뮬러-슈프 정리

수학에서 Muller-Schupp 정리에서는 G가 사실상 자유로운 경우에만 미세하게 생성된 그룹 G는 문맥 없는 단어 문제가 있다고 기술한다.이 정리는 1983년 데이비드 뮬러와 폴 슈프에 의해 증명되었다.^[1]

그룹에 대한 단어 문제

G는 유한 마크 생성 집합 X와 ${\displaystyle \mathrm{함께}}$ 집합 $X$인 세트로, 부분 집합${\displaystyle }$${\displaystyle (}$ ( $X{\displaystyle }$) $)$ ( X )${\displaystyle }$⊆ ( X )$⊆$ ${\displaystyle G}$ {\$displaystyle$$$\$pi$$$:X$\to$ G$}$와 함께 세팅 X인 세트로 세팅된 그룹이다.Let ${\displaystyle \Sigma _{X}:=X\sqcup X^{-1}}$ be the group alphabet and let ${\displaystyle \Sigma _{X}^{\ast }}$ be the free monoid on ${\displaystyle \Sigma _{X},}$ that is ${\displaystyle \Sigma _{X}^{\ast }}$ is the set of all words (including the empty word알파벳 $\sigma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$을(를) 위에 표시하십시오$.$The map ${\displaystyle \pi :X\to G}$ extends to a surjective monoid homomorphism, still denoted by ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle \pi :\Sigma _{X}^{\ast }\to G}$. The word problem ${\displaystyle {\mathcal {W}}(G,X)}$ of G with respect to X is defined as

${\displaystyle {\mathcal{W}(G,X):=\{w\in \Sigma _{X}^{}\ast }\mid \pi(w)=e{\text{{}}}$

여기서 $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e\in G}$은(는) G의 ID 요소다.

That is, if G is given by a presentation ${\displaystyle G=\langle X\mid R\rangle }$ with X finite, then ${\displaystyle {\mathcal {W}}(G,X)}$ consists of all words over the alphabet ${\displaystyle X\sqcup X^{-1}}$ that are equal to ${\displaystyle e}$ in G.

가상 자유 그룹

G그룹은 G에 유한지수 H의 하위그룹이 존재하여 H가 자유집단에 이형성이 있는 경우 사실상 자유집단이 된다고 한다.G가 미세하게 생성된 가상 자유 그룹이고 H가 G에서 유한 지수의 자유 부분군이라면 H 자체가 미세하게 생성되어 H가 유한한 등급이 된다.사소한 집단은 0등급을 자유집단으로 보고, 따라서 모든 유한집단은 사실상 자유집단으로 본다.

Bass-Serre 이론의 기본적인 결과는 G가 유한집단의 유한집단의 기본집단으로 분할될 경우에만 미세하게 생성된 G집단은 사실상 자유롭다고 말한다.^[2]

뮬러-슈프 정리의 정밀한 진술

뮬러-슈프 정리의 현대적 공식은 다음과 같다.^[3]

G는 유한 표시 생성 세트 X를 가진 정밀하게 생성된 그룹이다.그러면 G는 $W{\displaystyle \mathcal{}}$(${\displaystyle G}$, X${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathcal {W}(G,X)}$이(가) 문맥이 없는 언어인$$ 경우에만 사실상 자유롭다.

증거의 스케치

이 절의 박람회는 뮬러와 슈프의 1983년 원본 증거를 따른다.^[1]

G가 $문제{\displaystyle \mathcal{}}$ W(G${\displaystyle }$, X${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathcal {W}(G,X)}$이라는 단어가 문맥이 없는 언어일 정도로 생성 집합 X가 유한한 그룹이라고 가정하자.먼저 G의 모든 미세 생성 부분군 H에 대해 정확하게 나타낼 수 있고 H의 모든 유한 마크 생성 집합 Y에 대해 문제 $W{\displaystyle \mathcal{}(H}$, Y$){\displaystyle {\mathcal{W}(H,Y)})$라는 단어 또한 문맥이 없다는$$ 것을 관찰한다.특히, 정밀하게 생성된 집단의 경우 문맥 단어 문제가 있는 특성은 집단에 대해 유한한 마크 생성 집합의 선택에 따라 달라지지 않으며, 그러한 집단은 정밀하게 나타낼 수 있다.

Muller and Schupp then show, using the context-free grammar for the language ${\displaystyle {\mathcal {W}}(G,X)}$, that the Cayley graph ${\displaystyle \Gamma (G,X)}$ of G with respect to X is K-triangulable for some integer K>0.$이것$은 means${\displaystyle }$(${\displaystyle G}$, X$){\displaystyle \Gamma (G,X)}$의 모든 폐쇄된 경로가 여러 개의 ``다이어곤"을 추가함으로써 모든 삼각형의 라벨이 X에 대한 최대 K 길이 G의 관계인 삼각형으로 분해될 수 있다는$$ 것을 의미한다.

그런 다음 그들은 Cayley 그래프의 이 삼각형성 특성을 사용하여 G가 유한한 그룹인지 또는 G가 둘 이상의 끝을 가지고 있다는 것을 보여준다.Hence, by a theorem of Stallings, either G is finite or G splits nontrivially as an amalgamated free product ${\displaystyle G=A\ast _{C}B}$ or an HNN-extension ${\displaystyle G=A\ast _{C}}$ where C is a finite group.그러면 $A{\displaystyle }$, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A,B}$은(는) 다시 문맥이 없는 단어 문제가 있는 정밀하게 생성된 그룹으로$$, 앞의 모든 주장을 그들에게 적용할 수 있다.

G는 미세하게 나타낼 수 있고 따라서 접근하기 쉽기 때문에,^[4] 이 주장을 반복하는 과정은 결국 유한한 그룹으로 종료되며, 유한한 꼭지점과 가장자리 그룹을 가진 유한한 그룹의 기본 그룹으로 G의 분해를 생성한다.Bass-Serre 이론의 기본적인 결과에 의해 G는 사실상 자유롭다는 것을 따른다.

뮬러-슈프 정리의 역방향은 더욱 직설적이다.G가 미세하게 생성된 가상 자유 그룹이라면, G는 N이 유한한 순위 자유 그룹이라는 유한 지수 정규 부분군 N을 인정한다.뮬러와 슈프는 이 사실을 사용하여 G가 문맥이 없는 단어 문제를 가지고 있는지 직접 검증한다.

발언 및 추가 개발

• 뮬러-슈프 정리는 1971년 아니시모프의 광범위한 일반화로서, 유한 마크 생성 집합 X를 가진 미세하게 생성된 그룹 G의 경우 문제 $W{\displaystyle \mathcal{}(G,}$ X${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathcal{W}(G,X)}$라는 단어는 G군이 유한한 경우에만 정규어라고 기술하고 있다.^[5]
• 1983년 뮬러·슈프 논문이 발표되었을 당시, 정밀하게 제시된 집단의 접근성은 아직 확립되지 않았다.따라서 뮬러-슈프 정리의 원래 공식화에서는 이 그룹에 접근할 수 있고 문맥이 없는 단어 문제가 있는 경우에만 정밀하게 생성된 그룹이 사실상 자유롭다고 하였다.1985년 Dunwoody의 논문은 모든 정밀하게 제시된 그룹들이 접근할 수 있다는 것을 증명했다.^[4]문맥 없는 단어 문제가 있는 정밀하게 생성된 그룹은 정밀하게 제시될 수 있기 때문에, 던우디의 결과는 원래의 뮬러-슈프 정리와 함께 정밀하게 생성된 그룹이 문맥 없는 단어 문제가 있는 경우에만(이것은 뮬러-슈프 정리의 현대적 공식화) 사실상 자유롭다는 것을 암시한다.
• 1983년 Linnell 논문은 유한 부분군의 순서가 경계인 정밀하게 생성된 집단의 접근성을 확립했다.린넬의 결과가 원래의 뮬러-슈프 정리와 함께 던우디의 결과를 사용할 필요 없이 뮬러-슈프 정리의 현대적 진술을 도출하기에 충분하다는 것이 나중에 관찰되었다( 참조).
• 비틀림 없는 집단의 경우 접근성 결과가 필요 없고, 대신 그뤼시코 정리를 자유상품의 등급에 대해 사용하므로 상황은 단순화된다.이 설정에서, 원래의 뮬러와 슈프 논문에서 지적한 바와 같이,^[1] 뮬러-슈프 정리는, 이 그룹이 자유롭다면, 그리고 오직 이 그룹이 자유롭다면, 문맥 없는 말 문제가 있다고 말한다.^[1]
• 후속 관련 논문에서 뮬러와 슈프는 ``이 푸시다운 자동화의 전환 그래프인 경우에만 ``완전히 생성된" 그래프 γ이 최종 이형성 유형을 갖는다는 것을 증명했다.^[8]그 결과, 그들은 ``콘텍스트 프리" 그래프(실제로 자유로운 집단의 케이리 그래프와 같은)의 단색 이론이 해독이 불가능하다는 것을 보여주며, 이항 트리에 대한 라빈의 고전적인 결과를 일반화한다.<sup>[9]</sup>후에 쿠스케와 로레이는<sup>[10]</sup> 사실상 자유로운 그룹이 케이리 그래프가 해독 가능한 단색 이론을 가진 유일한 집단이라는 것을 증명했다.
• 브리슨과 길먼은<sup>[11]</sup> 뮬러-슈프 정리를 적용하여 정확히 생성된 집단이 ``방과 같은" 집단을 인정한다는 것을 보여 주었다.

• 세니제게스는 뮬러-슈프 정리를 사용하여 정밀하게 생성된 가상 자유 집단에 대한 이형성 문제가 원시적 재귀성이라는 것을 보여주었다^[12].
• Gilman, Hermiller, Holt, Rees는 G에 대한 유한 생성 집합 X와 X에 대한 유한한 길이축소 재작성 규칙의 집합이 존재하는 경우에만 미세하게 생성된 G 그룹은 사실상 자유롭다는 것을 증명하기 위해 Muller-Schupp 정리를 사용했다.^[13]
• 체케리니-실버슈타인과 웨스는 H의 요소를 나타내는$$ 알파벳 ${\displaystyle {\sigma }_{}}$ X ${\$에 모든 단어 세트가 문맥 없는 언어인 유한 생성 집합 X와 G의 부분군 K를 사용하여 정밀하게 생성된 그룹 G의 설정을 고려한다.^[14]
• 뮬러-슈프 정리의 설정을 일반화하면서, Brough는 폴리-콘텍스트 없는 단어 문제를 가진 그룹을 연구했는데, 여기서 문제라는 단어는 아주 많은 문맥이 없는 언어의 교차점이다.폴리-콘텍스트-프리 그룹들은 정밀하게 생성된 모든 그룹을 포함하며, 브로는 모든 폴리-콘텍스트-프리 그룹이 이러한 방식으로 발생한다고 추측했다.체케리니-실버슈타인, 쿠오르나르트, 피오렌지, 슈프, 투이칸은 문맥이 없는 언어의 모든 유한한 교차를 정확하게 수용하는 비결정론적 자동인 다량 자동화의 개념을 도입했다.그들은 또한 브루에 대한 위의 추측에 유리한 중요한 증거를 제공하는 결과를 얻었다.
• 니버그-브로드다는^[17] 뮬러-스쿱의 정리를 집단에서 ``특수 모노이드"로 일반화했는데, 이는 문맥이 없는 단어 문제를 가진 그러한 세미그룹을 사실상 자유로운 최대 하위그룹으로 정확하게 특징짓고 있다.
• 1983년 뮬러와 슈프프의 논문 이후, 여러 저자들이 뮬러-슈프 정리에 대한 대체 또는 단순화된 증거를 입수했다.^[18][14][3]

참고 항목

• 무한 트리 오토매틱
• 단어 문제(수학)
• 격식어

참조

외부 링크

• 문맥이 없는 집단과 그 구조수, 아르민 웨이의 해설