지의 $거리$입니다$.\displaystyle$ j$+2.$} 다시$$ 한번 자기유사 직선균열 성장을 가정하여 다음과 같은 공식으로 에너지 방출률을 산출할 수 있다$.$

${\displaystyle G_{1}^{\text{MCCI}} = flac {1} {2\Delta a}}\left(F_{2}^{j}{\\\u_{2}^{j-2}+F_{2}^{j+1}{\}u_{2}^{j-1}\right)}$

${\displaystyle G_{2}^{\text{}MCCI}} = flac {1} {2\Delta a}}\left(F_{1}^{j}{\\\}^{u_{1}^{j-2}+F_{1}^{j+1}{\}}^{u_{1}^{j-1}\right)}$

${\displaystyle G_{3}^{\text{}MCCI}} = flac {1} {2\Delta a}}\left(F_{3}^{j}{\\\ u_{3}^{j-2}+F_{3}^{j+1}{\}u_{3}^{j-1}\right)}$

노드 릴리스 방법과 마찬가지로 MCCI의 정확도는 균열 팁에 따른 이산 수준에 따라 크게 좌우된다. $즉{\displaystyle }$, G ${\displaystyle =}$ lim ${\displaystyle \underset{}{\delta }}$ a ${\displaystyle \underset{}{\to }}$ ${\displaystyle \underset{}{0}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\text{MCCI}}^{}}$. {\$Delta$ a$\text${\$displaystyle$ g$=\lim$ _${\$Delta a\text}$G^{\text}$$MCCI}}.}$ 정확도는$$ 요소 선택에 따라 달라집니다.8노드 2차 요소의 메시는 메시 내의 자유도가^[8] 동일한 4노드 선형 요소의 메시보다 더 정확한 결과를 얻을 수 있습니다.

통합 JJ

J 적분은 유한 요소 망사 및 형상 ^[9]함수를 사용하여 직접 계산할 수 있습니다.그림 4와 같이 도메인 카운토어를 고려하여 임의의 스무스 $함수q{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}{}_{}}$, x${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle =\underset{i}{}}$ i ${\displaystyle N_{}}$i ( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}{}_{}}$, ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}{\stackrel{}{}}_{}}$)${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$q ~$$ ( \ $displaystyle${ $q$} ( x$_$ {$1$ } , $x _$ {2} = \$sum$ { i$$} N _ { $i$（ $x _$ 1 } , $x _$ { 2 }$$} } $){ tilde$ { t $}$ }$\displaystyle \Gamma }$ 및$$${\displaystyle \stackrel{}{}}$q ~ $=$ $($$C1$\displaystyle$\mathcal{C}_{1$

직진하는 선형 탄성 $균열$의 경우 G ${\displaystyle =}$ {\$displaystyle$ G$=$$J$ J ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$( ${\displaystyle i_{}}$ i ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{u}}_{}}$i , ${\displaystyle {}_{}{\stackrel{}{}}_{}}$q${\displaystyle {}_{}}$~ ,${\displaystyle {}_{}{j}_{}}$ - ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$q${\displaystyle {}_{}}$~${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle 1_{}}$ ) ${\displaystyle D}$ {\$displaystyle$ J=\$int {cala}(\$cala$)$의 업데이트된 공식을 사용하여 윤곽선으로 둘러싸인 영역에 걸쳐 에너지 방출률을 계산할 수 있습니다.$\tilde {q}_{,j}-W{\tilde {q}_{,1}d{\mathcal {A}}}$

위의 공식은 균열 팁 주변의 모든 환상 영역에 적용할 수 있다(특히 일련의 인접 요소를 사용할 수 있다).은 균열 선단 정련에 먼할 수 ).

접근방식을

될 수 . J-내음음음 음음 음음 음음 음 the the the the the the the the the the the 。 $G=\ _{\}}{\ x_{ {Cmathcal {C}_{\cal {C}} {\cal}}}_{\calcal}}{\cal}{\cal}{\cal}}{\cal}{\c =\int _{\mathcal {C}_{\cal {C}_{\cal}_{\cal}{\cal}{\cal}{\cal}{\cal}{\cal}{\cal}{\cal}{\cal}{\cal}$ $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle C_{\mathrm{}}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$+${\displaystyle {}_{}{\mathcal{}}_{}{}_{}}$+ C${\displaystyle {}_{}}$-${\displaystyle {}_{}\mathrm{\gamma }}${ $displaystyle$\ $mathcal$ { $C$} = { $c$} _ { {$c$} + { \ $mathcal${ $C$} _ { + } + { \ $mathcal${$C$} _ { - } - \ $Gamma$${\displaystyle \stackrel{}{\to <img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathcal\; \{C\}\}=\{\backslash mathcal\; \{C\}\}\_\{1\}+\{\backslash mathcal\; \{C\}\}\_\{+\}+\{\backslash mathcal\; \{C\}\}\_\{-\}-\backslash Gamma\; \}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/6d274fcd4b72db147bd03d4b0fece85daa728f3e"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:22.063ex;\; height:2.509ex;">}}${ $cve$= { c } { c } { c } + { n }일 때C$$+(\$style {C}_$${+})$${\displaystyle {}_{}}및{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$C -$(\style$ {\display {$C}}_$에서 작업 및 스트레스가 상쇄되므로 발산 정리를 적용하면 다음과 같이 됩니다. $J= _{\}}{\frac {\C}}=\ _{\frac {C}=\int_{\mathcal {A}}{\frac {i}}$ $마지막$으로,${\displaystyle \frac{\mathrm{}w}{}}$ W${\displaystyle \frac{\mathrm{}{1\mathrm{}}_{}}{}}$ 1 x 1 ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ i ${\displaystyle \frac{{j\mathrm{}}^{}}{}{}_{}\frac{{\mathrm{}}^{}{}_{}}{}}$ 2 ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ i ${\displaystyle \frac{{}_{}}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \frac{x_{}}{}}$ ${\$ ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}_{}}{}}$ { \ $displaystyle${ \ $flac W$ } { \ $partial$ x$_$ { }$=$ \ $frac$ _ { { $}u$_ { $i$} = { \ $frac ^ {$ } u _ { \ $frac$ } u _ { \ $frium$ }$$} } {\ framillium } { \ } } } $partial$ {\ framillium } } } } using using$$ $J= _ { {1}displaystyle J=\int_{\mathcal {Ai}{i},i})$

팁 특이 2-D 균열 팁 특이 요소

상기의 에너지 방출률 계산방법은 이산화가 증가된 실제 용액에 점근적으로 접근하지만 균열 팁 특이점을 완전히 포착하지는 못한다.균열 ^[10]팁 주변의 1/4 점 요소를 활용하면 보다 정확한 시뮬레이션을 만들 수 있습니다.이러한 요소에는 균열 팁 주위에 응력장을 보다 정확하게 생성하는 특이성이 내장되어 있습니다.4분의 1 포인트 방법의 장점은, 보다 거친 유한 요소 메쉬를 가능하게 해, 계산 코스트를 큰폭으로 삭감할 수 있는 것입니다.게다가 이러한 요소는 분석을 위한 특별한 계산 프로그램을 필요로 하지 않고 공통 유한 요소에 대한 작은 수정으로부터 도출된다.이 섹션의 목적상 탄성 재료는 탄성 플라스틱 파괴 역학으로 ^{[11][12][13][14]}확장할 수 있지만 검토한다.완벽한 탄성을 가정하면 응력 영역에서 $(디스플레이$ 스타일 {$1}{\sqrt {r}})$의 $균열{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ 팁 특이점이 발생합니다.

이소파라메트릭 8'

8노드의 2차 요소는 그림 5에 $로컬{\displaystyle }$ 좌표 ${\\displaystyle \xi$$$$$}}}}}${\displaystyle }$$、$ \ $displaystyle$ $\$$eta$$$, , , , , , , , , , , , ,${\displaystyle }$, , , , , , , , , ,$$, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,$$, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,$$ 부모요소는 ${\displaystyle {형상함수}_{}}$ $Ni$ ${\displaystyle ,,}$ $),$$),$ \$eta)$와 자유도 좌표$xi, yi)$에 의해 로컬공간에서 물리공간으로 매핑됩니다.} 균열$$ 팁은$$${\displaystyle \mathrm{\xi }=}$- ${\displaystyle 1}$ ,${\displaystyle }$- ${\displaystyle =}$- 1 {$displaystyle$ \$xi =$- 1 , \$eta =$- 1$$ } $또는{\displaystyle }$${\displaystyle }$ x${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0}$ , $0$ . { $displaystyle x$=$0$, $y$= 0 .$}$

${\displaystyle x(\xi,\eta)=\sum _{i=1}^{8}N_{i}(\xi,\eta)x_{i}}$

$\displaystyle y(\xi,\eta)=\sum _{i=1}^{8}N_{i}(\xi,\eta)y_{i}}$

마찬가지로 변위(${\displaystyle u{u\mathrm{}}_{}}$1, v${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$2 { $displaystyle$u\$equiv u_{1}, v\equiv u_${2$\}$로 $)$도 매핑할 수 있습니다.

${\displaystyle u(\xi,\eta)=\sum _{i=1}^{8}N_{i}(\xi,\eta)u_{i}}$

${\displaystyle v(\xi,\eta)=\sum _{i=1}^{8}N_{i}(\xi,\eta)v_{i}}$

유한 요소법에서 형상 함수의 속성은 콤팩트 지원, 특히 크로네커 델타 특성($즉{\displaystyle }$, Ni $=$ {\style $N_{i}=$1} 노드$$i {\$displaystyle$i}에서는 0)이다.따라서 8-노드 2차 요소에 ^[8]대해 다음과 같은 형상 함수가 생성됩니다.

${\displaystyle N_{1}=subscfrac {-(xi-1)(\eta-1)(1+\eta +\xi)}{4}}$

${\displaystyle N_{2}=sublicfrac {(\xi +1)(\eta - 1)(1+\eta -\xi)}{4}}$

${\displaystyle N_{3}=sublicfrac {(\xi +1)(-1+\eta +\xi)}{4}}$

${\displaystyle N_{4}=sublicfrac {-(xi-1)(\eta +1)(-1+\eta -\xi)}{4}}$

${\displaystyle N_{5}=hargfrac {(1-\xi ^{2}(1-\eta)}{2}}$

${\displaystyle N_{6}=black {(1+\xi)(1-\eta ^{2}}{2}}$

${\displaystyle N_{7}=black {(1-\xi ^{2}(1+\eta)}{2}}$

${\displaystyle N_{8}=black {(1-\xi)(1-\eta ^{2}}{2}}$

균열 앞의 라인이$$x축$($${\displaystyle 즉}$, $displaystyle$ N_${i}(\$xi$,\eta =$과 동일선형인 경우, ${\displaystyle {N1\mathrm{},}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$5$(\display style$$$N_${i$}(\xi,\eta =-$1$$))$를 제외한 모든 기본 함수는 0입니다$.$

${\displaystyle N_{1}(\xi,-1)=-{\frac {xi (1-\xi)}{2}}$

${\displaystyle N_{2}(\xi,-1)=\frac {xi (1+\xi)}{2}$

${\displaystyle N_{5}(\xi,-1)=(1-\xi ^{2})}$

정규 변형률 계산에는 체인 규칙을 사용하여${\displaystyle }$x에 $대한{\displaystyle }$ 변위 도함수를 구해야 합니다$.$ {\$displaystyle$ x$.}$

$\displaystyle _{xx}=\sum _{i=1,2,5}{\frac {\partial \xi}}{\frac \xi}{\frac \xi}{\frac \frac \xi}{\frac x}u_{i}}$

노드가 직사각형 요소 위에 균등하게 배치되어 있으면 변형률에 특이점이 포함되지 않습니다.노드 5와 노드 8의 위치를 그림 5와 같이 균열 팁에 가까운 요소의 1/4 ${\displaystyle 길이\frac{}{}}$($L$4$)({\tfrac {$L}{4$}})$로 이동하면 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \to }$ \ $displaystyle \xi \rightarrow$ x$}$로부터의 매핑은 다음과 같이 됩니다.

${\displaystyle x(\xi)=param frac {{xi (1+\xi)}{2}L+(1-\xi ^{2}){\frac {L}{4}}}$

$§(\displaystyle\xi)$에 대한 해결 및 파생상품 추출 결과는 다음과 같습니다.

${\displaystyle\xi(x)=-1+2grt {frac {x}{L}}}}}}:$

$(\displaystyle\frac{\fracxi}{\frac{1}{\fracrt {xL}}})$

이 결과를 변형 방정식에 대입하면 최종 결과를 얻을 수 있습니다.

$\displaystyle _{xx}=syslogfrac {4}{L}}\left({\frac {u_{2}}}-u_{5}\right)+{\frac {1}{\syslogrt {xL}}\left(2u_{5}-{5}}}}\frac {5}\right})$

중간 노드를 1/4 위치로 이동하면 $올바른{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ $(디스플레이$ 스타일 ${1}{\sqrt {r}})$의 균열 팁 특이점이 생성됩니다.

기타 요소 유형

직사각형 요소 방법으로는 균열 팁 주위에 단일 요소가 쉽게 맞물릴 수 없습니다.이로 인해 균열 경로를 결정하는 데 중요한 응력장의 각도 의존성을 포착하는 기능이 저하됩니다.또한 요소 가장자리를 제외하고 $(디스플레이$ 스타일 ${1}{\sqrt {r}})$ 특이점이$$ 균열 팁 근처의 매우 작은 영역에 존재합니다.그림 6은 이 특이점을 모델링하기 위한 또 다른 1/4 포인트 방법을 보여줍니다.8노드 직사각형 요소를 ^[15]삼각형으로 매핑할 수 있습니다.$이$는 ${\displaystyle =}$ - 1$($ $스타일 \xi$ =-$1)$ 라인의$$ 노드를 중간 노드 위치로 접고 $=$ ± $(디스플레이$ 스타일 $\eta$ =\$pm$1)의 중간 노드를 1/4 포인트 위치로 이동함으로써 수행됩니다.접힌 직사각형은 균열 팁을 더 쉽게 둘러싸지만 요소 가장자리가 직선이어야 합니다. 그렇지 않으면 응력 강도 계수 계산의 정확도가 저하됩니다.

A better candidate for the quarter-point method is the natural triangle as seen in Figure 7. The element's geometry allows for the crack tip to be easily surrounded and meshing is simplified. Following the same procedure described above, the displacement and strain field for the triangular elements are:

${\displaystyle u=u_{3}+{\sqrt {\frac {x}{L}}}\left[4u_{6}-3u_{3}-u_{1}\right]+{\frac {x}{L}}\left[2u_{1}+2u_{3}-4u_{6}\right]}$

${\displaystyle \gamma _{xx}={\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {1}{\sqrt {xL}}}\left[-{\frac {u_{1}}{2}}-{\frac {3u_{3}}{2}}+2u_{6}\right]+{\frac {1}{L}}\left[2u_{1}+2u_{3}-4u_{6}\right]}$

This method reproduces the first two terms of the Williams solutions^[16] with a constant and singular term.

An advantage of quarter-point method is that it can be easily generalized to 3-dimensional models. This can greatly reduce computation when compared to other 3-dimensional methods but can lead to error if that crack tip propagates with a large degree of curvature.^[17]

See also

• Fracture mechanics
• Stress intensity factor
• Fracture toughness
• J-integral

References

External links

• Nonlinear Fracture Mechanics Notes by Prof. John Hutchinson (from Harvard University)
• Griffith's Strain Energy Release Rate on www.fracturemechanics.org