구면 3-매니폴드

수학에서 구면 3매니폴드 M은 형태의 3매니폴드다.

M=S^{3}/\감마

여기서 $\Gamma$ 는 3-sphere $S^{3}$ $S^{3}$ ${\$ 에서 자유롭게 회전하는 SO(4)의 유한 부분군이다 $\Gamma$ $S^{3}$ 이러한 모든 다지관은 프라임, 방향 및 닫힘이다.구형 3-매니폴드는 타원형 3-매니폴드 또는 클리포드-클레인 다지관이라고 부르기도 한다.

특성.

구면 3 $S^{3}/\Gamma$ $S^{3}/\Gamma$ 3 / $S^{3}/\Gamma$ $S^{3}/\Gamma$ 은(는) γ 자체에 유한한 기본 집단이 이형성을 가진다 $S^{3}/\Gamma$ .그리고리 페렐만에 의해 증명된 타원화 추측에 따르면, 반대로 유한한 기본 집단을 가진 모든 소형 3-매니폴드는 구형 다지관이다.

기본 집단은 순환이거나, 균일한 질서의 순환 집단에 의한 이면, 사면체, 팔면체 또는 이면체의 중심 확장이다.이는 그러한 다지관 세트를 다음 절에서 설명하는 5가지 등급으로 나눈다.

구면 다지관은 정확히 Thurston의 기하학적 추측의 8가지 기하학 중 하나인 구형 기하학을 가진 다지관이다.

순환 케이스(렌즈 스페이스)

γ 순환이 있는 $S^{3}/\Gamma$ 다지관 $S^{3}/\Gamma$ / $S^{3}/\Gamma$ ${\displaystyle$ S $^{3}/\Gamma }$ 은(는) 정확히 3차원 렌즈 공간이다.렌즈 공간은 그것의 기본 그룹에 의해 결정되는 것이 아니라, 다른 구면 다지관은 다음과 같다.

3차원 렌즈 공간은 폼의 요소에 의해 생성되는 그룹의 작용에 의해 $S^{3}\subset \mathbb {C} ^{2}$ S $S^{3}\subset \mathbb {C} ^{2}$ $S^{3}\subset \mathbb {C} ^{2}$ $S^{3}\subset \mathbb {C} ^{2}$ $S^{3}\subset \mathbb {C} ^{2}$ ${\$ 의 인수로 발생한다.

{\pmatrix}\omega &0\\0&\omega ^{q}\end{pmatrix}}.

where $\omega =e^{2\pi i/p}$ . Such a lens space $L(p;q)$ has fundamental group $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ for all $q$ , so spaces with different $p$ are not homotopy equivalent.또한, 동형상 및 동형상 등가성까지의 분류는 다음과 같이 알려져 있다.3차원 공간 $L(p;q_{1})$ ; $L(p;q_{1})$ $L(p;q_{1})$ ) ${\displaystyle L(p;q_{1})$ 및 $L(p;q_{1})$ $L(p;q_{2})$ ; $L(p;q_{2})$ 2 $L(p;q_{2})$ ) ${\displaystyle L(p;q_{2})$ 은 다음과 $L(p;q_{2})$ 같다.

$q_{1}q_{2}\equiv \pm n^{2}{\pmod {p}}$ $n\in \mathbb {N} ;$ opy $n\in \mathbb {N} ;$ ; ${\$ $displaystyle q_{1}q_{2}\equiv \pm n^{2}{\pmod{p}}}{\$ $displaysty n\in \mathb {N} ;}$ 의 $q_{1}q_{2}\equiv \pm n^{2}{\pmod {p}}$ $q_{1}q_{2}\equiv \pm n^{2}{\pmod {p}}$ 호모토피피 동등.
$q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}.$ $q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}.$ $q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}.$ ± $q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}.$ 2 $q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}.$ ± $q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}.$ ( $q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}.$ p $q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}.$ ) $q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}.$ . ${\displaystyle q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm$ 1 $}{\pmod {p}.$ $}$

특히 렌즈 공간 L(7,1)과 L(7,2)은 호모토피 등가물이지만 동질성이 없는 3-매니폴드 두 개를 예로 제시한다.

렌즈 공간 L(1,0)은 3-sphere이고, 렌즈 공간 L(2,1)은 3차원 실제 투영 공간이다.

렌즈 공간은 여러 가지 면에서 세이퍼트 섬유 공간으로 표현될 수 있는데, 대개는 2-sphere 위에 있는 섬유 공간으로서 거의 두 개의 예외적인 섬유로 표현될 수 있지만, 순서 4의 기본 그룹을 가진 렌즈 공간은 예외적인 섬유 없이 투영 면 위에 있는 세이퍼트 섬유 공간으로서 표현된다.

디헤드럴 케이스(프리즘 다지관)

프리즘 다지관은 닫힌 3차원 다지관 M으로, 기본 집단은 이면체의 중심 확장이다.

M의 기본 그룹 π₁(M)은 프리젠테이션을 하는 그룹이 있는 오더 m의 순환 그룹 제품이다.

\langle x,y\mid xyx^{-1}=y^{-1},x^{2^{k}}=y^{n}\angle }}

k m 1, m with 1, n ≥ 1, n ≥ 2, m coprime to 2n의 경우.

또는, 기본 그룹이 프레젠테이션을 한다.

\langle x,y\mid xyx^{-1}=y^{-1},x^{2m}=y^{n}\angle }}

coprime 정수 m의 경우, n은 m ≥ 1, n ≥ 2. (여기서 n은 이전 n과 같고, 여기서 m은 이전 m의 2배^k-1)

우리는 후자의 발표를 계속한다.이 그룹은 순서 4m의 아벨리안화를 갖는 순서 4mn의 전이순환 그룹이다(그러므로 m과 n은 모두 이 그룹에 의해 결정된다).원소 y는 순서 2n의 주기적 정규 부분군을 생성하며, 원소 x는 순서 4m를 갖는다.중심은 순서 2m의 순환형으로 x에² 의해 생성되며, 중심별 몫은 순서 2n의 이음집합이다.

m = 1일 때 이 그룹은 2진법 또는 다사이클릭 그룹이다.가장 간단한 예는 m = 1, n = 2인데, 이때 π₁(M)은 순서 8의 쿼터니온 그룹이다.

프리즘 다지관은 그들의 기본 그룹에 의해 독특하게 결정된다: 닫힌 3-매니폴드가 프리즘 다지관 M과 동일한 기본 그룹을 가지고 있다면, 그것은 M에 대해 동형이다.

프리즘 다지관은 두 가지 방법으로 세이퍼트 섬유 공간으로 표현될 수 있다.

사면체 케이스

기본 그룹은 프레젠테이션이 있는 그룹이 있는 주기적인 순서 m 그룹의 제품이다.

\langle x,y,z\mid (xy)^{2}=x^{2}=y^{2},zz^{-1}=y,zz^{-1}=xy,z^{3^{k}=1\angle }}

정수 k의 경우, k k 1, m 1 1 및 m coprime to 6.

또는, 기본 그룹이 프레젠테이션을 한다.

\langle x,y,z\mid (xy)^{2}=x^{2}=y^{2},zz^{-1}=y,zz^{-1}=xy,z^{3m}=1\angle }

홀수 정수 m ≥ 1. (여기 있는 m은 이전 m의 3배^k-1)

우리는 후자의 발표를 계속한다.이 그룹은 주문량이 24m이다.원소 x와 y는 순서 8의 쿼터니온 그룹에 대해 정규 부분군 이형성을 생성한다.중심은 질서 2m의 순환이다.원소 z와³ x² = y에² 의해 생성되며, 중심에 의한 몫은 4면체군, 동등하게 교번군 A이다₄.

m = 1일 때 이 그룹은 이진 사면체 그룹이다.

이러한 다지관은 그 기본 집단에 의해 독특하게 결정된다.그것들은 모두 본질적으로 독특한 방식으로 세이퍼트 섬유 공간으로서 표현될 수 있다. 즉, 지수 다지관은 구체이고 2, 3, 3의 예외적인 섬유는 3가지다.

팔면체 케이스

기본 그룹은 2진수 옥타헤드 그룹(48진수)과 함께 순서 m coprime ~ 6의 주기적 그룹의 산물이다.

\langle x,y\mid (xy)^{2}=x^{3}}=y^{4}\랑글 .

이러한 다지관은 그 기본 집단에 의해 독특하게 결정된다.그것들은 모두 본질적으로 독특한 방식으로 세이퍼트 섬유 공간으로서 표현될 수 있다. 즉, 지수 다지관은 구체이고 2, 3, 4 순서의 3개의 예외적인 섬유들이 있다.

이코사헤드랄 케이스

기본 그룹은 2진수 이코사이드 그룹(주문 120)과 함께 순서 m coprime ~ 30의 주기적 그룹의 산물이다.

\langle x,y\mid (xy)^{2}=x^{3}}=y^{5}\랑글 .

m이 1일 때, 다지관은 푸앵카레 호몰로지 영역이다.

이러한 다지관은 그 기본 집단에 의해 독특하게 결정된다.그것들은 모두 본질적으로 독특한 방법으로 세이퍼트 섬유 공간으로서 표현될 수 있다: 인용 다지관은 구체이고 2, 3, 5의 3개의 예외적인 섬유들이 있다.

참조

피터 올릭, 세이퍼트 다지관, 수학 강의 노트, 291, 스프링거-베를라크(1972) ISBN 0-387-06014-6
William Jaco, 3-manifold topology ISBN 0-8218-1693-4에 대한 강의
윌리엄 서스턴, 3차원 기하학 및 위상 제1권. 실비오 레비에 의해 편집된다.프린스턴 수학 시리즈, 35. 프린스턴 대학 출판부, 프린스턴, 뉴저지, 1997.ISBN 0-691-08304-5

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