알파 재귀론

In recursion theory, α recursion theory is a generalisation of recursion theory to subsets of admissible ordinals ${\displaystyle \alpha }$. An admissible set is closed under ${\displaystyle \Sigma _{1}(L_{\alpha })}$ functions, where ${\displaystyle L_{\xi }}$ denotes a rank of Godel's constructible 위계질서의${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$은(는) L ${\displaystyle {\alpha }_{}}${\$displaystyle L_{\lapa }}}$이(가) 크립케-플레이크 집합 이론의 모델이라면 허용되는 서수이다.$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ 뒤에 오는 것은 고정된 것으로 간주된다$$.

$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$} 재귀에$$ 있는 연구 대상은 $\alpha {\displaystyle }${\$displaystyle \alpha$}의 하위 집합이다$.$ 이러한 집합은 다음과 같은 특성을 가지고 있다고 한다.

• 세트 $A{\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A\subseteq \alpha}$은(는) ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $\alpha$ $}$ -recurruriously-enuceptable$$ $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}${\$displaystyle$ \$Sigma _{$$1$}에 대해 정의$$ 가능하다$.$^[1]
• A와 $\alpha {\displaystyle }$ 모두 $\alpha {\displaystyle }$ {\$displaystyle$ $\alpha$$$} -recursive$$$($$A$와 α ${\displaystyle \alpha }$$,$${\displaystyle }$\$displaystyle \alpha$인 경우 $\alpha {\displaystyle }$${\displaystyle \alpha }$ -recursursuous-enuriptive$$.$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$ -recursive$$ 집합은 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $L_{\displaystyle$$L}$의 정의로$L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$+ $1$의 멤버라는 것은 주목할 만하다$.$
• $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$의 멤버는 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ -finite라고 불리며$$ 고전적 재귀론에서 유한수와 유사한 역할을 한다.

$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$과(와$$) $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$을$($^[2]를) α에 매핑하는 것과 유사한 정의도 있다.

• A function mapping ${\displaystyle \alpha }$ to ${\displaystyle \alpha }$ is ${\displaystyle \alpha }$-recursively-enumerable iff its graph is ${\displaystyle \Sigma _{1}}$-definable in ${\displaystyle (L_{\alpha },\in )}$.
• 함수 매핑 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$과 α$${\$displaystyle \alpha }$ 사이에 α$${\$displaystyle$$$\$alpha }$ -recursive가 해당 그래프가${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$${\displaystyle {delta}_{}}$ $_$$1$}이면$$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyleast}$이다$.$
• Additionally, a function mapping ${\displaystyle \alpha }$ to ${\displaystyle \alpha }$ is ${\displaystyle \alpha }$-arithmetical iff there exists some ${\displaystyle n\in \omega }$ such that the function's graph is ${\displaystyle \Sigma _{n}}$-definable in ${\displaystyle (L_$$\\\in$

재귀 이론과 α 재귀 이론 사이의 추가 연결은 그릴 수 있지만, 이를 공식화하기 위해 명시적인 정의는 아직 작성되지 않았을 수 있다.

• $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ -정의 가능한${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$, ${\displaystyle \in }$ $){\displaystyle (L_{\alpha }}, in$)은 원시 재귀 함수와 유사한 역할을 한다$$.^[2]

우리는 R이 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ 재귀적으로$$ 열거되고 R의 모든 구성원이${\displaystyle }$is ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle J,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle H,J,K\rangele$} 형식인 경우$$, H, J, K는 모두 α-핀라이트인 경우, R은 감소 절차라고 말한다.

${\displaystyle A_{}}$는 $다음$과 같은 R 0 ,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$0},$R_{$1}절감$$ 절차가 있을 경우 B에서 α-재귀라고 한다.

${\displaystyle K\subseteq A\왼쪽 화살표 \exist H:\exist J:[\langle H,J,K\angle \in R_{0}\wedge H\subseteq \alpha /B],}$

${\displaystyle K\subseteq \alpha /A\좌우타로우 \exists H:\exist J:[\langle H,J,K\rangle \in R_1}\wedge H\subseteq \subseteq \alpha /B].}$

A가 B에서 재귀적인 경우 이것은 $A{\displaystyle {}_{}}$ B ${\$ _{\$alpha }B}$라고 쓰여 있다$.$ 이 정의에 따르면 A가 재귀적인 경우에만 $\varnothing {\displaystyle }$ ${\$빈 세트)로 재귀된다.그러나 B에서 A가 재귀적이라는 것은 A가 ${\displaystyle {\sigma \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$[ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle ]}$) ${\displaystyle \Sigma _{1}(L_{\alpha }[B])}$인 것과 같지 않다$.$

우리는 β${\displaystyle \mathrm{}\beta \alpha }$: ${\displaystyle A}$β β ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$:$A\cap \beta \in L_{\alpha }}$ 또는$$ A의 모든 초기 부분이 α-핀라이트인 경우 다른 말로 하자.

결과 α 재귀

쇼어의 분할 정리:$A$를 α ${\displaystyle \alpha }$ 반복적으로$$ 열거하고 규칙적으로 유지하십시오.There exist ${\displaystyle \alpha }$ recursively enumerable ${\displaystyle B_{0},B_{1}}$ such that ${\displaystyle A=B_{0}\cup B_{1}\wedge B_{0}\cap B_{1}=\varnothing \wedge A\not \leq _{\alpha }B_{i}(i<2).$$}$

쇼어 밀도 정리:Let A, C be α-regular recursively enumerable sets such that ${\displaystyle \scriptstyle A<_{\alpha }C}$ then there exists a regular α-recursively enumerable set B such that ${\displaystyle \scriptstyle A<_{\alpha }B<_{\alpha }C}$.

Barwise has proved that the sets ${\displaystyle \Sigma _{1}}$-definable on ${\displaystyle L_{\alpha ^{+}}}$ are exactly the sets ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$-definable on ${\displaystyle L_{\alpha }}$, where ${\displaystyle \alpha ^{+}}$ denotes the next admissible$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha },$$and{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma }$보다 높은 순서는 레비 계층 구조에서 가져온 것이다$$.

분석 관련

$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ -recursion의$$ 일부 결과는 2차 산술에 관한 유사한 결과로 번역될 수 있다.그 이유는 $L{\displaystyle }${\$displaystyle L$}이(가) 정수의 집합으로 구성된 2차 산술 언어에$$ $대한{\displaystyle }$ L$${\$displaystyle$L}의 아날로그인 Ramidated 분석 계층 구조와 가지는$$ 관계 때문이다.^[3]

실제로 1차 논리만을 다룰 때는 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\Omega }_{}}$= ${\displaystyle \text{HF}}$ ${\${\displaystyle L_}={\textrm {}에 대한 결과에 대해 충분히 일치할 수 있다.$HF$ 산술과 레비 계층 구조는 서로 교환할 수 있다.예를 들어 ${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$} - $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\Omega }_{}}${\$displaystyle L_{\omega$ $\}\}$에서 정의$$ 가능한 경우 세트는 반복적인 것이며, 여기서 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma }$은(으) 레비 계층의 일부분임.

참조

• Gerald Sacks, Springer Verlag, 1990년 https://projecteuclid.org/euclid.pl/1235422631
• 로버트 소어, 반복적으로 열거할 수 있는 세트와 학위, 스프링어 버랙, 1987년 https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183541465
• Keith J. Devlin, 구성 가능한 계층 구조 소개 (p.38) 노스 홀랜드 출판사, 1974년
• J. Barwise, Admitable Sets and Structures. 1975

인라인 참조