리 대수값 차등형식

미분 기하학에서, Lie-algebra 값 형식은 Lie 대수학에서 값을 갖는 미분 형식이다.그러한 형태는 카르탄 연결 이론뿐만 아니라 주요 번들의 연결 이론에도 중요한 응용 프로그램을 가지고 있다.

형식 정의

다지관의 Li-algebra 값 차동 k-폼 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ M$}$은$($는) 번들$({\displaystyle }$g${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle M}$ )${\displaystyle {}^{}}$⊗ ${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle({\mathfak{g}\time M)\otimes \wedge ^{k}$$T^{*}M$ 여기서 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$은(는) Lie 대수, $T{\displaystyle {}^{}}$t ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ T$^{*}M}$은 $M{\displaystyle }$ ${\displaystystyle M}$의 등각 묶음이며 λ은^k k^th 외부 전력을 나타낸다.

웨지 제품

모든 리 대수학에는 이선형 리 브라켓 연산이 있기 때문에, 두 개의 리-알지브라값 형식의 쐐기 산출물을 브래킷 연산과 함께 구성하여 또 다른 리-알지브라값 형식을 얻을 수 있다.$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ 값$$ p-form $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$ $및{\displaystyle \mathfrak{}}$ g$$ ${\$ 값$$ 값 $q-form{\displaystyle }$ { ${\displaysty$ $\eta }$의 경우$$쐐기 제품$[\\\\\displaystymaxtempta]$이 제공된다$$.

${\displaystyle [\omega \wedge \eta ](v_{1},\dotsc ,v_{p+q}={1 \over (p+q)!}\sum _{\summa }}\sgnname {sgn}[\snma (1)},\dotsc ,v_{\snma (p)}),\eta (v_{\snma (p+1)},\dotsc ,v_{\nma (p+q)}),},}},},},},},}$

v가_i 접선 벡터가 있는 곳이 표기법은 관련된 두 작업을 모두 표시하기 위한 것이다.예를 들어, $\Omega {\displaystyle }${\$displaystyle \omega$}과(와) ${\displaystyle \eta$}이$$(가) Lie-algebra 값인 하나의 양식이라면, 그 중 하나는 다음과 같다.

${\displaystyle [\omega \a \eta ](v_{1},v_{2})={1 \over 2}([\omega(v_{1}),\eta(v_{2})-[\omega(v_{2}),\eta(v_{1}])={1 \1 \1 \}.}$

연산${\displaystyle }$[ ${\displaystyle \Omega \eta }$ ] ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [\omega \wedge \eta ]}$은(는) 만족스러운$$ $\Omega {\displaystyle \mathrm{}(M}$, ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle \Oomega(M,{\mathfak {g})$에 대한 이선 연산으로도 정의할 수 있다$$.

$[\displaystyle [(g\otimes \cHB )\properties (h\otimes \cH]=[g,h]\otimes (\put \times \poss \poss )}}$

모든 $g{\displaystyle }$, ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\$ 및$$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle (M}$,${\displaystyle R\mathbb{}}$ )$${\$displaystyle \alpha$,\$beta \inOomega(M,\mathb {R} )}$.

일부$$ 저자들은${\displaystyle }$[${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle ]}$ ] ] ] ] ${\displaystyle ]}$ ] ] ] ] ] ] ] ] ] ]$$$}$ 대신 [\$displaystyle [\omega \wedge \eta$$]}}$라는 표기법을 사용해 왔다$.$The notation ${\displaystyle [\omega ,\eta ]}$, which resembles a commutator, is justified by the fact that if the Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is a matrix algebra then ${\displaystyle [\omega \wedge \eta ]}$ is nothing but the graded commutator of ${\displaystyle \omega }$ and $$${\displaystyle \eta }$, i. e. if ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{p}(M,{\mathfrak {g}})}$ and ${\displaystyle \eta \in \Omega ^{q}(M,{\mathfrak {g}})}$ then

$\displaystyle [\omega \epa \eta ]=\omega \eta -(-1)^{pq}\eta \eta \ega,}$

where ${\displaystyle \omega \wedge \eta ,\ \eta \wedge \omega \in \Omega ^{p+q}(M,{\mathfrak {g}})}$ are wedge products formed using the matrix multiplication on ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

운영

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle g}$→ ${\displaystyle h\mathfrak{}}$ ${\${\$mathfrak{h}}}$을 리 대수동형(Lie 대수학)으로 한다.If φ is a ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-valued form on a manifold, then f(φ) is an ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$-valued form on the same manifold obtained by applying f to the values of φ: ${\displaystyle f(\varphi )(v_{1},\dotsc ,v_{k})=f(\v$$arphi(v_{1},\dotsc ,v_{k$

마찬가지로 f가 $\prod {\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}\mathfrak{}}$ g ${\$1}^{k$}{\mathfrak{g}}}$에 멀티라인 기능인 경우, put을^[1] 한다$.$

${\displaystyle f(\varphi_{1},\dotsc ,\varphi_{k})(v_{1},\dotsc{q,v_})={1\over q!}\sum _{\sigma}\operatorname{sgn}(\sigma)f(\varphi_{1}(v_{\sigma(1)},\dotsc ,v_{\sigma(q_{1})}),\dotsc ,\varphi _ᆳ(v_{\sigma(q-q_{k}+1)},\dotsc ,v_{\sigma(q)}))}.$

어디 q)q1+…+qk과 φi 있g{\displaystyle{\mathfrak{g}}}qi-forms -valued.같은 공식은 V-valued 형태 f를 정의하는 데 사용될 수 있는 벡터 공간 V,(φ, η){\displaystyle f(\varphi ,\eta)}때 주어진다.

${\displaystyle f:{\mathfrak{g}}}V\to V\times.$

는 나머지 변수에 지도, φ은 g{\displaystyle{\mathfrak{g}}}-valued 형태와 η은V-valued 형태이다.참고했을 때,

(*)f([), y], z))f(x, f(y, z))-f(y, f(x, z)),.

V에;g{\displaystyle{\mathfrak{g}의 액션을 주는 것에 f양}}를 주는 것 즉, f은 그 표현을 결정한다.

${\displaystyle \rho:{\mathfrak{g}}\to V,\rho())y=f(x, y)}.$

그리고, 거꾸로, 어떤 표현 ρ은 상태(*)과 f를 결정한다.만약 f(), y))[), y]{\displaystyle fᆭ=[x, y]}(g의 브래킷{\displaystyle{\mathfrak{g}}})예를 들어 우리ρ=광고, 수반 표현과[⋅ ∧ ⋅]{\displaystyle[\cdot \wedge \cdot]}위의 정의 회복된다.(f, ρ 사이의 높이 관계 또한 계급과 광고 사이의 관계와 같은 점에 유의한다.).

일반적으로 α가 g ${\displaystyle \mathfrak{l}}$ ${\displaystyle (V}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {\mathfak{gl}(V)}$ 값$$ p-형식이고 and이 V 값 q-형식이라면 f(T, x) = Tx일 때 α⋅ = f(α, φ)를 더 일반적으로 쓴다. 명시적으로

${\displaystyle(\cdot \pi )(v_{1},\dotsc ,v_{p+q}={1 \over (p+q)!}\sum _{\summa _}\sgn}(\sgn})(v_{\subma (1)},\dotsc ,v_{\subma (p)}\phi(v_{\p+1)},\dotsc ,v_{\subma (p+q)}).}$

이 표기법을 사용하면 다음과 같은 예를 들 수 있다.

${\displaystyle \mathrm{ad}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle \alpha }$) ${\displaystyle \cdot }$=${\displaystyle }$[${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \varphi }$ ] ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \operatorname {ad}(\cdot )\phi =[\cdot \ph \phi$ $]\}.$

예:Ω이 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ -값$$ 단일 형식(예: 연결 양식)인 경우 vector 벡터 공간 V에 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(를) 표시하고 φ V 값 0 형식인 경우

$\displaystyle \rho ([\omega \open \omega ])\cdot \varphi =2\rho (\omega )\cdot \varphi.}$^[2]

조정 번들에 값이 있는 양식

P는 구조 그룹 G와 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$= ${\displaystyle \mathrm{Lie}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle {\mathfrac$ {$g}=\operatorname {Lie}(G)}$과(와) 함께 매끄러운 주 번들로 하자$.$ G는 연관을 통해 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ {$g}$에 작용하므로 다음과 같은 번들을 구성할 수 있다.

${\displaystyle {\mathfrak{g}_{P}=P\times _{\operatorname {Ad}{\mathfrak {g}.}$

P의 기저 공간에 있는 모든 $G{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle P_{}}$ ${\$ 값$$ 형식은 조정형 P의 모든 텐세서리 형식과 일대일 자연적으로 일치한다.

참고 항목

• 모레르-카르탄 형식
• 보조 번들

메모들

참조

• S. 코바야시, K. 노미즈.미분 기하학의 기초 (Wiley Classic Library) 제1, 2권.

외부 링크

• 단일형태로 평가된 Lie 대수학의 웨지 제품
• nLab에서 Lie-algebra의 가치 있는 형태로 된 그룹화