부분적인 사회적 선택

Fractional social choice

부분적 사회적[1] 선택은 집단적 결정이 단일 대안이 아닌 두 개 이상의 대안으로 구성된 가중치 합계가 되는 사회적 선택 이론의 한 분야이다.예를 들어, 사회가 세 가지 후보 중 하나를 선택해야 하는 경우:A 또는 C, 그리고 표준 사회적 선택에서는 이들 후보 중 정확히 하나를 선택하지만, 부분적 사회적 선택에서는 (예를 들어) "A의 2/3과 B의 1/3"을 선택할 수 있다.가중치 합계에 대한 일반적인 해석은 확률 2/3로 후보 A를 선택하고 확률 1/3로 후보 B를 선택하는 추첨이다.이러한 해석으로 인해, 부분적 사회적 선택은 무작위 사회적 [2]선택, 확률적 사회적 [3]선택 또는 확률적 사회적 [4]선택이라고도 불린다.그러나 공유의 레시피로 해석할 수도 있습니다.예를 들어 다음과 같습니다.

  • 시분할: 후보 A는 (결정적으로) 시간의 2/3 동안 선택되고 후보 B는 시간의 1/3 동안 선택됩니다.
  • 예산 분담: A 후보자는 예산의 3분의 2를 받고 B 후보자는 예산의 3분의 1을 받는다.
  • 서로 다른 자격을 가진 공평한 분할을 사용하여 후보 A와 B 간에 이기종 자원을 분할할 수도 있으며, 이들의 자격은 2/3와 1/3입니다.

정식 정의

한정된 대안 집합(후보라고도 함)과 유한한 유권자 집합(에이전트라고도 함)이 있습니다.유권자들은 그 대안들에 대해 서로 다른 선호도를 가질 수 있다.

  • 이분법적 선호 - 각 유권자는 자신의 눈에는 모두 동등한 "승인된 후보"를 가지고 있습니다.이 모델은 부분 승인 투표 페이지에 자세히 설명되어 있습니다.
  • 선호 관계 - 각 유권자는 후보 순위를 가집니다.그 관계는 엄격할 수도 있고 약할 수도 있다.strict는 "tie"가 없음을 의미합니다.에이전트는 항상 어떤 후보를 선호합니다.약하다는 것은 연관성이 있을 수 있다는 것을 의미합니다. 에이전트는 두 명 이상의 후보 간에 무관심할 수 있습니다.

무작위 사회적 선택 함수(RSCF)는 유권자의 선호 관계 집합을 입력으로 받아들인다.출력으로 "혼합물" 즉 [0,1]에 있는 실수의 벡터 p를 반환하며, 각 후보마다 하나의 숫자가 있으므로 숫자의 합은 1이 됩니다.이 혼합물은 확률 p(x)로 각 후보 x와 값이 같은 랜덤 변수(복권)로 해석될 수 있습니다.이는 또한 각 후보에게 소수 지분을 할당하는 결정론적인 것으로도 해석될 수 있다.

유권자들은 단일 후보보다 선호도를 표현하기 때문에 RSCF를 평가하기 위해서는 혼합물보다 선호도를 높여야 한다.이 리프팅 프로세스는 종종 추첨 연장이라고 불리며, 몇 가지 확률적 순서 중 하나가 된다.

특성.

기본 속성

RSCF가 원하는 두 가지 기본적인 속성은 익명성입니다. 즉, 유권자의 이름은 중요하지 않고 중립성은 결과의 이름은 중요하지 않습니다.익명성과 중립성은 결정론적 사회적 선택 기능에 의해 항상 충족될 수 없다.예를 들어, 두 명의 유권자와 두 개의 대안 A 및 B가 있고 각 유권자가 다른 대안을 원하는 경우 익명 및 중립 혼합물은 1/2*A+1/2*B뿐입니다.따라서 혼합물의 사용은 기본적인 공정성 [3]: 1 특성을 보장하기 위해 필수적이다.

일관성 속성

다음 속성은 유권자 집합 또는 대안 집합의 변경과 관련이 있습니다.

Condorcet 일관성 - Condorcet 승자가 존재하는 경우 함수는 이 승자가 1이고 다른 승자가 0인 퇴화 혼합물을 반환합니다(즉, Condorcet 승자는 확률 1로 선택됨).

의제 일관성 - p를 혼합물로 하고 A, B를 p의 지지를 포함하는 대안의 집합으로 합니다.그런 다음 함수는 A 유니언 B에 대해 p를 반환하고 A와 B에 대해 p를 반환합니다.이 부동산은 [5][6][7]Sen에 의해 확장/축소라고 불렸다.

모집단 일관성 - 함수가 두 개의 분리된 유권자 집합에 대해 혼합 p를 반환하면 합계에 [8][9][10]대해 동일한 p를 반환합니다.

클론의 독립성(복제 일관성이라고도 함) - 모든 유권자가 다른 클론의 순위를 매길 수 있도록 "복제성" 대안이 있다면, 반환된 혼합물의 다른 모든 대안들의 무게(=확률)는 영향을 [10]받지 않는다.

  • 더 강력한 변형은 구성 일관성입니다. 또한 각 구성 요소에서 각 대안의 무게가 구성 요소를 분리하여 고려할 때 해당 중량에 비례해야 합니다.

이러한 속성은 중앙 플래너가 대안 분할, 대안 복제 또는 모집단 분할과 같은 간단한 조작을 수행할 수 없음을 보장합니다.

일관성 특성은 개별 대안의 순위에만 의존하며 혼합물의 순위가 필요하지 않습니다.

혼합 비교 속성

다음 특성에는 혼합물의 비교가 포함됩니다.정확히 정의하기 위해서는 유권자들이 혼합물의 순위를 어떻게 매기는지에 대한 가정이 필요하다.이것은 복권에 대한 확률적 순서를 요구한다.사회적 선택 이론에서 강도의 순서로 가장 일반적인 순서는 DD(결정론적 우위), BD(양원적 우위), SD(스토카스틱 우위), PC(쌍비교 우위)이다.정의 및 예는 확률적 순서를 참조하십시오.

효율성 - 어떤 혼합물도 적어도 한 명의 유권자에게 더 좋고 적어도 모든 유권자에게 더 좋은 것은 없습니다.DD 효율성, BD 효율성, SD 효율성, PC 효율성 및 사후 효율성을 정의할 수 있습니다(최종 결과는 항상 효율적입니다).

전략성 - 잘못된 선호도를 보고하는 것은 유권자에게 더 나은 혼합물로 이어지지 않습니다.DD 전략성, BD 전략성, SD 전략성 및 PC 전략성을 정의할 수 있습니다.

참여 - 참여를 자제하는 것이 유권자에게 더 나은 혼합으로 이어지지 않습니다.DD 참여, BD 참여, SD 참여 및 PC 참여를 정의할 수 있습니다.

공통 기능

무작위 사회적 선택을 위해 일반적으로 사용되는 [3]몇 가지 규칙은 다음과 같습니다.

무작위 독재 - 투표자는 무작위로 선택되고, 결과를 결정합니다.만약 선호도가 엄격하다면, 이것은 각 대안의 무게가 그것을 1순위로 매기는 유권자들의 숫자에 정확히 비례하는 혼합물을 산출한다.선호도가 약하고 선택된 유권자가 두 개 이상의 최선의 옵션 사이에 무관심할 경우, 두 번째 유권자가 무작위로 선택되고, 그 중 하나를 선택하게 됩니다.이 확장을 랜덤 시리얼 독재라고 합니다.사후 효율성, 강력한 SD 전략성, 매우 강력한 SD 참여, 의제 일관성 및 클로닝 일관성을 충족합니다.Condorcet 일관성, 구성 일관성 및 (취향성이 약한) 모집단 일관성에 실패했습니다.

Max Borda - Borda 카운트가 가장 큰 모든 대안의 가중치가 같고 다른 모든 대안의 가중치가 0인 혼합물을 반환합니다.즉, Borde 수상자 중 한 명을 무작위로 뽑는다(Borda 대신 다른 점수 함수를 사용할 수 있다).SD 효율성, 강력한 SD 참여 및 모집단 일관성은 충족되지만 전략성이나 기타 일관성은 충족되지 않습니다.

비례 Borda - 각 대안의 무게가 Borda 카운트에 비례하는 혼합물을 반환합니다.즉, 각 대안의 확률이 점수에 비례하는 모든 대안 사이에서 랜덤화됩니다(Borda 대신 다른 점수 함수를 사용할 수 있습니다).강력한 SD 전략성, 강력한 SD 참여 및 인구 일관성은 충족되지만 효율성이나 기타 일관성은 충족되지 않습니다.

최대 복권 - 대안의 쌍별 비교에 기초한 규칙.x, y 두 가지 대안에 대해 x보다 x를 선호하는 유권자 수와 y보다 y를 선호하는 유권자 수를 계산하고 M을 차분으로 합니다xy.결과 행렬 M을 과반수 여백 행렬이라고 합니다.혼합 p는 pT M 0 (\}M\ 0이라고 불린다.추첨으로 해석될 경우, 이는 예상 유권자 과반수에 의해 p가 다른 복권보다 약하게 선호됨을 의미한다(다른 복권 q에 의해 반환되는 대안을 선호하는 에이전트의 예상 수는 적어도 다음 중 하나와 같다).p)에 의해 반환된 에이전트보다 q에 의해 반환된 대체 에이전트를 선호하는 예상 에이전트 수.최대 복권은 Condorcet 당첨자의 연속적인 유사점이다.하지만 콘도르세트의 1등 당첨자는 존재하지 않을 수 있지만, 최대 복권은 항상 존재한다.이는 적절한 대칭형 2인용 제로섬 게임에 미니맥스 정리를 적용한 것으로부터 비롯된다.PC 효율성, DD 전략성, PC 참여 및 모든 일관성 속성, 특히 Condorcet 일관성을 충족합니다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ Aziz, Haris (2015-03-28). "Condorcet's Paradox and the Median Voter Theorem for Randomized Social Choice". Economics Bulletin. 35 (1): 745–749. ISSN 1545-2921.
  2. ^ Chatterji, Shurojit; Zeng, Huaxia (2018-05-01). "On random social choice functions with the tops-only property". Games and Economic Behavior. 109: 413–435. doi:10.1016/j.geb.2017.11.011. ISSN 0899-8256. S2CID 49677879.
  3. ^ a b c Felix Brandt (2017-10-26). "Roling the Dice: Recent Results in Probabilistic Social Choice". In Endriss, Ulle (ed.). Trends in Computational Social Choice. Lulu.com. ISBN 978-1-326-91209-3.
  4. ^ Pattanaik, Prasanta K.; Peleg, Bezalel (1986). "Distribution of Power under Stochastic Social Choice Rules". Econometrica. 54 (4): 909–921. doi:10.2307/1912843. ISSN 0012-9682. JSTOR 1912843.
  5. ^ Sen, Amartya K. (1971). "Choice Functions and Revealed Preference". The Review of Economic Studies. 38 (3): 307–317. doi:10.2307/2296384. ISSN 0034-6527. JSTOR 2296384.
  6. ^ Sen, Amartya (1977). "Social Choice Theory: A Re-Examination". Econometrica. 45 (1): 53–89. doi:10.2307/1913287. ISSN 0012-9682. JSTOR 1913287.
  7. ^ Sen, Amartya (1986-01-01). "Chapter 22 Social choice theory". Handbook of Mathematical Economics. 3: 1073–1181. doi:10.1016/S1573-4382(86)03004-7. ISBN 9780444861283. ISSN 1573-4382.
  8. ^ Smith, John H. (1973). "Aggregation of Preferences with Variable Electorate". Econometrica. 41 (6): 1027–1041. doi:10.2307/1914033. ISSN 0012-9682. JSTOR 1914033.
  9. ^ Young, H.P (1974-09-01). "An axiomatization of Borda's rule". Journal of Economic Theory. 9 (1): 43–52. doi:10.1016/0022-0531(74)90073-8. ISSN 0022-0531.
  10. ^ a b Fine, B.; Fine, K. (1974). "Social Choice and Individual Ranking I". The Review of Economic Studies. 41 (3): 303–322. doi:10.2307/2296751. ISSN 0034-6527. JSTOR 2296751.
  11. ^ Aziz, Haris (2016-11-08). "Participation Incentives in Randomized Social Choice". arXiv:1602.02174 [cs.GT].