경로 순서 지정

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이론 물리학에서 경로 순서는 선택된 매개변수의 값에 따라 연산자의 제품을 명령하는 절차(또는 메타 연산자 $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이다.

${\displaystyle {\mathcal {P}\왼쪽\{O_{1}(\sigma _{1})O_{2}(\sigma _{2})\cdots O_{N}(\sigma _{N}\right\}\equiv O_{p_{1}}(\sigma _{p_{1}:{1})O_{p_{2}}(\sigma _{p_{2}})\cdots O_{p_{N}}(\sigma _{p_{N}}).}$

여기서 p는 값을 기준으로 매개변수를 정렬하는 순열이다.

${\displaystyle p:\{1,2,\dots,N\}\to \{1,2,\dots,N\}}\to \{1,2,\dots,N\}}}}$

${\displaystyle \sigma _{p_{1}}\leq \sigma _{p_2}}\leq \cdots \leq \sigma _{p_{N}}}}}$

예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathcal {P}\왼쪽\{O_{1}(4)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{4}(1)\right\}=O_{4}(1)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{1}(4)}$

예

만약 연산자가 단순히 상품으로 표현되는 것이 아니라 다른 연산자의 함수로서 표현되는 것이라면, 우리는 우선 이 기능의 테일러 확장을 수행해야 한다.윌슨 루프가 게이지 연결부의 홀로노미를 암호화하는 것을 보장하기 위해 경로 순서형 지수(path-ordered index)로 정의되는 윌슨 루프의 경우다.순서를 결정하는 파라미터 σ은 윤곽선을 설명하는 파라미터로, 윤곽선이 닫히기 때문에 게이지 인바리어스가 되기 위해서는 윌슨 루프를 트레이스로 정의해야 한다.

시간순서

양자장론에서는 연산자의 시간순 산물을 취합하는 것이 유용하다.이 $연산$은 T$${\$displaystyle${\$mathcal {T}$이(가)$$표시한다.($T{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\${\$mathcal {T}$은(는) 흔히 "시간 순서 연산자"라고 부르지만$$ 엄밀히 말하면 주(州)의 연산자도, 연산자의 슈퍼 오퍼레이터도 아니다)

스페이스타임 위치 x와 y에 의존하는 두 연산자 A(x)와 B(y)에 대해 다음을 정의한다.

${\displaystyle {\mathcal {T}\왼쪽\{A(x)B(y)\오른쪽\:={\begin{case}A(x)B(y)&{\text{}}}}\tau _{x}\tau _{x}\pm B(y)A(x)&#text{}}}}}}}}{\text}}}\end{case}}}$

여기서 $\tau {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$ 및 ${\displaystyle {\tau }_{}}$ y ${\$는 점 x와 y의 불변 스칼라 시간 좌표를 나타낸다$$.^[1]

분명히 우리는 가지고 있다.

${\displaystyle {\mathcal {T}\왼쪽\{A(x)B(y)\오른쪽\:=\tau(\tau _{x}-\tau_{y}A(x)B(y)\pm \tau(\tau _{y}-\tau _{x}B(y)A(x),}$

여기서 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta$}은(는) Hubiside 스텝 함수를 나타내며$$${\displaystyle }$± ${\displaystyle \pm }$은 운영자가 자연적으로 보소닉인지 페르미온인지에 따라 달라진다$$.만약 보소닉이라면, 그 다음, + 부호는 항상 선택되고, 페르미오닉이라면, 그 부호는 적절한 시간 순서를 달성하기 위해 필요한 연산자 상호 교환의 수에 따라 달라질 것이다.통계적 요인은 여기에 입력되지 않는다는 점에 유의하십시오.

운영자들은 스페이스타임(즉, 시간만이 아니라)에서의 위치에 의존하기 때문에, 이 시간 순서 운영은 공간과 같은 분리된 지점에 있는 운영자들이 통근하는 경우에만 독립적으로 조정된다.$t{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 보통 시간 간격 점의 좌표 의존적 시간 유사 지수를 나타내기 때문에 t ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ t_${0}$이 아닌$$$$usually {\$displaystystyle \tau }$을(를) 사용할 $필요$가 있는 이유다.시간 순서는 일반적으로 시간 인수가 오른쪽에서 왼쪽으로 증가하면서 작성된다는 점에 유의하십시오.

일반적으로 n개 필드 연산자 A₁(t_1n), ……. A(t_n) 연산자의 시간순 산물은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\begin{aigned}{\mathcal {T}\{A_{1}(t_{1})A_{2}(t_{2})\cdots A_{n}(t_{n})\}\\sum _{p}\{p_{1}:{p_{1}}t_{2}}:\cdots >t_{p_{n}}}\varepsilon (p)A_{p_{1}(t_{p_{1})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})\\&=\sum _{p}\left(\prod _{j=0}^{N-1}\theta (t_{p_{j}}-t_{p_{j+1}})\right)\varepsilon (p)A_{p_{1}(t_{p_{1})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})\end{aigned}}}}$

합계가 p의 전체와 n도 순열의 대칭 그룹에 걸쳐 분포하고

${\displaystyle \varepsilon (p)\equiv {\case}1&{\text{boson 연산자의 경우,}\\\text{permionic 연산자의 경우}&{\text{premution}&\text{permionic 연산자의 경우.}}}\end{case}}$

양자장 이론의 S-매트릭스는 시간 순서가 정해진 제품의 예다.t = -matrix의 상태를 t = +matrix의 상태로 변환하는 S매트릭스도 윌슨 루프와 유사한 일종의 '홀로니'로 생각할 수 있다.우리는 다음과 같은 이유로 시간 순서가 정해진 표현을 얻는다.

우리는 기하급수적인 것에 대한 간단한 공식으로 시작한다.

${\displaystyle \exp h=\lim _{N\to \inflt }\왼쪽(1+{\frac {h}{N}\오른쪽)^{N}}}$

자 이제, 이 비전문 진화 연산자를 생각해 봅시다.

${\displaystyle S=\cdots(1+h_{+3})(1+h_{+2})(1+h_{0})(1+h_{-1})(1+h_{-1})(1+h_{-2})\cdots }}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 $1{\displaystyle \mathrm{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 최소 시간 ${\displaystyle \mathrm{간격}}$[j $[{\displaystyle }$ , ${\displaystyle (j}$+${\displaystyle 1}$) $]$ {\$displaystyle [j\varepsilon$ , $(j+1)\varepsilon$ $]\}\}$에 대한 진화 연산자다.상위 주문 용어는 제한 $\epsilon {\displaystyle }$→ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$에서 무시될 수 있다$.$연산자 ${\displaystyle h_{}}$ ${\$는 다음과$$ 같이 정의된다.

${\displaystyle h_{j}={\frac {1}{i\hbar }}\int _{j\barespsilon }^{(j+1)\varepsilon }\,dt\int d^{3}x\,H({\vec {x},t)}$

"과거" 시간 간격에 걸친 진화 연산자는 제품의 오른쪽에 나타난다는 점에 유의하십시오.우리는 그 공식이 기하급수적으로 만족한 위의 정체성과 유사하다고 보고, 우리는 글을 쓸지도 모른다.

${\displaystyle S={\mathcal {T}}\exp \left(\sum _{j=-\infty }^{\infty }h_{j}\right)={\mathcal {T}}\exp \left(\int dt\,d^{3}x\,{\frac {H({\vec {x}},t)}{i\hbar }}\right).}$

상기 S를 정의하는 제품의 요소도 시간 순서가 정해져 있었고(및 연산자는 일반적으로 통근하지 않기 때문에) $연산자{\displaystyle \mathcal{}}$ T ${\$$displaystyle {\mathcal${$T}$은(는) 이 주문이 유지되도록 보장했기$$$$ 때문에 우리가 포함시켜야 했던 유일한 미묘함은 시간 순서 $연산자{\displaystyle \mathcal{}}$ T$${\$displaystyle${\$mathcal}$이었다.}

참고 항목

• 순서 지수(본질적으로 동일한 개념)
• 게이지 이론
• S 매트릭스

참조