린드하르트 이론

응집물리학에서 린드하르트^[1]^[2] 이론(덴마크의 ^[3]^[4]옌스 린드하르트 교수의 이름을 따옴)은 고체 내 전자에 의한 전계 스크리닝의 효과를 계산하는 방법이다.그것은 양자역학(1차 섭동 이론)과 무작위 위상 근사에 기초한다.

Thomas-Fermi 스크리닝과 플라즈마 진동은 보다 일반적인 린드하드 공식의 특수한 경우로 도출할 수 있다.특히 토마스...페르미 스크리닝은 파동 벡터(관심 길이 척도의 역수)가 페르미 파동 벡터(즉, 장거리 한계)^[2]보다 훨씬 작을 때 린드하르트 공식의 한계이다.플라즈마 진동에 대한 로렌츠-드 식은 동적 케이스(긴 파장, 유한 주파수)에서 복구됩니다.

이 문서에서는 cgs-Gaush 단위를 사용합니다.

공식

세로 유전체 함수에 대한 린드하르트 공식은 다음과 같다.

\displaystyle \silon (\mathbf {q} ,\mathbf {q} ) = 1-V_{\mathbf {k} } {\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q}} } - f_{\mathbf {k} } {\h+e (\mathbar + i)}

$\delta$ 서 ${\$ { $displaystyle$ \ $delta }$ 는 $\delta$ $V_{\mathbf {q} }$ 의 $V_{\mathbf {q} }$ 무한소수, $V_{\mathbf {q} }$ { \ $mathbf$ { $q }$ 는 $V_{\text{eff}}(\mathbf {q} )-V_{\text{ind}}(\mathbf {q} )$ eff $V_{\text{eff}}(\mathbf {q} )-V_{\text{ind}}(\mathbf {q} )$ ) - $V_{\text{eff}}(\mathbf {q} )-V_{\text{ind}}(\mathbf {q} )$ ind ( $V_{\text{eff}}(\mathbf {q} )-V_{\text{ind}}(\mathbf {q} )$ $){$ \ $text$ { $eff$ } ( \ $display style V$ _ { $q$ } - $V$ _ { \ $text$ { $text$ { $V_{\text{eff}}(\mathbf {q} )-V_{\text{ind}}(\mathbf {q} )$ } } } （ \ $text$ { ） $f_{\mathbf {k} }$ ） $V_{\text{eff}}(\mathbf {q} )-V_{\text{ind}}(\mathbf {q} )$ ） $f$ f f f f f f 。는 열역학적 평형에 있는 전자에 대한 페르미-디락 분포 함수이다.그러나 이 Lindhard 공식은 비평형 분포 함수에도 유효하다.1차 섭동 이론과 랜덤 위상 근사(RPA)를 얻을 수 있습니다.

케이스 제한

Lindhard 공식을 이해하려면 2차원 및 3차원에서 몇 가지 제한 사례를 고려하십시오.1차원 케이스는 다른 측면에서도 고려됩니다.

장파장 한계

장파장 한계( $\mathbf {q} \to 0$ $\mathbf {q} \to 0$ ${\displaystyle$ \ $mathbf {q}$ \ $to$ 0}) $\mathbf {q} \to 0$ 에서 Linhard 함수는 다음과 같이 감소합니다.

{\displaystyle \ipsilon (\mathbf {q} = 0,\obega )\{\frac {\rm {pl}}{2}}{\obega },

여기서 $\omega _{\rm {pl}}^{2}={\frac {4\pi e^{2}N}{L^{3}m}}$ $\omega _{\rm {pl}}^{2}={\frac {4\pi e^{2}N}{L^{3}m}}$ $\omega _{\rm {pl}}^{2}={\frac {4\pi e^{2}N}{L^{3}m}}$ 2 $\omega _{\rm {pl}}^{2}={\frac {4\pi e^{2}N}{L^{3}m}}$ $\omega _{\rm {pl}}^{2}={\frac {4\pi e^{2}N}{L^{3}m}}$ $\omega _{\rm {pl}}^{2}={\frac {4\pi e^{2}N}{L^{3}m}}$ e $\omega _{\rm {pl}}^{2}={\frac {4\pi e^{2}N}{L^{3}m}}$ $\omega _{\rm {pl}}^{2}={\frac {4\pi e^{2}N}{L^{3}m}}$ L $\omega _{\rm {pl}}^{2}={\frac {4\pi e^{2}N}{L^{3}m}}$ m $_ {\rm$ { $pl}^{2$ } = μfrac ${4\pi$ e $^{2}N}$ { $L^{3}m}}$ 은 $\omega _{\rm {pl}}^{2}={\frac {4\pi e^{2}N}{L^{3}m}}$ 3차원 플라즈마 주파수입니다(SI 단위에서는 4 $δ\style 4$ \ $pi$ $}$ 를 $4\pi$ 0 $/type$ $1/\epsilon _{0}$ 로 바꿉니다).

\omega _{\rm {pl}}^{2}(\mathbf {q} )={\frac {2\pi e^{2}nq}{\epsilon m}}

p

\omega _{\rm {pl}}^{2}(\mathbf {q} )={\frac {2\pi e^{2}nq}{\epsilon m}}

2

\omega _{\rm {pl}}^{2}(\mathbf {q} )={\frac {2\pi e^{2}nq}{\epsilon m}}

q ） =

\omega _{\rm {pl}}^{2}(\mathbf {q} )={\frac {2\pi e^{2}nq}{\epsilon m}}

\omega _{\rm {pl}}^{2}(\mathbf {q} )={\frac {2\pi e^{2}nq}{\epsilon m}}

\omega _{\rm {pl}}^{2}(\mathbf {q} )={\frac {2\pi e^{2}nq}{\epsilon m}}

n

\omega _{\rm {pl}}^{2}(\mathbf {q} )={\frac {2\pi e^{2}nq}{\epsilon m}}

、 m \

displaystyle

\

omega

_ { \

rm

{

pl

}

}^{

2} (

mathbf {

q } ) =

frfr frac

{

\omega _{\rm {pl}}^{2}(\mathbf {q} )={\frac {2\pi e^{2}nq}{\epsilon m}}

2 \ pi

e^

{ 2 }

nq

}{ \

explilon

m

\omega _{\rm {pl}}^{2}(\mathbf {q} )={\frac {2\pi e^{2}nq}{\epsilon m}}

} } 。

이 결과는 Drude 모델과 양자역학적 자유전자 모델로부터 고전적인 유전체 함수로부터 플라즈마 진동을 회복한다.

3D에서의 파생

린드하르트 공식의 분모는

E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(k^{2}-2\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} +q^{2})-{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\simeq -{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}

cdot \mathbf {q}

} {

m

린드하르트 공식의 분자는

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

-

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

q -

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

- q

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

+

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

⋯ -

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

≃ -

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

k f f f

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

{ \

displaystyle

f _ { \

mathbf { k }

- f

_

{ \

mathbf { k

}

= f_{

\

mathbf

{

k }

- \ mathbcdot } \ mathbf {

cd}

이것들을 Lindhard 공식에 삽입하고 $\delta \to 0$ $\delta \to 0$ 0 $(\displaystyle\$ displaystyle $\to$ 0 $)$ 한계를 $\delta \to 0$ 취하면 다음과 같이 됩니다.

{\begin{alignedat}{2}\epsilon (\mathbf {q} =0,\omega _{0})&\simeq 1+V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}{\hbar \omega _{0}-{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}}\\&\simeq 1+{\frac {V_{\mathbf {q} }}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{\mathbf {k} ,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}(1+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m\omega _{0}}})\\&\simeq 1+{\frac {V_{\mathbf {q} }}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{\mathbf {k} ,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m\omega _{0}}}\\&=1-V_{\mathbf {q} }{\frac {q^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{\mathbf {k} }{f_{\mathbf {k} }}\\&=1-V_{\mathbf {q} }{\frac {q^{2}N}{m\omega _{0}^{2}}}\\&=1-{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}{\frac {q^{2}N}{m\omega _{0}^{2}}}\\&=1-{\frac {\omega _{\rm {pl}}^{2}}{\omega _{0}^{2}}}.\end{alignedat}}

at style 。

Silon(\mathbf{q}=0,\omega_{0})&, \simeq 1+V_{\mathbf{q}}\sum _{\mathbf{k} 난}{\frac{q_{나는}{\frac{\partial f_{\mathbf{k}}}{\partial k_{나는}}}}{\hbar \omega_{0}-{\frac{\hbar ^{2}\mathbf{k}\cdot \mathbf{q}}{m}}}}\\&, \simeq 1+{\frac{V_{\mathbf{q}}}{\hbar \omega_{0}}}\sum _{\mathbf{k} 난}{q_{나는}{\frac{\partial f_{\mathbf{k}}}{년.부분

k_{i}}}}}(1+{\frac\frac\mathbf {k}\cdot\mathbf {q}{m\opega_{0}})

\\&, \simeq 1+{\frac{V_{\mathbf{q}}}{\hbar \omega_{0}}}\sum _{\mathbf{k} 난}{q_{나는}{\frac{\partial f_{\mathbf{k}}}{\partial k_{나는}}}}{\frac{\hbar \mathbf{k}\cdot \mathbf{q}}{m\omega_{0}}}\\&, =1-V_{\mathbf{q}}{\frac{{2q^}}{m\omega_{0}^{2}}}\sum _{\mathbf{k}}{f_{\mathbf{k}}}\\&, =1-V_{\mathbf{q}}{\frac{{2q^}N}{_m\omega{.0}일 경우 ^{2}}}\\&, =

1-{\frac {4\pi e^{2}}{\silon q^{2}L^{3}}{\frac {0}{2}{m}{2}\&=1-{{{\frac {{\rm {pl}}}{\frac {\frac {{0}{2}}}{\

\end {alignedat

$E_{\mathbf {k} }=\hbar \omega _{\mathbf {k} }$ 서 E k $E_{\mathbf {k} }=\hbar \omega _{\mathbf {k} }$ = $E_{\mathbf {k} }=\hbar \omega _{\mathbf {k} }$ {\ $displaystyle E_{\mathbf {k}}=\hbar \omega$ _ ${\mathbf {k}}}$ 및 $E_{\mathbf {k} }=\hbar \omega _{\mathbf {k} }$ $V_{\mathbf {q} }={\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}$ $V_{\mathbf {q} }={\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}$ $V_{\mathbf {q} }={\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}$ 4 $V_{\mathbf {q} }={\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}$ $V_{\mathbf {q} }={\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}$ $V_{\mathbf {q} }={\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}$ $V_{\mathbf {q} }={\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}$ $V_{\mathbf {q} }={\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}$ {\ $displaystyle V_{\mathbf {q}$ } = $frac$ 4 $q4\pi$ {q $} ^{clon$ }}을 사용했다.

2D에서의 파생

먼저 장파장 제한( $q\to 0$ $q\to 0$ \ $displaystyle$ q \ $to$ 0 ) $q\to 0$ 을 검토합니다.

린드하드 공식의 분모는

E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(k^{2}-2\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} +q^{2})-{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\simeq -{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}

cdot \mathbf {q}

} {

m

그리고 분자는

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

-

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

q -

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

- q

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

+

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

⋯ -

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

≃ -

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

k f f f

f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }

{ \

displaystyle

f _ { \

mathbf { k }

- f

_

{ \

mathbf { k

}

= f_{

\

mathbf

{

k }

- \ mathbcdot } \ mathbf {

cd}

이를 Lindhard 공식에 삽입하여 $\delta \to 0$ $\delta \to 0$ 0 $(\displaystyle$ \displaystyle \ $to$ 0 $\delta \to 0$ 의 한계를 취하면 다음과 같이 됩니다.

{\displaystyle{\begin{alignedat}{2}\epsilon(0,\omega)&, \simeq 1+V_{\mathbf{q}}\sum _{\mathbf{k} 난}{\frac{q_{나는}{\frac{\partial f_{\mathbf{k}}}{\partial k_{나는}}}}{\hbar \omega_{0}-{\frac{\hbar ^{2}\mathbf{k}\cdot \mathbf{q}}{m}}}}\\&, \simeq 1+{\frac{V_{\mathbf{q}}}{\hbar \omega_{0}}}\sum _{\mathbf{k} 난}{q_{나는}{\frac{\parti.알 f_{\mathbf {k}}}{\frac k_{i}}}}}(1+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {q}} {m\obega _{0}}})\\&, \simeq 1+{\frac{V_{\mathbf{q}}}{\hbar \omega_{0}}}\sum _{\mathbf{k} 난}{q_{나는}{\frac{\partial f_{\mathbf{k}}}{\partial k_{나는}}}}{\frac{\hbar \mathbf{k}\cdot \mathbf{q}}{m\omega_{0}}}\\&, =1+{\frac{V_{\mathbf{q}}}{\hbar \omega_{0}}}2\int d^ᆴk({\frac{L}{2\pi}})^{2}\sum _{i,j}{q_{나는}{\frac{\partial f_{\mathbf{k}}}{\parti.알 k_{나는}}}}{\frac{\hbar k_{j}q_{j}}{m\omega_{0}}}\\&, =1+{\frac{V_{\mathbf{q}}L^{2}}{m\omega_{0}^{2}}}2\int{\frac{{2d^}k}{(2\pi)^{2}}}\sum _{i,j}{q_{나는}q_{j}k_{j}{\frac{\partial f_{\mathbf{k}}}{\partial k_{나는}}}}\\&, =1+{\frac{V_{\mathbf{q}}L^{2}}{m\omega_{0}^{2}}}\sum _{i,j}{q_{나는}q_{j}2\int{\frac{{2d^}k}{(2\pi)^{2}}}k_{j}{\frac{\part.ial f_{)mathbf {k}}}{\sum k_{i}}{\&=1-{\frac {V_{\mathbf {q}}{2}}\sum _{i,j}{q_{j}n\sum _{i}}\pi_1\frac {2}}.

$V_{\mathbf {q} }={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}$ 서 $E_{\mathbf {k} }=\hbar \epsilon _{\mathbf {k} }$ 는 E k $E_{\mathbf {k} }=\hbar \epsilon _{\mathbf {k} }$ $E_{\mathbf {k} }=\hbar \epsilon _{\mathbf {k} }$ k {\ $displaystyle$ E_{\ $mathbf$ {k}}=\ $hbar \silon$ _{\ $mathbf$ {k $E_{\mathbf {k} }=\hbar \epsilon _{\mathbf {k} }$ $V_{\mathbf {q} }={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}$ $V_{\mathbf {q} }={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}$ 2 $V_{\mathbf {q} }={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}$ $V_{\mathbf {q} }={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}$ $V_{\mathbf {q} }={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}$ $V_{\mathbf {q} }={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}$ $V_{\mathbf {q} }={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}$ q { $displaystyle V_{\mathbf {q}$ } = $frac2\pi$ ^2 } { $lon$ {lon}을 $E_{\mathbf {k} }=\hbar \epsilon _{\mathbf {k} }$ 했다 $.$ ${\frac {2\pi$ e $^{2}nq}{\silon$ m $\omega _{\rm {pl}}^{2}(\mathbf {q} )={\frac {2\pi e^{2}nq}{\epsilon m}}$

정적 한계

$\omega +i\delta \to 0$ 한계치( $\omega +i\delta \to 0$ " + $\omega +i\delta \to 0$ " $\omega +i\delta \to 0$ \ $displaystyle \ obega$ + $i$ \ $to$ 0 ) $\omega +i\delta \to 0$ 를 고려합니다.

린드하르트 공식은

\epsilon (\mathbf {q} ,\omega =0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}

(

\epsilon (\mathbf {q} ,\omega =0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}

,

\epsilon (\mathbf {q} ,\omega =0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}

\epsilon (\mathbf {q} ,\omega =0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}

0 )

\epsilon (\mathbf {q} ,\omega =0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}

\epsilon (\mathbf {q} ,\omega =0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}

-

\epsilon (\mathbf {q} ,\omega =0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}

q

\epsilon (\mathbf {q} ,\omega =0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}

k

\epsilon (\mathbf {q} ,\omega =0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}

-

\epsilon (\mathbf {q} ,\omega =0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}

- f

\epsilon (\mathbf {q} ,\omega =0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}

\epsilon (\mathbf {q} ,\omega =0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}

-

\epsilon (\mathbf {q} ,\omega =0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}

k \

displaystyle

\ silon ( \

mathbf

{

q

} , \

mathbf

{ = 0

}

\

sum

_ { \

mathbf { k

} } \

frac

{

f

}

분모와 분자에 대해 위의 등식을 삽입하면 다음과 같은 값을 얻을 수 있다.

\epsilon (\mathbf {q} ,0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {-q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{-{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}}=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}

\hbar

^{

2}\mathbf {k}

\

cdot \mathbf {q}

} {m}} =

1-V_{\mathbf

{q}

\epsilon (\mathbf {q} ,0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {-q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{-{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}}=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}

} } \

sum

_

{\mathbf {k},i}

{\

frac {q_{i}}

{\

frac

{\

frac

f}

^2 }

열평형 페르미-디락 반송파 분포를 가정하면 다음과 같이 됩니다.

\displaystyle \sum _{i} {\frac {\frac f_{\mathbf {k}} = - \sum _ {q_{i} {\frac {\frac f_{\mathbf {k}} {\frac {\frac \mu}} {\frac {\f}

$여기$ 서는 E k $E_{\mathbf {k} }={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$ $E_{\mathbf {k} }={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$ 2 $E_{\mathbf {k} }={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$ $E_{\mathbf {k} }={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$ m $E_{\mathbf {k} }={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$ { $displaystyle$ E _ ${$ \ $mathbf$ ${ k$ } = $E_{\mathbf {k} }={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$ e ${\frac {\partial E_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}={\frac {\hbar ^{2}k_{i}}{m}}$ $k$ ${\frac {\partial E_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}={\frac {\hbar ^{2}k_{i}}{m}}$ k ^ { ${\frac {\partial E_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}={\frac {\hbar ^{2}k_{i}}{m}}$ } k ^ { 2 m ${\frac {\partial E_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}={\frac {\hbar ^{2}k_{i}}{m}}$ $}$ and $E_{\mathbf {k} }={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$ ${\frac {\partial E_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}={\frac {\hbar ^{2}k_{i}}{m}}$ ${\frac {\partial E_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}={\frac {\hbar ^{2}k_{i}}{m}}$ 2 ${\frac {\partial E_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}={\frac {\hbar ^{2}k_{i}}{m}}$ ${\frac {\partial E_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}={\frac {\hbar ^{2}k_{i}}{m}}$ ${\frac {\partial E_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}={\frac {\hbar ^{2}k_{i}}{m}}$ ${\frac {\partial E_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}={\frac {\hbar ^{2}k_{i}}{m}}$ 2 k i { $displaystyle$ { \ $frac }$ { $k$ } } { k _ $i$ $}$ } } } e $E_{\mathbf {k} }={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$ e e 。

그러므로,

{\displaystyle{\begin{alignedat}{2}\epsilon(\mathbf{q},0)&, =1+V_{\mathbf{q}}\sum _{\mathbf{k} 난}{\frac{q_{나는}k_{나는}{\frac{\hbar ^{2}}{m}}{\frac{\partial f_{\mathbf{k}}}{\mu\partial}}}{\frac{\hbar ^{2}\mathbf{k}\cdot \mathbf{q}}{m}}}=1+V_{\mathbf{q}}\sum _{\mathbf{k}}{\frac{\partial f_{\mathbf{k}}}{\mu\partial}}=1+{\fra.c{4\pi e^{2}}{\silon q^{2}}{\frac }{\frac {1}{L^{3}}\sum _{\mathbf {k}}{f_{\mathbf {k}}}}\&=1+{\frac 4\pi ^2}}{\silon q}}}{\fac {flon}}}\end {alignedat}}

$\kappa$ 서 $§$ {\ $displaystyle \kappa}$ 는 $\kappa$ 다음과 같이 정의된 3D 스크리닝 파형 번호(3D 역스크리닝 길이)입니다.

$\kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}$ = $\kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}$ $\kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}$ e $\kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}$ ∂ $\kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}$ \kappa = $rtrtrt$ {\ $frac {4\pi e^{$ 2}}}{\ $ilon }}{\frac$ {\ $frac$ n $}{\pi$ e^{\mu $\kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}$

그런 다음, 정적 스크리닝된 3D 쿨롱 전위는 다음과 같이 주어진다.

4

}}{\frac {q^{

2}+\

kappa ^{2}}{q

^{2

}}}=flac {4\pi e^{

2}}{\

ilon

L

^{3}}{\frac {1}{q^2

}+\

kappa ^{

2

V_{\rm {s}}(\mathbf {q} ,\omega =0)\equiv {\frac {V_{\mathbf {q} }}{\epsilon (\mathbf {q} ,0)}}={\frac {\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}{\frac {q^{2}+\kappa ^{2}}{q^{2}}}}={\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon L^{3}}}{\frac {1}{q^{2}+\kappa ^{2}}}

그리고 이 결과의 역 푸리에 변환은

V_{\rm {s}(r)=\sum _{\mathbf {q}}{L^{3}(q^{2}+\kappa ^{2}}}e^{i\mathbf {q}\cdot \mathbf {r}}}}={frac}{{q}}{frac

유카와 잠재력이라고 알려져 있죠이 푸리에 변환에서는 기본적으로 $\mathbf {q}$ 의 합계(\ $displaystyle$ $\mathbf {q$ $})$ 인 q $\$ displaystyle $\mathbf$ {q}의 $\mathbf {q}$ $모든$ 값에 대해 $작은$ $\mathbf {q}$ q $\$ displaystyle $\mathbf$ {q}의 $|\mathbf {q} |$ 식을 사용했지만 올바르지 않습니다.

정적 선별 전위(상부 곡면)와 쿨롱 전위(하부 곡면) 3차원

퇴화된 페르미 가스(T=0)의 경우 페르미 에너지는 다음과 같이 주어진다.

E_{\rm {F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(3\pi ^{2}n)^{\frac {2}{3}}

F

E_{\rm {F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(3\pi ^{2}n)^{\frac {2}{3}}

E_{\rm {F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(3\pi ^{2}n)^{\frac {2}{3}}

E_{\rm {F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(3\pi ^{2}n)^{\frac {2}{3}}

E_{\rm {F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(3\pi ^{2}n)^{\frac {2}{3}}

( 3

E_{\rm {F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(3\pi ^{2}n)^{\frac {2}{3}}

2

E_{\rm {F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(3\pi ^{2}n)^{\frac {2}{3}}

)

E_{\rm {F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(3\pi ^{2}n)^{\frac {2}{3}}

3

E_{\rm {F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(3\pi ^{2}n)^{\frac {2}{3}}

( \

displaystyle

E _ { \

rm

{ F } =

fr frac

{ hbar ^ {

2

} { 2 m } （

3

\

pi ^

{

2} n

)^{

\

frac { }

그래서 밀도는

n={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}E_{\rm {F}}\right)^{\frac {3}{2}}

n={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}E_{\rm {F}}\right)^{\frac {3}{2}}

n={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}E_{\rm {F}}\right)^{\frac {3}{2}}

n={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}E_{\rm {F}}\right)^{\frac {3}{2}}

n={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}E_{\rm {F}}\right)^{\frac {3}{2}}

n={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}E_{\rm {F}}\right)^{\frac {3}{2}}

(

n={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}E_{\rm {F}}\right)^{\frac {3}{2}}

n={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}E_{\rm {F}}\right)^{\frac {3}{2}}

n={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}E_{\rm {F}}\right)^{\frac {3}{2}}

n={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}E_{\rm {F}}\right)^{\frac {3}{2}}

E

n={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}E_{\rm {F}}\right)^{\frac {3}{2}}

F )

n={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}E_{\rm {F}}\right)^{\frac {3}{2}}

n={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}E_{\rm {F}}\right)^{\frac {3}{2}}

\

displaystyle

n =

flac

{

1

} {

3

\

pi

^ { } } \

left flac

{ 2 m } { \

hbar

^ {

2 }

} E _ { \

rm

{

F

} } \ right

)^{

\

frac 3

} {

2

T=0에서 $E_{\rm {F}}\equiv \mu$ $E_{\rm {F}}\equiv \mu$ $μ{\rm$ { $F}\equiv$ \mu $E_{\rm {F}}\equiv \mu$ 이므로 ${\frac {\partial n}{\partial \mu }}={\frac {3}{2}}{\frac {n}{E_{\rm {F}}}}$ n ${\frac {\partial n}{\partial \mu }}={\frac {3}{2}}{\frac {n}{E_{\rm {F}}}}$ ${\frac {\partial n}{\partial \mu }}={\frac {3}{2}}{\frac {n}{E_{\rm {F}}}}$ ${\frac {\partial n}{\partial \mu }}={\frac {3}{2}}{\frac {n}{E_{\rm {F}}}}$ ${\frac {\partial n}{\partial \mu }}={\frac {3}{2}}{\frac {n}{E_{\rm {F}}}}$ n ${\frac {\partial n}{\partial \mu }}={\frac {3}{2}}{\frac {n}{E_{\rm {F}}}}$ F {\ $displaystyle$ {\displaystyle \ $frac {\$ $display$ n $}$ {\display $mu }$ { $3}$ {2}} {\ $frac$ {\fracn} ${\f$ } {\f} {\f} ${\$ f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} ${\$ f}

위의 3D 스크리닝 파수 방정식에 이를 삽입하면

\kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}={\sqrt {\frac {6\pi e^{2}n}{\epsilon E_{\rm {F}}}}}

=

\kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}={\sqrt {\frac {6\pi e^{2}n}{\epsilon E_{\rm {F}}}}}

\kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}={\sqrt {\frac {6\pi e^{2}n}{\epsilon E_{\rm {F}}}}}

e

\kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}={\sqrt {\frac {6\pi e^{2}n}{\epsilon E_{\rm {F}}}}}

ϵ n

\kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}={\sqrt {\frac {6\pi e^{2}n}{\epsilon E_{\rm {F}}}}}

=

\kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}={\sqrt {\frac {6\pi e^{2}n}{\epsilon E_{\rm {F}}}}}

\kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}={\sqrt {\frac {6\pi e^{2}n}{\epsilon E_{\rm {F}}}}}

e

\kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}={\sqrt {\frac {6\pi e^{2}n}{\epsilon E_{\rm {F}}}}}

\kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}={\sqrt {\frac {6\pi e^{2}n}{\epsilon E_{\rm {F}}}}}

\kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}={\sqrt {\frac {6\pi e^{2}n}{\epsilon E_{\rm {F}}}}}

\kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}={\sqrt {\frac {6\pi e^{2}n}{\epsilon E_{\rm {F}}}}}

{

displaystyle

\ kappa =

sq

rt { \

frac

{ 4 \ pi e ^ {

2}

} { \

ipsilon

}} = =

{\ frac

{ \ frac { n

\kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}={\sqrt {\frac {6\pi e^{2}n}{\epsilon E_{\rm {F}}}}}

} { \

frac

{ \ pi e 6 \

pi

} }

}

= { \

flon

{\ n }

이 결과는 Thomas로부터 3D 파형 번호를 복구합니다.페르미 스크리닝

참고로 Debye-휘켈 스크리닝은 비퇴화 한계 사례를 설명한다. $\kappa ={\sqrt {\frac {4\pi e^{2}n\beta }{\epsilon }}}$ 는 $\kappa ={\sqrt {\frac {4\pi e^{2}n\beta }{\epsilon }}}$ $\kappa ={\sqrt {\frac {4\pi e^{2}n\beta }{\epsilon }}}$ $\kappa ={\sqrt {\frac {4\pi e^{2}n\beta }{\epsilon }}}$ $\kappa ={\sqrt {\frac {4\pi e^{2}n\beta }{\epsilon }}}$ 2 $\kappa ={\sqrt {\frac {4\pi e^{2}n\beta }{\epsilon }}}$ β $\kappa ={\sqrt {\frac {4\pi e^{2}n\beta }{\epsilon }}}$ （ \ $displaystyle$ \ $kappa$ = $sqrt$ { $frac { 4$ \ $pi$ e $^{2}n$ \ displayrt }{\ $silon$ 이며, 이는 3D Debye로 알려져 있습니다.휘켈 선별 파수

2차원에서 선별파 번호는

\kappa = pi e^{2}}{\silon }}{\frac {2\pi e^{2}}}{\silon }}{\frac {m}}}{\frac {m}}}}}{\frac {\hbar ^{-hpi ^{\pi }}}{\fi }{\fi ^{\fi }{\fi }} }}}}}}} {\silonfacclac n}

이 결과는 n과는 무관합니다.

2D에서의 파생

$\omega +i\delta \to 0$ 한계치( $\omega +i\delta \to 0$ " + $\omega +i\delta \to 0$ " $\omega +i\delta \to 0$ \ $displaystyle \ obega$ + $i$ \ $to$ 0 ) $\omega +i\delta \to 0$ 를 고려합니다.린드하르트 공식은

\epsilon (\mathbf {q} ,0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}

(

\epsilon (\mathbf {q} ,0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}

, 0 )

\epsilon (\mathbf {q} ,0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}

\epsilon (\mathbf {q} ,0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}

-

\epsilon (\mathbf {q} ,0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}

q

\epsilon (\mathbf {q} ,0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}

k

\epsilon (\mathbf {q} ,0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}

-

\epsilon (\mathbf {q} ,0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}

- f

\epsilon (\mathbf {q} ,0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}

\epsilon (\mathbf {q} ,0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}

-

\epsilon (\mathbf {q} ,0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}

-

\epsilon (\mathbf {q} ,0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}

\

displaystyle

\ silon ( \

mathbf { q }

= 1 - V _ { \

mathbf

{ k } } } { \

sum

_ { \

frac

{ f _ f _ { \

mathbf }

{ k }

분모와 분자에 대해 위의 등식을 삽입하면 다음과 같은 값을 얻을 수 있다.

\epsilon (\mathbf {q} ,0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {-q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{-{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}}=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}

\hbar

^{

2}\mathbf {k}

\

cdot \mathbf {q}

} {m}} =

1-V_{\mathbf

{q}

\epsilon (\mathbf {q} ,0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {-q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{-{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}}=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}

} } \

sum

_

{\mathbf {k},i}

{\

frac {q_{i}}

{\

frac

{\

frac

f}

^2 }

열평형 페르미-디락 반송파 분포를 가정하면 다음과 같이 됩니다.

\sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}{\frac {\partial E_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}}

rac {\mathbf

{k

}}{\sum

k_

{i}}=-\sum

_

{i}{q_{i}{\frac {hbar

^{

2}}{m}}{\frac

{\frac

f_{\mathbf {k}}}}{\

frac {\

frac

f_{\

mathbf

그러므로,

{\displaystyle{\begin{alignedat}{2}\epsilon(\mathbf{q},0)&, =1+V_{\mathbf{q}}\sum _{\mathbf{k} 난}{\frac{q_{나는}k_{나는}{\frac{\hbar ^{2}}{m}}{\frac{\partial f_{\mathbf{k}}}{\mu\partial}}}{\frac{\hbar ^{2}\mathbf{k}\cdot \mathbf{q}}{m}}}=1+V_{\mathbf{q}}\sum _{\mathbf{k}}{\frac{\partial f_{\mathbf{k}}}{\mu\partial}}=1+{\fra.c{2\pi e^{2}}{\silon qL^{2}}{\frac }{\mathbf {k}}{f_{\mathbf {k}}}{f_{\mathbf {k}}}}\&=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\frac q}}{\frac}}}}{\frac}}}}}{\frac}}}}}}}}{\frac}{\frac}}}{\frac}}}}}}}}}}}\end {alignedat}}

§

{\displaystyle

\kappa

}

는

\kappa

2D 스크리닝 파형 번호(2D 역스크리닝 길이)로 다음과 같이

\kappa

됩니다.

$\kappa ={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}$ = 2 $\kappa ={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}$ e $\kappa ={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}$ n $\kappa ={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}$ （ \ $displaystyle$ \ kappa = $μ$ ）（ \ $displaystyle$ \ pi e^ { $2$ } } { \ silon } $\kappa ={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}$ } { \ $frac$ { \ flac $n$ } { \ $flac$ n } { \ $frac$ n $}$

그런 다음, 2D 정적으로 스크리닝된 쿨롱 전위는 다음과 같이 주어진다.

V_{\rm {s}}(\mathbf {q} ,\omega =0)\equiv {\frac {V_{\mathbf {q} }}{\epsilon (\mathbf {q} ,0)}}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {q}{q+\kappa }}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon L^{2}}}{\frac {1}{q+\kappa }}

엡실론

L

^{2}}{\frac {1}{q+\kappa

2차원 페르미 가스의 화학적 잠재력은 다음과 같이 주어지는 것으로 알려져 있다.

\mu (n,T)={\frac {1}{\beta }}\ln {(e^{\hbar ^{2}\beta \pi n/m}-1)}

(

\mu (n,T)={\frac {1}{\beta }}\ln {(e^{\hbar ^{2}\beta \pi n/m}-1)}

,

\mu (n,T)={\frac {1}{\beta }}\ln {(e^{\hbar ^{2}\beta \pi n/m}-1)}

T )

\mu (n,T)={\frac {1}{\beta }}\ln {(e^{\hbar ^{2}\beta \pi n/m}-1)}

\mu (n,T)={\frac {1}{\beta }}\ln {(e^{\hbar ^{2}\beta \pi n/m}-1)}

\mu (n,T)={\frac {1}{\beta }}\ln {(e^{\hbar ^{2}\beta \pi n/m}-1)}

ln

\mu (n,T)={\frac {1}{\beta }}\ln {(e^{\hbar ^{2}\beta \pi n/m}-1)}

( e 2

\mu (n,T)={\frac {1}{\beta }}\ln {(e^{\hbar ^{2}\beta \pi n/m}-1)}

\mu (n,T)={\frac {1}{\beta }}\ln {(e^{\hbar ^{2}\beta \pi n/m}-1)}

\mu (n,T)={\frac {1}{\beta }}\ln {(e^{\hbar ^{2}\beta \pi n/m}-1)}

\mu (n,T)={\frac {1}{\beta }}\ln {(e^{\hbar ^{2}\beta \pi n/m}-1)}

n /

\mu (n,T)={\frac {1}{\beta }}\ln {(e^{\hbar ^{2}\beta \pi n/m}-1)}

-

\mu (n,T)={\frac {1}{\beta }}\ln {(e^{\hbar ^{2}\beta \pi n/m}-1)}

) {

displaystyle \ mu

(

n

, T )

= displayfrac {

1} { \

ln

{ ( e^ { \

hbar

^ {2} \

pi

n /

m

} -

1

}

\mu (n,T)={\frac {1}{\beta }}\ln {(e^{\hbar ^{2}\beta \pi n/m}-1)}

} ,

${\frac {\partial \mu }{\partial n}}={\frac {\hbar ^{2}\pi }{m}}{\frac {1}{1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m}}}$ μ μ ${\frac {\partial \mu }{\partial n}}={\frac {\hbar ^{2}\pi }{m}}{\frac {1}{1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m}}}$ n $=$ ${\frac {\partial \mu }{\partial n}}={\frac {\hbar ^{2}\pi }{m}}{\frac {1}{1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m}}}$ ${\frac {\partial \mu }{\partial n}}={\frac {\hbar ^{2}\pi }{m}}{\frac {1}{1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m}}}$ ${\frac {\partial \mu }{\partial n}}={\frac {\hbar ^{2}\pi }{m}}{\frac {1}{1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m}}}$ ${\frac {\partial \mu }{\partial n}}={\frac {\hbar ^{2}\pi }{m}}{\frac {1}{1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m}}}$ - ${\frac {\partial \mu }{\partial n}}={\frac {\hbar ^{2}\pi }{m}}{\frac {1}{1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m}}}$ ℏ 2 ${\frac {\partial \mu }{\partial n}}={\frac {\hbar ^{2}\pi }{m}}{\frac {1}{1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m}}}$ 1 - ${\frac {\partial \mu }{\partial n}}={\frac {\hbar ^{2}\pi }{m}}{\frac {1}{1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m}}}$ ${\frac {\partial \mu }{\partial n}}={\frac {\hbar ^{2}\pi }{m}}{\frac {1}{1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m}}}$ ${\frac {\partial \mu }{\partial n}}={\frac {\hbar ^{2}\pi }{m}}{\frac {1}{1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m}}}$ ${\frac {\partial \mu }{\partial n}}={\frac {\hbar ^{2}\pi }{m}}{\frac {1}{1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m}}}$ n / ${\frac {\partial \mu }{\partial n}}={\frac {\hbar ^{2}\pi }{m}}{\frac {1}{1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m}}}$ { $display$ { $frac$ \ $frac$ \ flac \ mu } { \ pi $}$ { \ $frac { 1$ - e ^ { - \ $hbar$ ^ { $}$ \ $pi$ } / m $}}$

1차원 시스템에 대한 실험

이번에는 치수를 낮추는 일반적인 경우를 고려해 보겠습니다.치수가 낮을수록 스크리닝 효과가 약해집니다.저차원에서는 일부 필드 라인이 차단 효과가 없는 장벽 재료를 통과한다.1차원 케이스에서는 스크리닝이 와이어 축에 매우 가까운 필드 라인에만 영향을 미치는 것으로 추측할 수 있습니다.

실제 실험에서는 단일 필라멘트와 같은 1D 사례를 다루더라도 3D 벌크 스크리닝 효과도 고려해야 합니다.토마스-페르미 스크리닝은 필라멘트와 동축 ^[5]실린더에 국한된 전자 가스에 적용되었다.KPt₂(CN)₄Cl_0.32·2.6의 경우H0₂ 필라멘트는 필라멘트와 실린더 사이의 영역 내 전위가 e $e^{-k_{\rm {eff}}r}/r$ - $e^{-k_{\rm {eff}}r}/r$ $e^{-k_{\rm {eff}}r}/r$ f $e^{-k_{\rm {eff}}r}/r$ / $e^{-k_{\rm {eff}}r}/r$ r {\ $displaystyle$ e $^{-k_{\rm$ { $eff}r}/r}$ 로 $e^{-k_{\rm {eff}}r}/r$ 변화하며 유효 스크리닝 길이는 금속 ^[5]백금의 약 10배이다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Lindhard, Jens (1954). "On the properties of a gas of charged particles" (PDF). Danske Matematisk-fysiske Meddelelser. 28 (8): 1–57. Retrieved 2016-09-28.
^ ^a ^b N. W. 애쉬크로프트와 N. D.Mermin, 솔리드 스테이트 물리 (토론토, Thomson Learning)
^ Andersen, Jens Ulrik; Sigmund, Peter (September 1998). "Jens Lindhard". Physics Today. 51 (9): 89–90. Bibcode:1998PhT....51i..89A. doi:10.1063/1.882460. ISSN 0031-9228.
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일반

Haug, Hartmut; W. Koch, Stephan (2004). Quantum Theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors (4th ed.). World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. ISBN 978-981-238-609-0.

[1] Lindhard, Jens (1954). "On the properties of a gas of charged particles" (PDF). Danske Matematisk-fysiske Meddelelser. 28 (8): 1–57. Retrieved 2016-09-28.

[Ashcroft-2] N. W. 애쉬크로프트와 N. D.Mermin, 솔리드 스테이트 물리 (토론토, Thomson Learning)

[3] Andersen, Jens Ulrik; Sigmund, Peter (September 1998). "Jens Lindhard". Physics Today. 51 (9): 89–90. Bibcode:1998PhT....51i..89A. doi:10.1063/1.882460. ISSN 0031-9228.

[4] Smith, Henrik (1983). "The Lindhard Function and the Teaching of Solid State Physics". Physica Scripta. 28 (3): 287–293. Bibcode:1983PhyS...28..287S. doi:10.1088/0031-8949/28/3/005. ISSN 1402-4896.

[:0-5] Davis, D. (1973). "Thomas-Fermi Screening in One Dimension". Physical Review B. 7 (1): 129–135. Bibcode:1973PhRvB...7..129D. doi:10.1103/PhysRevB.7.129.

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