양자 그래프

수학 및 물리학에서 양자 그래프는 각 가장자리에 길이가 주어지고 각 가장자리에 미분(또는 의사 차등) 방정식이 놓이는 가장자리(즉, 그래프)에 연결된 정점들의 선형적인 네트워크 모양의 구조다.예를 들어, 변압기 스테이션(수직)에 연결된 전원 라인(에지)으로 구성된 전원 네트워크가 그 다음, 미분 방정식은 각 라인을 따라 전압을 설명하며, 모든 에지 위에 추가된 전류가 각 정점에 0을 더하도록 인접 정점에 제공된다.

양자 그래프는 1930년대에 리너스 폴링이 유기 분자의 자유 전자 모델로 처음 연구했다.그것들은 또한 다양한 수학적 맥락에서 발생하는데, 예를 들어 양자 혼돈의 모델 시스템, 도파관 연구, 광 결정 및 앤더슨 국산화 연구, 또는 얇은 철사의 수축 한계로 나타난다.^[1]양자 그래프는 나노기술의 이론적 이해를 얻기 위해 사용되는 중경 물리학의 뛰어난 모델이 되었다.프리드먼 외 연구진은 양자 그래프의 보다 단순한 또 다른 개념을 도입했다.^[2]

양자 그래프에 제시된 미분방정식을 콘크리트 적용 목적으로 실제로 해결하는 것 외에도, 일반적으로 발생하는 질문은 제어 가능성(예를 들어, 시스템을 원하는 상태로 만들기 위해 입력이 제공되어야 하는 것, 예를 들어 전력망의 모든 가정에 충분한 전력을 제공하는 것)과 식별 가능성(방법)이다.그리고 시스템 상태에 대한 완전한 그림을 얻기 위해 무엇을 측정해야 하는 경우, 예를 들어 수도관망의 압력을 측정하여 누출 파이프가 있는지 여부를 결정해야 하는 경우).

미터법 그래프

A metric graph is a graph consisting of a set ${\displaystyle V}$ of vertices and a set ${\displaystyle E}$ of edges where each edge ${\displaystyle e=(v_{1},v_{2})\in E}$ has been associated with an interval ${\displaystyle [0,L_{e}]}$ so that ${\displaystyle$$x_{e}}$은 간격의 좌표이며, $꼭지점{\displaystyle {}_{}}$ v ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle v_{1$}은(는) x${\displaystyle {}_{}{e}_{}}$ = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle x_{e}=0$} 및$$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {v\mathrm{}}_{}}$ 2$${\$displaystyle v_{$2$$$}}$ ~ ${\displaystyle x_{}}$e = ${\displaystyle L_{}}$ e$${\$displaystystyle x_x_{e}=}=}=}$에 해당한다.$L_{e}}$ 또는$$ 그 반대.정점이 0에 위치하는 선택은 가장자리의 좌표 변화에 해당하는 대안으로 임의적이다.그래프는 자연적인 메트릭을 가지고 있다. 그래프의 ${\displaystyle 두}$ 점 $x{\displaystyle }$, y ${\displaystyle$ x$,y}$에 대해 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle (x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle \rho (x,y)}$은 그래프 가장자리를 따라 거리를 측정하는 가장 짧은 거리다$$.

그래프 열기: 결합 그래프 모델에서 에지는 항상 정점 쌍과 결합하지만 양자 그래프에서는 반무한 에지를 고려할 수도 있다.이들은 x ${\displaystyle e_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x_{e}=0}$의 단일 꼭지점에 부착된$$ ${\displaystyle \mathrm{간격}}$ $0,\displaystyle$ [0$,\infit )}$과 연관된 가장자리들이다$.$ 이러한 가장자리가 하나 이상 열린 그래프를 열린 그래프라고 한다.

양자 그래프

양자 그래프는 그래프의 함수에 작용하는 차등(또는 의사 차등) 연산자가 장착된 미터법 그래프다.메트릭 그래프의 함수$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) 간격의$$ $함수{\displaystyle {}_{}}$ f ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$) ${\displaystyle f_{e}(x_{e})$의 ${\displaystyle E}$ $displaystystyle E}$ -tuple로$$ 정의된다.그래프의 Hilbert 공간은${\displaystyle \underset{\in }{}}$ ${\displaystyle \underset{}{e}}$ ${\displaystyle {l\mathrm{}}^{}}$ E L 2${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ L ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \bigoplus _{e\in E}L^{2}([0,L_{e}])}}$이며, 여기서 두 기능의 내제품은 다음과 같다.

${\displaystyle \langle f,g\langle =\sum _{e\in E}\int _{0}^{L_{e}^{*(x_{e}}g)\,dx_{e}}$

${\displaystyle L_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\$은(는) 개방 에지의 경우 무한일 수 있다$$.미터법 그래프에서 측정 시스템의 가장 간단한 예는 라플라스 측정 시스템이다.가장자리에 있는 연산자는 -${\displaystyle d\frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2^{\mathrm{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{d{}_{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{}}_{}^{}}{}}$ 2 ${\$ {{$d}x_{e}^{2$}}: $여기$서 ${\displaystyle x_{}}$ e$${\$displaystyle x_{e}}}}$는 가장자리에$$ 있는 좌표다.오퍼레이터가 자체 승인하도록 하려면 적합한 도메인을 지정해야 한다.이것은 일반적으로 그래프 가장자리에 있는 함수의 Sobolev 공간 $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\$개를$$ 취하고 정점에 일치하는 조건을 지정함으로써 달성된다.

운영자가 스스로 적응하도록 하는 일치 조건의 사소한 예는 ${\displaystyle {모든}_{}}$ $에지$에 대한 디리클레 경계 조건,${\displaystyle \mathrm{f}}$ e ( ${\displaystyle 0_{}}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ( L${\displaystyle {}_{}{e}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f_{e}(0)=f_{e}(L_{e})=0}$이다.유한 에지의 고유함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle f_{e}(x_{e})=\sin \left({\frac {n\pi x_{e}}{L_{e}}}\오른쪽)}$

정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에$$대해. 무한 에지가 없이 그래프가 닫히고 그래프의 가장자리 길이가 합리적으로 독립된 경우 단일 그래프 에지에서 고유 기능이 지원되며 $고유값$이 ${\displaystyle \frac{{n\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{}}_{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{L_{}^{}}{}}${\$displaystyle {\n^{$2}\$pi$^{$2}}{{{{}}}}}}}}{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$L_{e}^{2$디리클레 조건에서는 구간 간의 상호작용을 허용하지 않으므로 스펙트럼은 분리된 가장자리 집합의 그것과 동일하다.

가장자리 사이의 상호작용이 가능한 보다 흥미로운 자가 적응 일치 조건은 Neumann 또는 자연 일치 조건이다.연산자 영역의 $함수$ f ${\displaystyle f}$은(는) 그래프의 모든 곳에서 연속적이며, 정점에서 나가는 파생상품의 합은 0이다.

${\displaystyle \sum _{e\sim v}f'(v)=0\ ,}$

where ${\displaystyle f'(v)=f'(0)}$ if the vertex ${\displaystyle v}$ is at ${\displaystyle x=0}$ and ${\displaystyle f'(v)=-f'(L_{e})}$ if ${\displaystyle v}$ is at ${\displaystyle x=L_{e}}$.

메트릭 그래프의 다른 연산자의 속성도 연구되었다.

• 여기에는 슈뢰딩거 운영자의 보다 일반적인 계층이 포함된다.

${\displaystyle \left(i{\frac {\textrm {d}{d}}{\textrm {d}x_{e}}}}+A_{e}(x_{e}\오른쪽)^{2}+V_{e}(x_{e})\,}$

여기서 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\$는 가장자리에 있는 "자기 벡터 전위"이고$$ $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\$는 스칼라 전위이다$$.

• 또 다른 예로는 전자와 같은 본질적인 각운동량의 반을 갖는 입자의 양자역학을 설명하는 벡터 값 함수에 작용하는 매트릭스 값 연산자인 그래프의 디락 연산자가 있다.
• 그래프의 디리클레-뉴만 연산자는 광결정 연구에서 발생하는 사이비 차등 연산자다.

정리

그래프에서 라플라스 연산자의 모든 자기 적응 일치 조건은 코스트리킨과 슈레이더의 계획에 따라 분류할 수 있다.실제로, 쿠치멘트가 도입한 형식주의를 채택하는 것이 더 편리한 경우가 많은데,^[3] 이를 통해 운영자가 변동 형태로 자동 산출된다.

$v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$을(를) 여기서 $나오는{\displaystyle }$d {\$displaystyle$d} 가장자리가$$ 있는 꼭지점이 되도록$$ 하십시오.단순성을 위해 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$에서 각 에지 모임에 대해$$ $v{\displaystyle }$ ${\$displaystyle v}이(가) $x{\displaystyle {}_{}}$ e${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x_{e}=0}$에 놓이도록 가장자리에 있는 좌표를 선택하십시오$.$ $그래프$의 함수 f$${\$displaystyle f}$에 대해

${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{e_{1}}(0),f_{e_{2}}(0),\dots ,f_{e_{d}}(0))^{T},\qquad \mathbf {f} '=(f'_{e_{1}}(0),f'_{e_{2}}(0),\dots ,f'_{e_{d}}(0))^{T}}$

$v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$의 일치 조건은 선형 방정식을 통해$$ 행렬 A ${\displaystyle A}$ 및 $B$ ${\displaystyle B}$ 쌍으로 지정할 수 있다$$.

${\displaystyle A\mathbf {f} +B\mathbf {f} '=\mathbf {0} .}$

일치 조건은 (${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B}$) ${\displaystyle (A,B)}$이(가) 최대 순위 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$을(를) 가지고$$ 있고 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle AB^{*}=BA^{*}.$$}$

유한 그래프 상의 라플라스 연산자의 스펙트럼은 코토스와 스밀란스키가 도입한 산란 행렬 접근법을 사용하여 편리하게 설명할 수 있다.^[4][5]가장자리의 고유값 문제는,

${\displaystyle -{\frac{d^{2}}:{dx_{e}^{2}}:f_{e}(x_{e})=k^{2}f_{e}(x_{e}).\,}$

그래서 가장자리에 있는 용액은 평면파의 선형 결합으로 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle f_{e}(x_{e})=c_{e}{\textrm{e}^{ikx_{e}+{\c}}{\textrm{e}^{-ikx_{e}}}}\,}$

여기서 시간 의존적인 Schrödinger 방정식 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$에서 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ $0$$}$ 및 $c$^ ${\$$c$$}$의 수신 평면 파동 계수임$.$$v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$의 일치 조건이 산란 행렬을 정의함$$

$(\displaystyle S(k)=-(A+ikB)^{-1}(A-ikB).\,}$

산란 행렬은 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$, c${\displaystyle }$= $S{\displaystyle \mathbf{}}$( ${\displaystyle k}$) ${\displaystyle c\stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\$에서 들어오고 나가는 평면파 계수의 벡터와 관련되어 있다$.$ 자가 적응 일치 조건 $S{\displaystyle }$ {\$displaystysty S}$는 단일하다$$.An element of ${\displaystyle \sigma _{(uv)(vw)}}$ of ${\displaystyle S}$ is a complex transition amplitude from a directed edge ${\displaystyle (uv)}$ to the edge ${\displaystyle (vw)}$ which in general depends on ${\displaystyle k}$. However, for a large class of matching 조건 S-매트릭스는 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$과(와) 독립적이다$.$ 예를 들어 Neumann 일치 조건의 경우

${\displaystyle A=\left({\begin{배열}{}ccccc 1&, -1&, 0&, 0&, \dots \\0&, 1&, -1&, 0&, \dots \\&,&\ddots, \ddots & &, \\0&, \dots &, 0&, 1&, -1\\0&, \dots &, 0&, 0&, 0\\\end{배열}}\right),\quad B=\left({\begin{배열}{cccc}0&, 0&, \dots, 0\\\vdots, \vdots & &,&\vdots \\0& &, 0&, \dots &am.p/&0\\1&, 1&, \dots &, 1\\\end{배열}}\right cm이다.}$

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 대한 방정식을 대체하면 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 독립적$$ 전환 진폭이 생성됨$$

${\displaystyle \sigma _{(uv)(vw)}={\frac {2}-{d}-\reason _{uw}\,}$

여기서 $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ w ${\$는 크론커 델타 함수로서$$ $u{\displaystyle }$= ${\displaystyle w}$ ${\displaysty u=w}$일 경우$$ 1이고 그렇지 않으면 0이다.전환 진폭에서 우리는 2 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{E}}$ $displaystyle$ 2 E$\time$ 2 E$}$ 행렬을$$ 정의할 수 있다.

${\displaystyle U_{{(uv)(lm)}=\delta _{vl}\sigma _{vl}}(vm){\textrm{e}^{ikL_{(uv)}}}\,}$

${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$은 본드 산란 행렬이라고 불리며 그래프에서 양자 진화 연산자로 생각할 수 있다.단일하며 그래프에 대한 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle E}$ $displaystyle$2 E$} 평면파$ 계수의 벡터에 작용한다. $여기$서 c(${\displaystyle u_{}}$v$){\$는 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$에서 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyty$ v$}$로 이동하는 평면파의 계수다$.$위상 $e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ (${\displaystyle {u_{}}^{}}$ v ) ${\$ {$e}^{ikL_{(uv)}}}$은 꼭지점 $u}$에서 $꼭지점$ v {\$displaystyle{\displaystyle }$ $v}(으)$로 전파할 때 평면파가 획득한 위상이다$.$

수량화 조건:그래프의 고유 기능은 연관된 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle E}$ $displaystyle$ 2 $E}$ 평면파$$ 계수를 통해 정의할 수 있다.고유함수는 양자 진화에 따라 정지해 있기 때문에 그래프의 정량화 조건은 진화 연산자를 사용하여 작성할 수 있다.

${\displaystyle U(k)-I =0.\,}$

고유값 $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$은(는) 행렬 $U{\displaystyle (k}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle U(k)}$이(가) 고유값을 갖는$$$k$ {\$displaystyle k}$의 값에서 발생한다$$.우리는 0 ${\displaystyle ⩽}$ ${\displaystyle {k\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {k\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\dots }$ …$${\$displaystyle$0\$leqslant k_{0}\leqslant k_{1}\leqslant \dots }$을(를) 가진 스펙트럼을 주문할 것이다$.$

그래프의 첫 번째 추적 공식은 로스(1983)에 의해 도출되었다.1997년에 Kottos와 Smilansky는 위의 정량화 조건을 사용하여 변환 진폭이 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 독립적일 때 그래프에서 라플라스 연산자에 대해 다음과 같은 추적 공식을 얻었다$.$추적 공식은 그래프의 주기적인 궤도와 스펙트럼을 연결한다.

$[\displaystyle d(k):=\sum _{j=0}^{\inflta (k-k_{j})}\delta={\frac {L}{\pi }}{1}{\pi }}}}{p}{p}{p}}{p}}}{p}}}}}cos(kL_{p}).}$

${\displaystyle d}$( ${\displaystyle k}$) ${\displaystyle d(k)}$을(를) 상태 밀도라고 한다$$.The right hand side of the trace formula is made up of two terms, the Weyl term ${\displaystyle {\frac {L}{\pi }}}$ is the mean separation of eigenvalues and the oscillating part is a sum over all periodic orbits ${\displaystyle p=(e_{1},e_{2},\dots ,e_{n})}$ on the graph.${\displaystyle L_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{e}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle \underset{}{p}}$ ${\displaystyle L_{}}$ ${\$는 궤도의 길이이며${\displaystyle }$L =${\displaystyle \underset{e}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}\underset{}{}}$e E ${\displaystyle L_{}}$ ${\$ L$=\sum _{e\in E}L_{e}}}}$는 그래프의 총 길이이다$$.더 짧은 원시 궤도를 반복하여 ${\displaystyle {생성}_{}}$된 궤도의 경우, $r{\displaystyle {}_{}}$ p ${\$은(는) 재분배 횟수를 카운트한다$$.${\displaystyle A_{p}=\sigma _{e_{1}e_{2}}\sigma _{e_{2}e_{3}}\dots \sigma _{e_{n}e_{1}}}$ is the product of the transition amplitudes at the vertices of the graph around the orbit.

적용들

양자 그래프는 나프탈렌과 같은 유기 분자의 자유 전자 스펙트럼을 모형화하기 위해 1930년대에 처음 사용되었다.첫 번째 근사치로는 원자가 정점인 반면 σ 전자는 자유 전자가 갇혀 있는 분자의 형태로 프레임을 고정하는 결합을 형성한다.

양자파괴를 고려할 때도 비슷한 문제가 나타난다.이것들은 나노미터의 넓이로 만들어진 메소스코픽 시스템이다.양자 도파관은 가장자리가 얇은 튜브인 살찐 그래프라고 생각할 수 있다.이 영역에서 라플라스 연산자의 스펙트럼은 특정 조건에서 그래프의 라플라스 연산자의 스펙트럼으로 수렴된다.중시경 시스템을 이해하는 것은 나노기술 분야에서 중요한 역할을 한다.

1997년^[6] 코토스와 스밀란스키는 고전적으로 혼란스러운 시스템의 양자역학인 양자 혼돈을 연구하기 위한 모델로 양자 그래프를 제안했다.그래프의 고전적 동작은 $엣지{\displaystyle }$ e ${\displaystyle e}$에서 $엣지{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle f}$까지 산란 확률은$$ 제곱한 양자 전환 진폭의 절대값인 ${\displaystyle e_{}}$ e ${\displaystyle {}^{}{}_{}{}^{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle 2_{}}${\$displaystyle \sigma _{ef} ^{2$ 거의 알에 대해유한한 연관 양자 그래프 확률론적 역학은 에르고딕적이며, 다시 말해서 혼란스럽다.

2, 3차원에 내장된 양자 그래프는 광결정 연구에 나타난다.^[7]2차원 광결정 모델은 공기로 채워진 세포들 사이에 좁은 인터페이스를 가진 밀집 유전체의 다각형 세포들로 구성된다.대부분 유전체에서 머무르는 유전체 모드를 연구하면 좁은 인터페이스를 따르는 그래프에 의사 차등 연산자가 생긴다.

$R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle 2^{\mathrm{}}}$ ${\$의 격자와 같은 주기적 양자 그래프는 주기적 시스템의 일반적인 모델이며$$, 양자 그래프는 장애가 있는 스펙트럼 대역의 가장자리에서 국부화 상태가 발생하는 앤더슨 현지화 현상 연구에 적용되었다.

참고 항목

• 가상의 양자 그래프 이론을 다룬 소설, 쉴드의 사다리
• 파인만 도표

참조