액세스 가능한 범주

접근 가능한 범주의 이론은 수학의 일부분이며, 특히 범주 이론의 일부분이다.그것은 그들의 개체를 생성하는 데 필요한 작업의 "크기"(기존 숫자)의 관점에서 범주를 설명하려고 시도한다.

이 이론은 1969년까지 완성한 그로텐디크의 작품과 가브리엘과 울머(1971년)에서 비롯된다.^[1][2]1989년 마이클 막카이와 로버트 파리에 의해 더욱 발전해 왔으며, 동기는 수학 논리의 한 분야인 모델 이론에서 비롯되었다.^[3]아다메크와 로지크의 표준 텍스트북이 1994년에 등장했다.^[4]접근 가능한 범주는 호모토피 이론에서도 응용이 가능하다.^[5][6]그로텐디크는 1991년 (아직 부분적으로 미발표된) 원고인 레즈 데리베이트르에서 호모토피-이론적 목적을 위한 이론의 개발을 계속했다.^[7]접근 가능한 범주의 일부 특성은 사용 중인 정해진 우주에 따라 달라지는데, 특히 추기경적 특성과 보펜카의 원리에 따라 달라진다.^[8]

${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ -방향$$ 콜리밋 및 $and{\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$ - 표시$$ 가능한 개체

${\displaystyle \kappa }$을(를) 무한정 일반 추기경, 즉 소수의 작은 추기경의 합이 아닌 추기경 번호가 되도록$$ 하라. 예로는 첫 번째 무한 추기경인 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ 0${\$$_${$0$$}($알프-0)$$과 첫 번째 무한 추기경인$$$\aleph {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ \yp_${1$}가 있다.A partially ordered set ${\displaystyle (I,\leq )}$ is called ${\displaystyle \kappa }$-directed if every subset ${\displaystyle J}$ of ${\displaystyle I}$ of cardinality less than ${\displaystyle \kappa }$ has an upper bound in ${\displaystyle I}$. In particular, the ordinary directed sets a정확히 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ 0${\$ 방향 세트를$$ 변경한다.

$이제{\displaystyle }$ C ${\displaystyle C}$을(를) 범주로 설정하십시오$$.$\kappa {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \kappa }$ - directed$$ set $({\displaystyle I}$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (I,\leq )}$에 대한 직접 제한(일명)을 directed {\$displaystyle \kappa }$ - directed$$ colimit이라고 한다$$.An object ${\displaystyle X}$ of ${\displaystyle C}$ is called ${\displaystyle \kappa }$-presentable if the Hom functor ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,-)}$ preserves all ${\displaystyle \kappa }$-directed colimits in ${\displaystyle C}$. It is clear that every ${\displays$$tyle \kappa }$-presentable object is also ${\displaystyle \kappa '}$-presentable whenever ${\displaystyle \kappa \leq \kappa '}$, since every ${\displaystyle \kappa '}$-directed colimit is also a ${\displaystyle \kappa }$-directed colimit in that case.$\aleph {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ - 표시 가능한 개체를$$ 정밀하게 표시 가능한 개체라고 한다.

예

• 모든 집합의 집합 범주에서, 정밀하게 표시할 수 있는 객체는 유한 집합과 일치한다.$\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$ -표시$$ 가능한 개체는 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$보다 작은 카디널리티 집합이다$.$
• 모든 집단의 범주에서, 개체는 그것이 정밀하게 제시된 집단인 경우에만, 즉 그것이 정밀하게 많은 발전기와 정밀하게 많은 관계를 가진 프레젠테이션이 있는 경우에만 정확하게 제시될 수 있다.마운트할 수 없는 일반 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$의 경우,$$$\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$ - 표시$$ 가능한 개체는 정확히 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$보다 작은 카디널리티를 가진 그룹이다$.$
• 일부(단일화, 연관성) 링 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$에 대한 왼쪽 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle$R}-모듈$$ 범주에서 정밀하게 표시할 수 있는 객체는 정확하게 표시된 모듈이다$.$

${\displaystyle }$▼ ${\displaystyle \kappa }$ - ${\displaystyle \mathrm{액세스}}$ 가능 및 로컬로 표시 가능한 범주

$범주{\displaystyle }$ $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$은(는) provided ${\displaystyle \kappa }($으)로 불리며, 다음과 같은 경우에 액세스할$$ 수 있다.

• ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$에는 모든 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$ - directioned$$ colimits가 있음$$
• ${\displaystyle }$$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $C$$}$에는 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$의 $세트{\displaystyle }$ P${\displaystyle$ $C}$의 모든 개체가 $P{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \kappa }$ - p {\$displaystystyle P}$의 방향$$ 콜리미트가 되도록 표시할$$ 수 있는$$ 개체들이 포함되어$$ 있다$.$

$\aleph {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ - 접근$$ 가능한 범주를 finally access라고 한다.$범주$가 cardinal {\$displaystyle \kappa }$인 경우 $액세스{\displaystyle }$ 가능한 범주를$$ 액세스 가능한 범주로 부르고$,$ 액세스 가능한 범주가 cocomful인 경우 로컬로 표시 가능한 범주로 부른다.

functor $F{\displaystyle }$: ${\displaystyle C}$→ D ${\displaystyle F:$$F {\$$displaystyle \kappa }$ -accessible$$ 범주 사이의$$ $C\to D}$ -accessible은 F$${\$displaystyle$ $\kappa$ $}$ -directioned$$ colimits를 보존할$$ 경우 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystystyle \kappa$ } -accappa } -accessibleder로 불린다.

예

• 모든 집합은 유한 하위 집합의 직접 한계이며, 유한 집합은 정밀하게 표시 가능하기 때문에 모든 집합과 함수의 범주는 국소적으로 표시 가능하다.
• $R{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle{\displaystyle }$ R$}$ - ($왼쪽$) R ${\displaystyle R}$ - modules 범주는 링$$ R$$ {\$displaystyle$ R$\}$에 대해 로컬로 $미세$하게 나타낼 수 있다.
• 단순화된 세트의 범주는 접근하기 쉽다.
• 계수 가능한 서명이 있는 일부 1차 이론 T 모델의 Mod(T) 범주는 $\aleph {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1} -accessible이다$$.${\displaystyle {\mathrm{\aleph }}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$} -표시 가능한$$ 객체는 셀 수 있는 수의 요소를 가진 모델이다.
• 국지적으로 제시 가능한 범주의 추가 예로는 세부 대수 범주(즉, 범용 대수에서 알헤브라의 다양성에 해당하는 범주)와 그로텐디크 범주가 있다.

정리

지역적으로 제시 가능한 모든 범주도 완전하다는 것을 보여줄 수 있다.^[9]또한 범주는 한계 스케치의 모델 범주와 동일한 경우에만 현지에서 표시할 수 있다.^[10]

지역적으로 제시할 수 있는 범주들 사이의 조정된 functors는 특히 단순한 특성을 가지고 있다.functor $F{\displaystyle }$: ${\displaystyle C}$→ D ${\displaystyle F:$로컬로 표시할 수 있는 범주 간의$$ $C\to$ D$}:$

• 작은 콜리미트를 보존하는 경우에만 왼쪽 부관이다.
• 작은 한계를 보존하고 접근 가능한 경우에만 우측 보조점이다.

메모들

참조

• Adámek, Jiří; Rosický, Jiří (1994), Locally presentable and accessible categories, LNM Lecture Notes, Cambridge University Press, ISBN 0-521-42261-2