상한정리

수학에서 상한 정리는 주기적인 폴리토페스가 주어진 치수와 정점 수를 가진 모든 볼록 폴리토페스 중에서 가능한 면의 수가 가장 많음을 명시한다.그것은 다면 결합술의 중심 결과 중 하나이다.

원래 상한 추측으로 알려졌던 이 진술은 테오도르 모츠킨에 의해 공식화되었고, 피터 맥뮬런에 의해 1970년에 증명되었으며,^[1] 리차드 P에 의해 1975년에 폴리토페스에서 구체의 세분화까지 강화되었다. 스탠리.

순환다각류

주기적 폴리토프 Δ(n,d)는 모멘트 곡선(t, t², t³, t, ...)에 있는 정점의 볼록한 선체로 정의할 수 있다.이 곡선에서 n개의 점을 선택하는 정확한 선택은 이 폴리토프의 결합 구조와 무관하다.Δ(n,d)의 i차원 면 수는 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle f_{i}(\Delta(n,d))={\binom {n}{i+1}}\quad {\textrm {for}\textrm {\flaged 0\leq i<\\frac{d}}{d}}}}}\right\rfloor }}}}$

and ${\displaystyle (f_{0},\ldots ,f_{\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor -1})}$ completely determine ${\displaystyle (f_{\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor },\ldots ,f_{d-1})}$ via the Dehn–Sommerville equations.얼굴 수에 대한 동일한 공식은 어떤 이웃의 폴리토프에도 더 일반적으로 적용된다.

성명서

상한 정리는 Δ가 정점이 n인 d - 1 치수의 단순한 구면이라면 다음과 같이 기술하고 있다.

${\displaystyle f_{i}(\Delta )\leq f_{i}(\Delta(n,d))\quad {\textrm{for}}\quad i=0,1,\ldots,d-1.}$

즉, 임의의 폴리토프의 얼굴 수는 결코 같은 치수와 정점 수를 가진 순환 또는 인접 폴리토프의 얼굴 수보다 클 수 없다.점증적으로 이는 모든 차원의 최대 $O{\displaystyle ({}^d}$ d${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ) ${\$ 면들이$$ 있음을 의미한다.그러한 폴리토프의 정점을 교란하는 것(그리고 교란된 정점의 볼록한 선체를 취하는 것)처럼 단순하지 않은 볼록한 폴리토프의 경우에도 동일한 경계는 면의 수만을 증가시킬 수 있다.

역사

단순 폴리토페스에 대한 상한 추정은 1957년 모츠킨에 의해 제안되었고 1970년 맥멀런에 의해 증명되었다.그의 입증의 핵심 요소는 h-벡터 측면에서 다음과 같은 개혁이었다.

${\displaystyle h_{i}(\Delta )\leq {n-d+i-1}{i}}\quad {\textrm {for}\textrm {\}}\quad 0\leq i<\frac {d}{d}}}}\right\rfloor .}}$

빅터 클리는 모든 단순화된 영역에 대해 동일한 진술이 유지되어야 한다고 제안했고 이는 실제로 스탠리가 스탠리-레이저 고리 개념과 동질적 방법론을 사용하여 1975년에 확립되었다.이 정리에 대한 훌륭한 역사적 설명은 스탠리의 "상위 한계 추측이 어떻게 증명되었는가"^[3]를 참조한다.

참조