느리게 변화하는 함수

수학의 한 분야인 실제 분석에서, 천천히 변화하는 함수는 어떤 의미에서는 무한대에서 수렴되는 함수의 행동과 유사한 실제 변수의 함수다. 마찬가지로 규칙적으로 변화하는 함수는 무한대에서의 행동이 무한대에 가까운 동력법 함수(다항식)의 행동과 유사한 실제 변수의 함수다. 이러한 종류의 기능들은 둘 다 조반 카라마타에 의해 도입되었고,^[1]^[2] 예를 들어 확률 이론에서 몇 가지 중요한 응용 프로그램을 찾아냈다.

기본 정의

정의 1. 측정 가능한 함수 $L$ : $(0,+\infty)$ → ( $0,+\infty)$ 는 $모든$ a > $0$ 에 대해 (무한도에서) 천천히 변화한다고 한다.

\lim _{x\to \inflt }{\frac {L(ax)}{L(x)}}=1.

정의 2. $한계치$ L : ( $0,+)$ → ( $0,+)$ 함수

g(a)=\lim _{x\to \inflt }{\frac {L(ax)}{L(x)}}}}

$a$ > $0$ 마다 유한하지만 0이 아닌 것을 규칙적으로 변화하는 함수라고 한다.

이 정의들은 조반 카라마타에 기인한다.^[1]^[2]

참고. 정기적으로 변화하는 경우, 천천히 변화하는 두 함수의 합은 다시 서서히 변화하는 함수를 의미한다.

기본 속성

규칙적으로 변화하는 함수는 몇 가지 중요한 특성을 가지고 있다.^[1] 기능들의 일부 목록은 아래에 보고된다. 빙엄, 골디 & 테우겔스(1987)의 모노그래프에는 정규 변동의 특성을 나타내는 성질에 대한 보다 광범위한 분석이 제시되어 있다.

제한 행동의 균일성

정리 1. $정의$ 1과 2의 한계는 a가 콤팩트한 간격으로 제한되는 경우 균일하다.

카라마타의 성격 정리

정리2. 규칙적으로 변화하는 모든 $함수$ f : ( $0,+)$ → ( $0,+)$ 는 형식이다.

f(x)=x^{\beta }L(x)

어디에

$β$ 는 실제 수, 즉 $β$ ∈ $R$ 이다.
$L$ 은 천천히 변화하는 기능이다.

참고. 이는 정의 2의 함수 $g (a)$ 가 반드시 다음 형식이어야 함을 의미한다.

g(a)=a^{\rho }

여기서 실제 숫자 $ρ$ 을 정규 변동의 지수라고 한다.

카라마타 표현 정리

정리 3. 함수 $L$ 은 $모든$ $x$ ≥ $B$ 에 대해 함수를 형식으로 기록할 수 있는 B > $0$ 이 존재하는 경우에만 서서히 변화한다.

L(x)=\exp \left(\eta(x)+\int_{B}^{x}{\frac {\varepsilon(t)}{t}\,dt\오른쪽)

어디에

$η (x)$ 는 $x$ 가 무한대로 가면서 유한한 숫자로 수렴되는 실제 변수의 경계 측정 가능한 함수다.
$ε (x)$ 는 $x$ 가 무한대로 갈 때 0으로 수렴되는 실제 변수의 경계 측정 가능한 함수다.

예

$L$ 에 한계가 있는 경우

\lim _{x\to \inflt }L(x)=b\in (0,\inflt )

그

다음 L은 천천히 변화하는 기능이다.

어떤 $β$ β $β$ R의 경우, $L (x)$ = $log β$ x $함수$ 는 천천히 변화한다.
함수 $L (x)$ = $x$ 는 천천히 변화하지 않으며, 실제 $β$ β $0$ 에 대해서도 $L (x)$ = $x$ 도^β 변화하지 않는다. 그러나 이러한 기능은 정기적으로 다양하다.

참고 항목

분석수 이론
하디-리틀우드 타우베리안 정리 및 카라마타 처리

메모들

^ ^a ^b ^c 참조 (Galambos & Seneta 1973)
^ ^a ^b 참고 항목(Bingham, Goldie & Teugels 1987).

참조

Bingham, N.H. (2001) [1994], "Karamata theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Bingham, N. H.; Goldie, C. M.; Teugels, J. L. (1987), Regular Variation, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 27, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-30787-2, MR 0898871, Zbl 0617.26001
Galambos, J.; Seneta, E. (1973), "Regularly Varying Sequences", Proceedings of the American Mathematical Society, 41 (1): 110–116, doi:10.2307/2038824, ISSN 0002-9939, JSTOR 2038824.

[GaSe-1] 참조 (Galambos & Seneta 1973)

[BiGoTe-2] 참고 항목(Bingham, Goldie & Teugels 1987).

[1]

[2]

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