일반화 산술수열

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수학에서 일반화된 산술수열(또는 다중 산술수열)은 다중 공통 차이를 갖춘 산술수열의 일반화인 반면, 산술수열은 단일 공통 차이에 의해 생성되는 반면 일반화된 산술수열은 다중 공통 차이에 의해 생성될 수 있다.예를 들어, 순서 ${\displaystyle 17,}$ ${\displaystyle 20,}$ ${\displaystyle 22,}$ ${\displaystyle 23,}$ ${\displaystyle 25,}$ ${\displaystyle 26,}$ ${\displaystyle 27,}$ ${\displaystyle 28,}$ ${\displaystyle 29,}$ … ${\displaystyle 17,20,22,23,25,26,27,28,29,\dots }$은 산술적 추이 아니라$$ 17로 시작하고 3 또는 5를 추가함으로써 생성되므로 여러 가지 공통의 차이가 생성될 수 있다.반선형 집합은 이 사상을 다차원적인 것으로 일반화한다 - 그것은 정수의 집합이 아니라 정수의 벡터 집합이다.

유한일반산술수열

차원 d의 유한 일반화된 산술수열, 또는 때로는 그냥 일반화된 산술수열(GAP)은 형태 집합으로 정의된다.

${\displaystyle \{x_{0}+l_{1}x_{1}+\cdots +l_{d}x_{d):0\leq l_{1}<L_{d}}\ldots,0\leq l_{d}{d}}}.$

where ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{d},L_{1},\dots ,L_{d}\in \mathbb {Z} }$. The product ${\displaystyle L_{1}L_{2}\cdots L_{d}}$ is called the size of the generalized arithmetic progression; the cardinality of the set can differ from the size 집합의 일부 요소가 다중 표현을 갖는 경우.카디널리티가 크기와 같을 경우, 그 진행을 적정하다고 한다.일반화된 산술 진행은 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 고차원 그리드의 투영으로 생각할 수 있다$.$ 이 투영은 일반화된 산술 진행이 적절한 경우에만 주입된다.

반선형 집합

Formally, an arithmetic progression of ${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$ is an infinite sequence of the form ${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {v} +\mathbf {v} ',\mathbf {v} +2\mathbf {v} ',\mathbf {v} +3\mathbf {v} ',\ldots }$, where ${\displaystyle \mat$$hbf {v}$과$($와) $v{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$은(는) $N{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ d ${\$의 고정 벡터로서$,$ 각각 초기 벡터와 공통 차이라고 불린다.$N{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 부분집합은 형태일 경우 선형이라고 한다$$.

${\displaystyle \left\{\mathbf {v} +\sum _{i}^{m_{i}\{v}\{v}\{i}\{i}\colon \,\colon \}\dots,k_{m}\mattheb {N}\right\}}}}}}}}}}}}}$

where ${\displaystyle m}$ is some integer and ${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{m}}$ are fixed vectors in ${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$. A subset of ${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$ is said to be semilinear if it is a finite union of 선형 집합

반선형 집합은 정확하게 Presburger 산술에서 정의할 수 있는 집합이다.^[1]

참고 항목

• 프리만의 정리

참조

• Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: Inverse Problems and Geometry of Sumsets. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 165. Springer. ISBN 0-387-94655-1. Zbl 0859.11003.