n! 추측

수학에서 n! 추측이란 대각선 고조파들의 어떤 2단계 모듈의 치수가 n!이라는 추측이다.그것은 A. M. Garsia와 M에 의해 만들어졌다. 하이만과 후에 M에 의해 증명되었다. 하이만.그것은 맥도날드 다항식들에 대한 맥도날드의 긍정의 추측을 암시한다.

제형과 배경

맥도날드 다항식 $P_{\lambda }$ ${\$ 은 이안 G. 맥도날드(1987년)가 도입한 루트 시스템의 양중량 λ에 의해 지수화된 직교 다항식 2모수 계열이다 $P_{\lambda }$ .그들은 잭 다항식 및 홀-리틀우드 다항식 같은 직교 다항식의 다른 여러 가족을 일반화한다.이들은 악플러 헤케 알헤브라와 힐버트 계략과 깊은 관계를 맺고 있는 것으로 알려져 있는데, 맥도날드가 이들에 대해 여러 가지 추측을 하는 데 이용되었다.

맥도날드(1988)는 매개변수 q와 t를 적절히 대체함으로써 대칭함수의 잘 알려진 많은 기초에 특화된 대칭함수의 공간에 대한 새로운 기준을 도입했다.

사실, 우리는 이러한 방식으로 슈르 함수, 홀-리틀우드 대칭 함수, 잭 대칭 함수, 영역 대칭 함수, 영역 구형 함수, 그리고 초 및 단항 대칭 함수를 얻을 수 있다.

소위 Q,t-Kostka 다항식은 결과 전이 행렬의 계수다.맥도날드는 그것들이 q와 t 단위의 다항식이며, 음이 아닌 정수 계수를 가지고 있다고 추측했다.

긍정을 증명하기 위해 적절한 모듈을 건설하는 것이 Adriano Garsia의 생각이었다(Kostka–의 Schur positivity에 관한 이전 프로세시와의 공동 작업에서 그랬던 것처럼).파울크스 다항식).

가시아&하이만(1993)은 맥도날드의 추측을 증명하기 위해 대칭집단의 대각선 작용 아래 대각선 고조파 모듈 $H_{\mu }$ H ${\$ 를 2단계 모듈로 나누어 소개하고 (수정) 맥도날드 다항식이 H의_μ 캐릭터 생성 기능의 프로베니우스 이미지라고 추측했다.

맥도날드의 추측에 대한 증거는 그때 n! 추측으로, 즉 H의_μ 차원이 n!이라는 것을 증명하기 위해 축소되었다.2001년에 Haiman은 차원이 n!이라는 것을 증명하였다([4] 참조).

이러한 돌파구는 많은 숨겨진 연결과 대칭군 대표이론의 새로운 측면뿐만 아니라 결합형 객체(예: 삽입표, 해글런드의 반전 번호, 대표이론에서 주차기능의 역할)의 발견으로 이어졌다.

Garsia, A. M.; Procesi, C. (1992). "On certain graded S_n-modules and the q-Kostka polynomials". Advances in Mathematics. 94 (1): 82–138. doi:10.1016/0001-8708(92)90034-I.
Garsia, A. M.; Haiman, M. (1993). "A graded representation model for the Macdonald polynomials". Proceedings of the National Academy of Sciences. 90 (8): 3607–3610. doi:10.1073/pnas.90.8.3607. PMC 46350. PMID 11607377.
Garsia, A. M.; Haiman, M. "Orbit Harmonics and Graded Representations, Research Monograph". {{cite journal}}: Cite 저널은 (도움말) Lab. de에 의해 발행된 컬렉션의 일부로 나타나도록 요구한다.S. Brlek, U. du Québec á Montréal이 편집한 Comp. et Informatique Mathématique.
Haiman, M. (2001). "Hilbert schemes, polygraphs, and the Macdonald positivity conjecture". Journal of the American Mathematical Society. 14 (4): 941–1006. doi:10.1090/S0894-0347-01-00373-3.
Macdonald, I. G. (1988). "A new class of symmetric functions". Séminaire Lotharingien de Combinatoire. Publ. I.R.M.A. Strasbourg. 20: 131–171.