네반린나 함수

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수학에서, 복잡한 분석의 분야에서, 네반린나 함수는 열린 상부 ${\displaystyle 반평면\mathcal{}}$ H $displaystyle \,{\mathcal{H}\}$의 분석 함수인 복합함수로, 음이 아닌 가상의 부분을 가지고 있다.네바린나 함수는 상부 하프 평면을 자기 자신 또는 실제 상수에 매핑하지만 반드시 주입하거나 허탈하지는 않는다.^[1]이 속성을 가진 기능을 헤르글로츠, 픽 또는 R 함수라고도 한다.

적분표현

Nevanlinna 함수 N은 모든 표현을 허용한다.

${\displaystyle N(z)=C+Dz+\int _{\mathbb {R} }{\bigg (}{\frac {1}{\lambda -z}}-{\frac {\lambda }{1+\lambda ^{2}}}{\bigg )}\operatorname {d} \mu (\lambda ),\quad z\in {\mathcal {H}},}$

여기서 C는 실제 상수, D는 음이 아닌 상수, $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) 상부 반평면, μ는 성장 조건을 만족하는 ℝ에 대한 보렐 측정값이다.

${\displaystyle \int _{\mathb {R}{\frac {\operatorname {d} \mu(\lambda ){1+\lambda ^{2}}<\inflotty .}$

반대로, 이 형태의 모든 기능은 네바린나 함수로 판명된다.이 표현에서 상수는 다음을 통해 함수 N과 관련이 있다.

${\displaystyle C=\re {\big (}N(i){\big )}\qquad {\text{ 및 }\qquad D=\lim_{y\rightarrow \inflit }{\frac {N(iy)}}{iy}}}$

보렐 측정 μ는 Styeltjes 반전 공식(Styeltjes 변환용 반전 공식과 관련)을 사용하여 N에서 복구할 수 있다.

${\displaystyle \mu {\big (}(\lambda _{1},\lambda _{2}]{\big )}=\lim _{\delta \rightarrow 0}\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {1}{\pi }}\int _{\lambda _{1}+\delta }^{\lambda _{2}+\delta }\Im {\big (}N(\lambda +i\varepsilon ){\big )}\operatorname {d} \lambda .}$

함수의 매우 유사한 표현을 포아송 표현이라고도 한다.^[2]

예

Nevanlinna 함수의 일부 기본적인 예는 다음과 같다(처음 세 가지에서 적절하게 선택한 분기 절단).(${\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$은(는) 실제 번호 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$에 대해 ${\displaystyle z}$- ${\displaystyle z-a}$로 교체할 수 있음$$)$$

• ${\displaystyle z^{p}{\text{{}, }0\leq p\leq 1} 포함$

• ${\displaystyle -z^{p}{\text{{}, }-1\leq p\leq 0} 포함$

이것들은 주입식이지만 p가 1 또는 -1과 같지 않을 때는 돌출적이지 않으며, 원점 ${\displaystyle \mathrm{주변}}$에서 어느 ${\displaystyle \mathrm{정도}}$ 회전할 수 있다${\displaystyle .}$ $예$를 들어, i ( z / i${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle \text{p}}$는${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \le }$ p ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ i$(z/i)^{p}~{}~}~1-1\leq p\leq$1$.\}.$

• $f{\displaystyle }$(${\displaystyle }$${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \ln(z)}$의 시트(${\displaystyle 예:}$ f ( 1 ) = 0 ${\displaystyle$ f$(1)=0$

• ${\displaystyle \mathrm{태닝}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \tan(z)}($주입은 아니지만 돌출적인 예).

• 뫼비우스의 변신

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}}$

is a Nevanlinna function if (sufficient but not necessary) ${\displaystyle {\overline {a}}d-b{\overline {c}}}$ is a positive real number and ${\displaystyle \Im ({\overline {b}}d)=\Im ({\overline {a}}c)=0}$. This is equivalent to the set of such transformations that map the rea나는 그 자체로 축을 맞춘다.그런 다음 상부 하프 평면에 상수를 추가하고 폴을 하부 하프 평면으로 이동하여 매개변수에 대한 새로운 값을 제공할 수 있다.예: $i{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{z}{}}$+ ${\displaystyle \frac{i}{}}$ -${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{z}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$+ ${\displaystyle \frac{i}{}}$ ${\$

• ${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle i}$+ z ${\displaystyle 1+i+z}$ 및 $i$ + e ${\displaystyle z^{}}$ ${\$이(가) 전체 기능인 예들이다.두 번째는 주입도 아니고 허탈도 아니다.
• S가 힐버트 공간의 자체 적응 연산자이고 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 임의 벡터인 경우 함수

${\displaystyle \langle (S-z)^{-1}f,f\angle }$

네바린나 함수야

• $M{\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle M(z)}$과 $N{\displaystyle (z)}$ ${\displaystyle N(z)}$이(가) 모두 네바린나 함수인$$ 경우, $구성$ ${\displaystyle M(}$ N${\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$)${\$ M${\n(z){\big )}$도 네바린나 함수인$$ 것이다.

참조

일반

• Vadim Adamyan, ed. (2009). Modern analysis and applications. p. 27. ISBN 3-7643-9918-X.
• Naum Ilyich Akhiezer and I. M. Glazman (1993). Theory of linear operators in Hilbert space. ISBN 0-486-67748-6.
• Marvin Rosenblum and James Rovnyak (1994). Topics in Hardy Classes and Univalent Functions. ISBN 3-7643-5111-X.