추기경

집합론에서 일반 추기경은 그 자체의 공칭성과 동등한 기수다.보다 분명히 말하면, 이것은 모든 무한 $부분집합{\displaystyle }$ C ${\displaystyle \subseteq }$ ⊆ ${\displaystyle \kappa }$ { { ${$ {\$displaystyle C\subseteq \kappa }}$이(가) 카디널리티 $\kappa$을 갖는 경우에만$$$\kappa {\displaystyle }$${\displaystyle \kappa$$}}.$ 정규 추기경이 아닌 무한 순서가 잘 정돈된 추기경이라고 한다.유한한 기수들은 전형적으로 정규 또는 단수라고 불리지 않는다.

선택 공리(선택의 공리)가 있는 경우, 어떤 추기경 번호도 잘 정렬할 수 있으며, 그 다음 숫자는 추기경 $cardinal{\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$에 동등하다$.$

1. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$은(는) 일반 추기경이다$$.
2. If ${\displaystyle \kappa =\sum _{i\in I}\lambda _{i}}$ and ${\displaystyle \lambda _{i}<\kappa }$ for all ${\displaystyle i}$, then ${\displaystyle I \geq \kappa }$.
3. If ${\displaystyle S=\bigcup _{i\in I}S_{i}}$, and if ${\displaystyle I <\kappa }$ and ${\displaystyle S_{i} <\kappa }$ for all ${\displaystyle i}$, then ${\displaystyle S <\kappa }$.
4. 카디널리티 가$$$\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \$$operatorname {Set} _{<\cappa }$보다 작으며$$, 그 사이의 모든 기능은 카디널리티의 콜리미트(콜리미트레이드$$\$displaystyle \kappa$ $\}.$

조잡하게 말하면, 이것은 일반 추기경이 소수의 작은 부분으로 분해될 수 없는 추기경이라는 것을 의미한다.

모든 추기경들이 반드시 순서가 잘 잡힌 세트의 추기경들이 되는 것은 아니기 때문에 선택의 공리가 실패할 수 있는 맥락에서 상황은 조금 더 복잡하다.이 경우 위의 동등성은 순서가 좋은 추기경에게만 적용된다.

무한 서수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$은(는) 순서 유형이 $\alpha {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\alpha }$보다 작은 서수 집합의 한계가 아닌 한계 서수라면 일반 서수이며$,$ 비록 일부 초기 서수는 정규 서수는 ${\displaystyle {아니지만}_{}}$ 항상 초기 서수이다$.$$yle \omega _{\omega}($아래 예시 참조).

예

$\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$보다 작은 서수들은 유한하다$$.유한한 서열은 항상 유한한 최대값을 가지므로, $\Omega {\displaystyle }${\$displaystyle \omega$}은(는) $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega$$$$}$보다 작은 형식의 서열 제한이 될$$ 수 없으며$$, 이 $원소$는 Ω$${\$displaysty \omega$}보다 작으며, 따라서 정규 서열이다.${\displaystyle {\mathrm{\aleph }}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$aleph-limit)은 초기 서수형인 $\Omega {\displaystyle }${\$displaystyle \omega$이(가) 규칙적이기 때문에 일반 추기경이다.한정된 수의 한정된 기수들의 기수 합계가 그 자체로 유한하기 때문에 규칙적이 되는 것도 직접 볼 수 있다.

${\displaystyle \Omega }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \omega +$1}은$($는) $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega$}보다 큰 다음 순서 번호로$,$ 한계$$ 서수가 아니므로 단수형이다.${\displaystyle \omega +\omega }$ is the next limit ordinal after ${\displaystyle \omega }$. It can be written as the limit of the sequence ${\displaystyle \omega }$, ${\displaystyle \omega +1}$, ${\displaystyle \omega +2}$, ${\displaystyle \omega +3}$, and so on.이 시퀀스에는 순서 유형 $\Omega {\displaystyle }${\$displaystyle$\$omega$이(가$)$ 있으므로$,$ Ω + $Ω$ +${\displaystyle }$Ω보다 작은 $\Omega {\displaystyle }$ +$$보다 작은$요소$인 $디스플레이$ 스타일 $\omega$ +\omega$$$}$의 시퀀스 제한이 있으며$$, 따라서$$ 단수형이다$.$

${\displaystyle {\mathrm{\aleph }}_{}}$ ${\$}는$$ ${\$${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$$\}$보다 큰 다음 기수이므로 $1{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 미만의 추기경들은 카운트할 수 있다$$(수 있거나 폄하할 수 있다.선택 공리를 가정할 때, 카운트 가능한 집합의 조합은 그 자체로 카운트할 수 있다.그래서 $\aleph {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$}는 셀 수 있는 기수 세트의 합으로 쓸 수 없으며$$ 규칙적이다.

${\$$\aleph$ $_{\omega$}}은(는) ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$${\$$displaystyle \aleph _{0$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ {\$displaystyle$ $\aleph _{$$1$$$${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaysty$ \$aleph _{3$ 등의 다음 기수이다.Its initial ordinal ${\displaystyle \omega _{\omega }}$ is the limit of the sequence ${\displaystyle \omega }$, ${\displaystyle \omega _{1}}$, ${\displaystyle \omega _{2}}$, ${\displaystyle \omega _{3}}$, and so on, which has order type ${\displaystyle \omega }$, so ${\displaystyle {\omega }_{\omega }}$${\displaystyle \omega _{\omega }}$은(는) 단수형이며$$, ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ ${\$$displaystyle$\$aleph_{\omega }}}$도 ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ {\$displaystyle \omega$}도}도 Ω이며$,$첫 infin은 단수형인 최초의 무한 추기경이다$$.단수인 ite 한계 서수는 $\Omega {\displaystyle }$+ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \omega +\omega }$이다.$$단수 추기경의 존재를 증명하려면 대체의 공리가 필요하며, 실제로 제로멜로 세트 이론에서 $\aleph {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ ${\$의 존재를 증명할 수 없는 것이 프라운켈이 이 공리를 상정하게 된 원인이다.^[1]

특성.

또한 정규 추기경인 헤아릴 수 없는(약한) 한계 추기경들은 접근하기 어려운(약한) 추기경들로 알려져 있다.이들의 존재는 ZFC와 일치하지 않는 것으로 알려져 있지 않지만 ZFC 내에 존재한다는 것을 증명할 수는 없다.그들의 존재는 때때로 추가적인 공리로 받아들여진다.접근 불가능한 추기경들은 모든 고정점이 규칙적인 것은 아니지만, 알레프 함수의 고정점이다.예를 들어, 첫 번째 고정 지점은 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$ -시퀀스$$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\aleph {\mathrm{}}_{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}_{}\{}$ ${\displaystyle {{{0\mathrm{}}_{}}_{}}_{}}$ . . ${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{\$aleph _${0},\aleph$_{\$aleph _{0},},},},},},},},},},},},},},},},.$${}$ 따라서$$ 단수적이다.

선택의 공리가 유효하다면, 모든 후임 추기경은 규칙적이다.따라서 추기경이 후임 추기경인지 한계 추기경인지에 따라 대부분의 알레프 수의 규칙성 또는 특이성을 확인할 수 있다.예를 들어, 연속체의 카디널리티와 같은 일부 기수들은 특정 에일프와 동일하다고 증명될 수 없다. 그 값은 ZFC의 값이 헤아릴 수 없는 공완성의 어떤 추기경일 수 있다(이스턴의 정리 참조).연속체 가설은 연속체의 카디널리티가 정규인$$$\aleph {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}과 동일하다고 가정한다.

선택의 공리가 없다면 질서 정연하지 못한 기수들이 있을 것이다.더욱이 임의 수집의 기본적인 합은 정의할 수 없었다.따라서 알레프 수만이 의미 있게 정규 또는 단수 추기경이라고 할 수 있다.게다가, 후계자 알레프는 규칙적일 필요는 없다.예를 들어, 카운트할 수 있는 집합의 조합은 카운트할 수 없다.$\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$가 카운트 가능한 서수의 한계인 것은$$ ZF와 일치하며, 실수의 집합은 카운트 가능한 집합의 조합이다.나아가 $\aleph {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$보다 큰 모든 에일프는 단수(Moti Gitik이 입증한 결과)라는$$ 것이 ZF와 일치한다.

참고 항목

• 접근 불가능한 추기경

참조

• 허버트 B. Enderton, Set 이론의 요소들, ISBN0-12-238440-7
• 케네스 쿠넨, 세트 이론, ISBN 0-444-85401-0