모세르-데 브루옌 수열

수 이론에서, Moser-De Bruijn 수열은 Leo Moser와 Nicolaas Govert de Bruijn의 이름을 딴 정수열로, 4의 구별되는 힘의 합으로 구성되거나, 균등한 위치에서만 이항 표현이 0이 아닌 숫자로 구성된다.

이 숫자는 제곱수에 비례하여 증가하며, 운반하지 않고 산술의 변형된 형태를 위한 제곱이다.두 개의 이중 시퀀스 멤버가 사각형으로 다른 것은 없으며, 모든 비 음의 정수는 시퀀스 멤버와 이중 시퀀스 멤버의 합으로 고유한 표현을 가지고 있다.이 합으로 분해하는 것은 정수 쌍과 정수 쌍 사이의 편차를 정의하고, Z 순서 곡선에 대한 좌표를 정의하며, 간단한 소수 표현으로 초월 숫자의 역쌍을 구성하는 데 사용될 수 있다.

단순한 재발관계로 모세르-데 브루옌 수열의 값을 이전 값에서 계산할 수 있으며, 모세르-데 브루옌 수열이 2-정규 수열임을 증명하는 데 사용할 수 있다.

예

모세르 드 브뤼옌 순서가 시작된다^[1].

예를 들어, 69는 이 순서에 속하는데, 이는 64 + 4 + 1과 같기 때문이며, 이는 3개의 뚜렷한 힘인 4의 합이다.

이진 및 관련 표현

Moser-De Bruijn 시퀀스의 또 다른 정의는 짝수 위치에서만 0이 아닌 숫자를 이진법으로 나타내는 순서가 된다는 것이다.예를 들어, 69는 이진 표현 1000101은₂ 2, 2⁶², 2, 2의⁰ 위치에 0이 아닌 자릿수를 가지며, 모두 짝수 지수를 가지기 때문에 시퀀스에 속한다.시퀀스의 숫자는 또한 기본 4 표시가 숫자 0 또는 1만 사용하는 숫자로 설명될 수 있다.^[1]이 시퀀스의 숫자에 대해, 베이스-4 표현은 홀수 위치의 이진수를 건너뛰면 이진수 표현에서 찾을 수 있으며, 모두 0이어야 한다.이 숫자의 16진수 표현은 0, 1, 4, 5자리 숫자만 포함한다.예를 들어 69 = 1011₄ = 45₁₆.동등하게, 이항과 부항 표현이 동일한 숫자다.^[1][2]그들의 이항 표현에는 연속적으로 두 개의 비체로가 없기 때문에, Moser-De Bruijn 수열은 섬유수들의 연속성을 형성한다.

이 숫자의 2진수 또는 4진수 정의에서 정사각형 수에 비례하여 대략적으로 증가한다.지정된 임계값 $n{\displaystyle }$ ${\displaystylen}$보다 낮은 Moser-De Bruijn 시퀀스의 요소 수는 $n{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\$에 비례하며$,$^[3] 이는 제곱수에도 해당된다.사실 Moser-De Bruijn 시퀀스의 숫자는 이진수를 사용하지 않고 산술 버전의 제곱이고, 여기서 단일 비트의 추가와 곱셈은 각각 배타적 또는 논리적 연결 연산이다.^[4]

푸르스텐베르크와 관련Sarrközy는 정사각형 차이가 없는 숫자의 순서에 대한 정리, Imre Z. Ruzsa는 Moser-De Bruijn 시퀀스의 이진 정의와 마찬가지로 b ${\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$ 숫자로$$ 교차 위치의 숫자를 제한하는 대형 사각차 없는 세트의 구조를 발견했다.^[5]베이스 $b{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle b=2$}에 적용했을 때$,$ 루즈사의 구조는 모저-데 브루옌 시퀀스에 2를 곱한 값을 생성하는데, 이는 다시 사각차이가 없는 세트다.그러나, 이 세트는 너무 희박해서 푸르스텐베르크-에 비견할 만한 하한을 제공할 수 없다.사르코지 정리.

합으로 고유한 표현

Moser-De Bruijn 시퀀스는 Sidon 시퀀스와 유사한 속성: 합 $x{\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{2y}}$ ${\$$displaystyle x}$과 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $y$$}$이($가{\displaystyle }$$$$)$ 모두 Moser-De Bruijn 시퀀스에 속하는 고유한 속성이다$.$이 두 합 중 같은 값을 갖는 것은 없다.또한 모든 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n$$}$은(는) $합{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{y}}$ ${\$$displaystyle x}$과($)$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ 모두$$ Moser-De Bruijn 시퀀스에 속할 수 있다$$$.$, y)는 n{n\displaystyle}, 컴퓨팅 x)n및을 나타내는 금액;0x55555555{\displaystyle x=n\ \&^\mathrm{0x55555555}}, 비트에서 상속됨와 엔{n\displaystyle}의 모든 일정한 위치에서 펜을 가지고 있는 이진법 값(여기 hexadecimal으로 표현되)을 찾기 위해서(n−))/2{\dis.playsty$le$ y$=(n-x)/2$^[1][6]

Moser-De Bruijn 시퀀스는 이 속성을 가진 유일한 ${\displaystyle \mathrm{시퀀스}}$로$,$ $모든{\displaystyle }$ 정수는 x + $2y$ {\displaystyle $x+2y}$와 같은 고유한 식을 가진다$.$이 염기서열이 원래 모세르(1962년)에 의해 연구된 것도 이 때문이다.^[7]속성을 확장하면서, De Bruijn(1964)은 x + 2y$$${\displaystyle x$}과 y$${\$displaystyle$y}이$$(가) 모두 Moser-De Bruijn 시퀀스에 속할 때 모든 정수를 고유하게 나타내는$$${\displaystyle }$x + ${\displaystyle \mathrm{2y}}$ {\$displaystystystyle$ x$+2y}$와 같은 다른 선형 표현들을 무한히 발견했다.^[8][9]

Z 순서 곡선 및 후속 공식

숫자 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$을(를) $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$+ 2 ${\displaystyle y}$ ${\$$displaystyle$ $n$$=$$x+2y$으$$)로 분해한 다음 Moser-De Bruijn 시퀀스에서 정수로 주문 보존 $맵($ 번호의 4개의 파워를 2의 해당 파워로 대체함)을 적용하면 비제크가 발생한다.음이 아닌 정수에서 음이 아닌 정수의 순서 쌍에 이르기까지의 차이온이 바이어싱의 역순은 음수가 아닌 정수 좌표가 있는 평면의 점들에 선형 순서를 부여하며, Z 순서 곡선을 정의하는 데 사용될 수 있다.^[1][10]

이 어플리케이션과 관련하여, 전임자로부터 Moser-De Bruijn 수열의 각각의 연속적인 요소를 생성하는 공식을 갖는 것이 편리하다.이것은 다음과 같이 할 수 있다.$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) 시퀀스의 요소인$$ 경우 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 이진 표시의 홀수 위치에 비트를 하나씩 채워 결과에$$ 하나를 추가한 다음 채워진 비트를 마스킹하여 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 이후의 다음 멤버를 얻을 수 있다$$.비트를 채우고 하나를 추가하면 하나의 추가 작업으로 결합할 수 있다.즉, 다음 멤버는 공식에^[1][6][10] 의해 주어진 숫자다.

이 공식에 나타나는 두 개의 16진수 상수는 각각 ${\displaystyle 2자리\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{}}$ 1${\displaystyle }$/ 3 $[\displaystyle 1/3}$과${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1\mathrm{}}$/ 3 ${\displaystyle -1/3}$로 해석할 수 있다$.$^[1]

뺄셈 게임

골롬(1966)은 이 순서를 바탕으로 사각형을 뺄셈과 유사한 뺄셈 게임을 조사했다.골롬의 게임에서는 두 명의 플레이어가 교대로 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$개의$$ 동전 더미에서 동전을 제거한다.각 동작에서 플레이어는 모세르-데 브루옌 순서에 속하는 동전을 임의로 제거할 수 있다.다른 숫자의 동전을 제거하는 것은 허용되지 않는다.승자는 마지막 동전을 제거하는 선수다.골롬이 관찰한 바와 같이, 이 게임의 "콜드" 포지션(이전을 앞둔 플레이어가 패하고 있는 포지션)은 정확히 ${\displaystyle \mathrm{2y}}$ ${\displaystyle 2y}$ 형태의 포지션이며, $여기$서 y ${\displaysty y}$은 Moser-De Bruijn 시퀀스에 속한다$$.이 게임을 실행하기 위한 승리 전략은 $현재{\displaystyle }$ 동전$$수인 n {\$displaystyle n$을(를) $x{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x+2y}$로 분해하는 것이다. 여기서$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$와 y ${\displaysty$ $y$$}$는 모두 Moser-De Bruijn 시퀀스에 속하며, 그리고 ($만약{\displaystyle }$ x ${\$$displaystaysty$$}$이 0이 아닌 $경우{\displaystyle }$)$$x {\daystays를 제거하는 것이다.$다른$ 선수에게 차가운 자세를 남긴 채 x$}$개의$$ 동전을 던진다.$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) 0이면 이 전략이 불가능하며, 승산이 없다.^[3]

십진수 왕복

Moser-De Bruijn 시퀀스는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$과(와) ${\displaystyle 1}$/ x {\$displaystyle 1/x}$의 십진수 표현을 단순하고 명시적으로 쓸 수 있는 특이한$$ 속성을 가진$$ 비합리적인 $숫자{\displaystyle }$ x$${\$displaysty$x}의 예를 형성한다.$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$은(는) Moser-De Bruijn 시퀀스 자체를 나타낸다$$.그렇다면

0이 아닌 자릿수가 Moser-De Bruijn 시퀀스에 의해 주어진 위치에 있는 소수 자릿수를 가진 이 숫자는 $E{\displaystyle }${\$displaystyle E}$의 숫자를 두 배로 늘리고$$ 이 숫자에 모두 하나를 추가함으로써 그 역수의 0이 아닌 자릿수가 1, 3, 9, 11, ... 위치에 위치한다는 것을 따른다.^[11][12]

또는 다음과 같이 쓸 수 있다.

비슷한 예가 다른 기반에서도 통한다.예를 들어, 0이 아닌 비트가 위의 두 소수 자릿수의 0이 아닌 숫자와 같은 위치에 있는 두 이진수 역시 비합리적인 왕복선이다.^[13]이러한 이진수 및 십진수 숫자, 그리고 Moser-De Bruijn 시퀀스가 부여한 위치에서 0이 아닌 하나의 숫자를 반복하여 다른 베이스에 대해 동일한 방법으로 정의한 숫자는 초월수다.그들의 초월성은 숫자에 있는 0의 긴 줄이 로스의 정리라면 대수적 숫자일 때보다 합리적인 숫자에 의해 더 정확하게 근사치를 할 수 있게 해준다는 사실에서 증명할 수 있다.^[12]

생성함수

생성함수

확장된 형태의 지수가 Moser-De Bruijn 시퀀스에 의해 주어지며, 기능 방정식을^[1][2] 준수한다. 그리고^[14] 예를 들어, 이 함수는 위에 주어진 두 개의 소수 왕복선을 설명하는데 사용할 수 있다. 하나는 $3{\displaystyle \mathrm{}}$ F${\displaystyle (1}$/ ${\displaystyle 10}$) ${\displaystyle 3F(1/10$${\displaystyle )}$이고 다른 하나는 3 ${\displaystyle \frac{10}{}}$ F${\displaystyle (1}$/ ${\displaystyle 100}$ ) ${\displaystyle {\tfrac{3}{10}}{10$}}$F(1/100)$이다$.$그것들이 왕복이라는 사실은 두 가지 기능 방정식 중 첫 번째 예다.생성함수의 제품 형태의 부분 생산물은 이들 숫자 자체의 지속적인 분수 팽창의 수렴체를 생성하는데 사용될 수 있을 뿐만 아니라 그 곱을 생성할 수도 있다.^[11]

재발과 규칙성

Moser-De Bruijn 시퀀스는 시퀀스의 n번째 $값$인 S${\displaystyle }$( n${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ S$(n)}($${\displaystyle \mathrm{S}}$( 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$에서 시작됨 } ${\displaystyle S(0)=0$를 위치 $\lfloor {\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$⌋ ${\displaystyle \loor n/2\rfloor$에서 결정할 수 있는 반복 관계를 준수한다.

이 반복을 반복하면 $S{\displaystyle }$(${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{in}}$+ j${\displaystyle }$) ${\displaystyle S(2^{i}n+j)$ 형식의 모든 반복이 원래 시퀀스의 선형 함수로 표현될$$ 수 있으며, 이는 Moser-De Bruijn 시퀀스가 2-정규 시퀀스라는 것을 의미한다.^[15]

참고 항목

• 스탠리 시퀀스 및 캔터 세트, 해당 요소의 베이스-3 표현을 사용하여 유사하게 정의되는 세트

메모들

외부 링크

• Weisstein, Eric W., "Moser–De Bruijn Sequence", MathWorld