랜덤 위상 근사

무작위 위상 근사치(RPA)는 응축물리학 및 핵물리학에서 근사법이다.1952년과 1953년 연재 논문에서 중요한 결과로 데이비드 봄과 데이비드 파인즈에 의해 처음 소개되었다.^[1][2][3]수십 년 동안 물리학자들은 물질 이론에 전자들 사이의 미세한 양자 기계적 상호작용의 영향을 포함시키려고 노력해 왔다.Bohm과 Pines의 RPA는 약한 선별된 Coulomb 상호작용을 설명하며 전자 시스템의 동적 선형 전자 반응을 설명하는 데 일반적으로 사용된다.

RPA에서 전자는 외부 동요 전위_ext V(r)와 선별 전위_sc V(r)의 합인 총 전위 V(r)에만 반응하는 것으로 가정한다.외부 퍼터빙 전위는 단일 주파수 Ω으로 진동하는 것으로 가정하여 모델은 self_RPA(k, Ω)으로 표시된 동적 유전체 함수를 통해 산출한다.

총 전위로부터의 유전적 함수에 대한 기여는 평균으로 가정하여 파동 벡터 k에서의 전위만이 기여한다.이것은 무작위 위상 근사치가 의미하는 것이다.린드하르트 유전체 함수라고도 불리는 결과 유전체 함수는 플라스몬을 포함한 전자 가스의 여러 특성을 정확하게 예측한다.^[5][6][7]

RPA는 1950년대 후반에 자유도를 과대계상한다는 비판을 받았고, 정당성을 요구하는 목소리가 이론 물리학자들 사이에서 격렬한 작업을 하게 되었다.세미나의 논문에서 Murray Gell-Mann과 Keith Brueckner는 RPA가 밀집한 전자 가스에 있는 선도 체인 파인만 도표의 합계에서 파생될 수 있다는 것을 보여주었다.^[8]

이러한 결과의 일관성은 중요한 명분이 되었고 50년대 후반과 60년대에 이론 물리학의 매우 강력한 성장을 자극했다.

용도: 상호 작용 보소닉 시스템의 RPA 접지 상태

The RPA vacuum ${\displaystyle \left \mathbf {RPA} \right\rangle }$ for a bosonic system can be expressed in terms of non-correlated bosonic vacuum ${\displaystyle \left \mathbf {MFT} \right\rangle }$ and original boson excitations ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}^{\dagger }}$

${\displaystyle \left \mathrm {RPA} \right\rangle ={\mathcal {N}}\mathbf {e} ^{Z_{ij}\mathbf {a} _{i}^{\dagger }\mathbf {a} _{j}^{\dagger }/2}\left \mathrm {MFT} \right\rangle }$

여기서 Z는 ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$Z$\leq$ 1$}$이(가) 있는 대칭 행렬이며

${\displaystyle {\mathcal{N}={\frac {\좌측\langle \langle \mathrm {MFT} \우측 \좌측 \좌측 \\mathrm {RPA} \right\rangle }{\좌측\langle \mathrm {MFT} \우측 \좌측 \좌측 \\mathrm {MFT} \right\rangele }}$

정규화는 다음을 통해 계산할 수 있다.

${\displaystyle \langle \mathrm {RPA} \mathrm {RPA} \rangle ={\mathcal {N}}^{2}\langle \mathrm {MFT} \mathbf {e} ^{z_{i}({\tilde {\mathbf {q} }}_{i})^{2}/2}\mathbf {e} ^{z_{j}({\tilde {\mathbf {q} }}_{j}^{\dagger })^{2}/2} \mathrm {MFT} \rangle =1}$

where ${\displaystyle Z_{ij}=(X^{\mathrm {t} })_{i}^{k}z_{k}X_{j}^{k}}$ is the singular value decomposition of ${\displaystyle Z_{ij}}$. ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {q} }}^{i}=(X^{\dagger })_{j}^{i}\mathbf {a}$$^{j}}$

${\displaystyle {\mathcal{{{n}}^{{n}=\sum _{m_{i}/2}}:{n_{n}}{m_{j}/2)^{n}{n!}}\langle \mathrm {MFT} \prod _{i\,j}({\tilde {\mathbf {q} }}_{i})^{2m_{i}}({\tilde {\mathbf {q} }}_{j}^{\dagger })^{2n_{j}} \mathrm {MFT} \rangle }$

${\displaystyle =\prod _{i}\sum _{m_{i}/2)^{2m_{i}}{\frac {(2m_{i}!}{m_{i}!^{2}}}=}$

${\displaystyle \prod _{i}\sum _{m_{i}}^{2m_{i}}{1/2} \선택 m_{i}={\sqrt{\det(1- Z ^{2}}}}}}}}}}}}}}}$

새것과 오래된 것의 연관성은 에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {a} }}_{i}=\left({\frac {1}{\sqrt {1-Z^{2}}}}\right)_{ij}\mathbf {a} _{j}+\left({\frac {1}{\sqrt {1-Z^{2}}}}Z\right)_{ij}\mathbf {a} _{j}^{\dagger }}$.

참조