하디 분포

하디 분포
	확률질량함수 가로축은 홀 스코어 n을 나타냅니다.세로축은 구멍의 파가 주어졌을 때 구멍 점수 n의 확률을 나타내며 p = 0.20 및 q = 0.10의 확률을 나타냅니다.파란색 점은 파3의 확률, 파4의 녹색 점 및 파5의 빨간색 점을 나타냅니다. 함수는 n의 정수 값에서만 정의됩니다.연결선은 눈을 위한 가이드일 뿐입니다.
	누적분포함수 가로축은 홀 스코어 n을 나타냅니다.세로축은 구멍의 파가 주어졌을 때 구멍 점수 n의 누적 확률을 나타내며 p = 0.20 및 q = 0.10의 확률을 나타냅니다.파란색 점은 파3의 확률, 녹색 점은 파4의 확률, 빨간색 점은 파5의 확률을 나타냅니다.누적 확률 밀도(CDF)는 n의 정수에서 불연속적이며 다른 모든 곳에서는 평평합니다. 이는 분포된 변수가 정수 값만 차지하기 때문입니다.
표기법
매개변수	(, ) in(,1 ∈ (0, 1p+\in (0,1)} 2, 3...{\displaystyl m = 1, 2,ots }
지지하다	N 0 n\inN} _{0} (1부터 시작하는 자연수)
PMF	형태가 홀수: 양식은 짝수: 와 함께 그리고.
의미하다
MGF	형태가 홀수: 양식은 짝수: 와 함께 그리고.

확률 이론과 통계학에서 하디 분포는 주어진 골프 선수에 대한 홀 스코어의 확률을 나타내는 이산 확률 분포입니다.이는 하디(Hardy, 1945)의 기본 가정에 근거한 것으로, 다음과 같은 세 가지 유형의 샷이 있습니다.

양호 $(G)$   ${\displaystyle(G$  불량 $(B)$   ${\displaystyle(B)}$  및 보통 $(B)$  $(O)$   ${\displaystyle(O$

좋은 히트의 $p$ 이 p $p$ 이고 $p$ 나쁜 히트의 $q$ 이q {\ $displaystyle$ q $}$ 이고, 보통의 $1-p-q$ 의 $1-p-q$ 이 $1-p-q$ - p $1-p-q$ - q {\displaystyle $1-p-q}$ 입니다 $1-p-q$ Hardy는 추가로 할당됩니다.

2 ~ 좋은 스트로크의 값, 0 ~ 나쁜 스트로크의 값, 1 ~ 보통 스트로크의 값.

값의 합이 홀의 파 값보다 크거나 같으면 해당 타수는 해당 홀에서 얻은 점수와 같습니다.파3의 버디는 다음과 같은 세 가지 방법으로 나올 수 있습니다. $OG$ , $GO$ and $GG$ , respectively, with probabilities $(1-p-q)\,p$ , $p\,(1-p-q)$ and $p^{2}$ .

정의들

확률질량함수

이산 확률 변수 $X$ 는 다음과 같은 방법으로 주어진 확률 질량 함수를 갖는 경우 $m$ 매개 변수 $p$ ${\displaystyle p},$ $q$ ${\displaystyle q},$ $m$ $m$ 과 함께 하디 분포를 갖는다고 합니다.

$m$ m이 홀수이면 $}}}^{m}{n-1 \n-j}{q}^{n-j}\left(A_{j,m}+B_{j,m}\right$

그리고.

$P\left(X=n\right)\,=\,\sum _{j={\frac {m}{2}}}^{m}{n-1 \choose n-j}{q}^{n-j}\left(A_{j,m}+B_{j,m}\right)$ $P\left(X=n\right)\,=\,\sum _{j={\frac {m}{2}}}^{m}{n-1 \choose n-j}{q}^{n-j}\left(A_{j,m}+B_{j,m}\right)$ $P\left(X=n\right)\,=\,\sum _{j={\frac {m}{2}}}^{m}{n-1 \choose n-j}{q}^{n-j}\left(A_{j,m}+B_{j,m}\right)$ $P\left(X=n\right)\,=\,\sum _{j={\frac {m}{2}}}^{m}{n-1 \choose n-j}{q}^{n-j}\left(A_{j,m}+B_{j,m}\right)$ $P\left(X=n\right)\,=\,\sum _{j={\frac {m}{2}}}^{m}{n-1 \choose n-j}{q}^{n-j}\left(A_{j,m}+B_{j,m}\right)$ = $P\left(X=n\right)\,=\,\sum _{j={\frac {m}{2}}}^{m}{n-1 \choose n-j}{q}^{n-j}\left(A_{j,m}+B_{j,m}\right)$ j = m 2 $P\left(X=n\right)\,=\,\sum _{j={\frac {m}{2}}}^{m}{n-1 \choose n-j}{q}^{n-j}\left(A_{j,m}+B_{j,m}\right)$ m $P\left(X=n\right)\,=\,\sum _{j={\frac {m}{2}}}^{m}{n-1 \choose n-j}{q}^{n-j}\left(A_{j,m}+B_{j,m}\right)$ ( $P\left(X=n\right)\,=\,\sum _{j={\frac {m}{2}}}^{m}{n-1 \choose n-j}{q}^{n-j}\left(A_{j,m}+B_{j,m}\right)$ - 1 n - j ) q n - j ( A j, m + B j, m ) {\displaystyle P\lef $P\left(X=n\right)\,=\,\sum _{j={\frac {m}{2}}}^{m}{n-1 \choose n-j}{q}^{n-j}\left(A_{j,m}+B_{j,m}\right)$ (X = n\righ $P\left(X=n\right)\,=\,\sum _{j={\frac {m}{2}}}^{m}{n-1 \choose n-j}{q}^{n-j}\left(A_{j,m}+B_{j,m}\right)$ )\,=\,\sum $P\left(X=n\right)\,=\,\sum _{j={\frac {m}{2}}}^{m}{n-1 \choose n-j}{q}^{n-j}\left(A_{j,m}+B_{j,m}\right)$ _{j={\frac {m}{2}}^{m}^{n-j}\left(A_{j,m}+B_{j,m}\right)}, m 이 짝수인 경우

와 함께

$A_{j,m}\,=\,{j-1 \choose 2\,j-m-1}{p}^{m-j+1}\left(1-p-q\right)^{2\,j-m-1$

그리고.

$B_{j,m}\,=\,{j \choose 2\,j-m}{p}^{m-j}\left(1-p-q\right)^{2\,j-m$

어디에

$m$ 은 구멍의 파( $m=1,2,\ldots$ $=$ $,$ 2, … {\displaystyle m $=$ 1, 2,\ldots })

$n$ 은 m {\displaystyle m}이 짝수일 경우 골프 홀 스코어 ( $n={\frac {m}{2}},{\frac {m}{2}}+1,{\frac {m}{2}}+2,\ldots$ $=$ $2,$ m 2 + 1, m 2 + 2, … {\displaystyle n $=$ {\frac {m}{2}}, {\frac {m}{2}}+1, {\frac {m}}+2,\ldots })

$n$ 은 m {\displaystyle m}이 홀수인 경우 골프 홀 스코어 ( $n={\frac {m+1}{2}},{\frac {m+1}{2}}+1,{\frac {m+1}{2}}+2,\ldots$ $=$ $n={\frac {m+1}{2}},{\frac {m+1}{2}}+1,{\frac {m+1}{2}}+2,\ldots$ + 1 $2,$ m + 1 2 + 2, … {\displaystyle n $=$ {\frac {m+1}{2}}, {\frac {m+1}{2}}+1, {\frac {m+1}{2}+2,\ldots })

$p$ 는 좋은 샷의 확률입니다( ${\displaystyle 0<semantics><mrow class=$ < p ${\displaystyle 0<semantics><mrow class=$ < ${\displaystyle 0<semantics><mrow class=$ ${\displaystyle 0<semantics><annotation encoding=$ 0 < ${\displaystyle 0<semantics><annotation encoding=$ < ${\displaystyle 0<semantics><annotation encoding=$ )

$q$ 는 잘못된 샷의 확률입니다( 0 $0<q<1$ < $0<q<1$ < $0<q<1$ ${\displaystyle 0<q<1$ ( ${\displaystyle 0<semantics>0<mrow class=$ < ${\displaystyle 0<semantics><mrow class=$ + ${\displaystyle 0<semantics><mrow class=$ < ${\displaystyle 0<semantics><mrow class=$ ${\displaystyle 0<semantics><annotation encoding=$ 0 ${\displaystyle 0<semantics><annotation encoding=$ ${\displaystyle 0<semantics><annotation encoding=$ + ${\displaystyle 0<semantics><annotation encoding=$

모멘트 생성 기능은 다음과 같이 제공됩니다.

$M_{m}\left(t\right)=\sum _{j={\frac {m}{2}}+{\frac {1}{2}}}^{m}{\frac {\left(X_{\it {jm}}+Y_{\it {jm}}\right)~e^{j~t}}{\left(1-e^{t}~q\right)^{j}}}$ $Y_{\it {jm}}\right)~e^{j~t}}{\left(1-e^{t}~q\right)$ m이 홀수인 경우 $^{j$

그리고.

$M_{m}\left(t\right)=\sum _{j={\frac {m}{2}}}^{m}{\frac {\left(X_{\it {jm}}+Y_{\it {jm}}\right)~e^{j~t}}{\left(1-e^{t}~q\right)^{j}}}$ $Y_{\it {jm}}\right)~e^{j~t}}{\left(1-e^{t}~q\right)$ m이 짝수이면 $^{j$

와 함께

$X_{\it {jm}}\,=\,{j-1 \선택 2\,j-m-1}{p}^{m+1-j}\left(1-p-q\right)^{2\,j-m-1$

그리고.

$Y_{\it {jm}}\,=\,{j \choose 2\,j-m}{p}^{-j+m}\left(1-p-q\right)^{2\,j-m$

각 원시 모멘트와 각 중심 모멘트는 모멘트 생성 함수로 쉽게 결정할 수 있지만, 관련된 공식이 너무 커서 여기서 제시할 수 없습니다.

파3, 파4, 파5의 하디 분포

파3의 경우:

{\begin{aligned}P\left(T_{3}=n\right)&={n-1 \choose n-2}{q}^{n-2}\left ({p}^{2}+2\,p\,\left(1-p-q\right)+\&+{n-1 \choose n-3}{q}^{n-3}\left(p\,\left(1-p-q\right)^{2}+\left(1-p-q\right)^{3}\right)\end{align}

파4의 경우:

{\begin{aligned}P\left(T_{4}=n\right)&={n-1 \choose n-2}{q}^{p}{2}+\&+{n-1 \choose n-3}{q}^{n-3}\left(2\,{p}^{2}\left(1-p-q\right)^{2}\p\,\left(1-p-q\right)^{2}+\&+{n-1 \choose n-4}{q}^{n-4}\left(p\,\left(1-p-q\right)^{3}+\left(1-p-q\right)^{4}\right)}\end{align}

$P(T_{3}=n)$ = $P(T_{3}=n)$ ) ${\$ displaystyle P(T_{3} = n)}와의 유사성을 주목하십시오. 파5의 경우:

{\begin{aligned}P\left(T_{5}=n\right)&={n-1 \choose n-3}{q}^{n-3}\left ({p}^{3}+3\,{p}^{2}\left(1-p-q\right)\right)+\&+{n-1 \choose n-4}{q}^{n-4}\left(3\,{p}^{2}\left(1-p-q\right)^{2}+,p\,\left(1-p-q\right)^{3}\right)+\&+{n-1 \choose n-5}{q}^{n-5}\left(p\,\left(1-p-q\right)^{4}+\left(1-p-q\right)^{5}\end{align}

$P(T_{3}=n)$ = $P(T_{3}=n)$ ) ${\$ $displaystyle$ $P(T_{$ 3}= $n)}$ 및 P(T4 = n) {\displaystyle P(T_{4}=n)} 공식과 유사합니다.

역사

골프에서 홀에서의 타수의 빈도분포를 기술하는 확률분포를 만들려고 할 때 가장 간단한 설정은 다음 두 가지 유형의 타수만 있다고 가정하는 것입니다.

 $좋은$  스트로크p {\ $displaystyle$  p $}$  확률이  $1-p$  - $1-p$   ${\displaystyle$  1-p $}$  인 나쁜 $p$  스트로크 $1-p$  반면  $좋은$  샷은 1을 얻고 나쁜 샷은 0을 얻습니다.

샷 값의 합이 홀의 파와 같으면 홀에 필요한 스트로크 수이 됩니다.이 설정으로는 버디가 불가능한 것은 분명합니다.결국, 한 사람이 얻을 수 있는 가장 적은 타수는 홀의 파입니다.하디(1945)도 이 사실을 깨닫고 좋은 ( $(G)$ 과 나쁜 $(G)$ $(B)$ ( $(B)$ $(B)$ 두 가지 유형의 획만 있다고 가정하지 말자는 아이디어를 떠올렸을 것입니다 $(B)$

good  $(G)$  with probability  $p$      bad  $(B)$  with probability  $q$      ordinary  $(O)$  with probability  $1-p-q$ .

사실, 하디는 좋은 샷은 수퍼샷, 나쁜 샷은 서브샷이라고 불렀습니다.^[1] 민튼은 나중에 하디의 슈퍼샷을 훌륭한 샷 $(E)$ ( $(E)$ ${\displaystyle (E)},$ 하디의 $(E)$ 서브샷을 나쁜 샷 $(B)$ $(B)$ 이라고 했는데 $(B)$ ^[2] 이 글에서는 민튼의 훌륭한 샷을 좋은 샷 $(G)$ ( $(G)$ $(G)$ 이라고 합니다 $(G)$ 하디는 1945년에 세 종류의 샷을 생각해 냈고,그러나 홀 스코어의 확률 분포의 실제 유도는 2012년까지 반데르 벤에 의해 주어지지 않았습니다.^[3]

Hardy는 뇌졸중이 잘 될 확률이 뇌졸중이 잘 될 확률과 같다고 가정하였는데, 즉 $p=q$ = $p=q$ ${\$ displaystyle p = q}. 이는 Kang에 의해 확인되었습니다.

하디의 모델은 모든 스트로크가 서로 독립적이고 좋은 샷이 나올 확률이 나쁜 샷이 나올 확률과 같다는 점에서 매우 간단합니다.^[4]

돌이켜보면, Van der Ven(2013)의 표 2의 데이터가 보여주듯이, Hardy가 옳았을지도 모릅니다.이 표는 2012년 브리티시 오픈 챔피언십 1라운드와 2라운드의 1-18번 홀에 대한 $추정$ p{\ $displaystyle$ p $p$ - 및 $q$ {\ $displaystyle q}$ - 값을 $q$ 보여줍니다.평균값은 각각 0.0633과 0.0697이었습니다.나중에 Cohen(2002)은 p $p$ 와 $p$ $q$ $q$ 이(가) 달라야 한다는 $q$ 아이디어를 소개했습니다.강씨는 이에 대해 이렇게 말합니다.

Cohen은 한 걸음 더 나아가 좋은 샷과 나쁜 샷의 확률이 다를 수 있다는 가능성을 포함합니다.^[4]

하디 분포의 경우 $p$ $p$ 및 $q$ $q$ 의 $p$ 값이 다를 수 있습니다 $q$ .

착화도

하디 분포는 단일 플레이어의 홀 스코어의 확률 분포를 나타냅니다.적합도 검정(적합도 검정 참조)을 수행하여 Hardy 분포의 적용 여부를 확인하려면 여러 관측치가 필요합니다.이것은 한 개인이 같은 홀을 여러 번 플레이하게 함으로써 할 수 있습니다.적합도 검정에서는 순수한 복제를 가정합니다(복제(통계) 참조).홀을 반복 플레이하는 동안 선수의 골프 능력에 변화가 없어야 한다는 뜻입니다.예를 들어, 지속적인 학습 과정이 있어서는 안 됩니다(학습 참조).그런 영향을 배제할 수 없습니다.이 문제를 해결하는 하나의 방법은 대략 동일한 골프 숙련도를 가진 것으로 가정할 수 있는 여러 명의 선수들을 사용하는 것입니다.그런 선수들이 바로 프로골프대회 참가자들입니다(PGA투어 참조).적합도 테스트를 사용하기 전에 먼저 참가자들의 골프 실력이 거의 동일한지 확인해야 합니다.예를 들어 토너먼트의 첫날 홀 스코어와 둘째 날 홀 스코어 사이의 피어슨 상관 계수를 사용하여 각 홀마다 개별적으로 수행할 수 있습니다.참가자들 사이에 체계적인 차이가 없다면(클래식 테스트 이론 참조), 홀에서 1일차 점수와 2일차 점수 사이의 상관관계(상관관계 참조)는 0과 크게 다르지 않습니다(통계적 유의성 참조).이는 통계적으로 쉽게 테스트할 수 있습니다.Van der Ven의 연구에서 하디 분포의 적합도 검정 결과는 St Andrews Golf Club에서 열린 2012년 오픈 챔피언십의 홀별 점수를 사용하여 보고되었습니다.^[5]분포는 각 구멍에 대해 개별적으로 테스트되었습니다.Pearson의 카이제곱 검정을 사용하여 관측된 구멍 점수의 표본 빈도가 Hardy 분포에 따라 예상 빈도와 유의한 차이가 있는지 여부를 확인했습니다.관측 빈도와 예상 빈도 간의 적합도는 대체로 매우 만족스러웠습니다.

참고문헌

메모들

^ Hardy, G.H. (1945). "A mathematical theorem about golf". The Mathematical Gazette. 29: 226–227. doi:10.2307/3609265. JSTOR 3609265.
^ Minton, R. B. (2010). "G. H. Hardy's Golfing Adventure". In Gallian, Joseph A. (ed.). Mathematics and sports. Mathematical Association of America. doi:10.5948/UPO9781614442004. ISBN 9780883853498.
^ van der Ven, A.H.G.S. (2012). "The Hardy distribution for golf hole-by-hole scores". The Mathematical Gazette. 96: 428–438. doi:10.1017/S0025557200005052. S2CID 233357735.
^ ^a ^b Kang, J. (2017). "Brilliance or steadiness? A suggestion of an alternative model to Hardy's model concerning golf (1945)". The Mathematical Gazette. 101 (551): 250–260. doi:10.1017/mag.2017.64. S2CID 148948951.
^ van der Ven, A.H.G.S. (2013). "Applying the Hardy Distribution to the Hole Scores of the 2012 British Open Championship". International Journal of Golf Science. 2 (2): 152–161. doi:10.1123/ijgs.2013-0014.

[1] Hardy, G.H. (1945). "A mathematical theorem about golf". The Mathematical Gazette. 29: 226–227. doi:10.2307/3609265. JSTOR 3609265.

[Minton-2] Minton, R. B. (2010). "G. H. Hardy's Golfing Adventure". In Gallian, Joseph A. (ed.). Mathematics and sports. Mathematical Association of America. doi:10.5948/UPO9781614442004. ISBN 9780883853498.

[3] van der Ven, A.H.G.S. (2012). "The Hardy distribution for golf hole-by-hole scores". The Mathematical Gazette. 96: 428–438. doi:10.1017/S0025557200005052. S2CID 233357735.

[Kang-4] Kang, J. (2017). "Brilliance or steadiness? A suggestion of an alternative model to Hardy's model concerning golf (1945)". The Mathematical Gazette. 101 (551): 250–260. doi:10.1017/mag.2017.64. S2CID 148948951.

[5] van der Ven, A.H.G.S. (2013). "Applying the Hardy Distribution to the Hole Scores of the 2012 British Open Championship". International Journal of Golf Science. 2 (2): 152–161. doi:10.1123/ijgs.2013-0014.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

확률질량함수 가로축은 홀 스코어 $n$ 을 나타냅니다.세로축은 구멍의 파가 주어졌을 때 구멍 점수 $n$ 의 확률을 나타내며 $p$ = 0.20 및 q = 0.10의 확률을 나타냅니다.파란색 점은 파3의 확률, 파4의 녹색 점 및 파5의 빨간색 점을 나타냅니다. 함수는 $n$ 의 정수 값에서만 정의됩니다.연결선은 눈을 위한 가이드일 뿐입니다.
누적분포함수 가로축은 홀 스코어 $n$ 을 나타냅니다.세로축은 구멍의 파가 주어졌을 때 구멍 점수 $n$ 의 누적 확률을 나타내며 $p$ = 0.20 및 q = 0.10의 확률을 나타냅니다.파란색 점은 파3의 확률, 녹색 점은 파4의 확률, 빨간색 점은 파5의 확률을 나타냅니다.누적 확률 밀도(CDF)는 $n$ 의 정수에서 불연속적이며 다른 모든 곳에서는 평평합니다. 이는 분포된 변수가 정수 값만 차지하기 때문입니다.
표기법	$\operatorname {Hardy}(p,q;m)$
매개변수	$p,q\in (0,1)$ $∈$ ( $p+q\in (0,1)$ , $1$ ) ${\displaystyle p,q\$ in $p,q\in (0,1)$ ( $p+q\in (0,1)$ ,1 $p$ $p,q\in (0,1)$ $q$ ∈ (0, 1 $) {\displaystyle$ p+ $m=1,2,3,\dots$ \in (0,1)} $m=1,2,3,\dots$ $p,q\in (0,1)$ $m=1,2,3,\dots$ $=$ $1,$ 2, 3...{\displaystyl $p,q\in (0,1)$ m = 1, 2, $p,q\in (0,1)$ ots }
지지하다	$n ∈$ N 0 ${\displaystyle$ n\in $\mathbb {$ N} _{0} (1부터 시작하는 자연수)
PMF	형태가 홀수: $P\left(X=n\right)\,=\,\sum _{j={\frac {m+1}{2}}^{m}{n-1 \choose n-j}{q}^{n-j}\left(A_{j,m}+B_{j,m}\right)$ 양식은 짝수: $P\left(X=n\right)\,=\,\sum _{j={\frac {m}{2}}^{m}}^{n-j}\left(A_{j,m}+B_{j,m}\right)$ 와 함께 $A_{j,m}\,=\,{j-1 \choose 2\,j-m-1}{p}^{m-j+1}\left(1-p-q\right)^{2\,j-m-1$ 그리고. $B_{j,m}\,=\,{j \choose 2\,j-m}{p}^{m-j}\left(1-p-q\right)^{2\,j-m$
의미하다	${\displaystyle \,-\,\sum _{j=1}^{m}{\frac {\left(m+1-j\right)\,{p}^{j-1}}{\left(q-1\right)^{j}}}.$
MGF	형태가 홀수: ${\displaystyle M_{m}\left(t\right)=\sum _{j={\frac {m}{2}}+{\frac {1}{2}}^{m}{\frac {\left(X_{\it {jm}}+Y_{\it {jm}}\right)~e^{j~t}}{\left(1-e^{t}~q\right)^{j}}}.$ 양식은 짝수: ${\displaystyle M_{m}\left(t\right)=\sum_{j={\frac {m}{2}}^{{m}}{\frac {\left(X_{\it {jm}}+Y_{\it {jm}}\right)~e^{j~t}}{\left(1-e^{t}~q\right)^{j}}}.$ 와 함께 $X_{\it {jm}}\,=\,{j-1 \선택 2\,j-m-1}{p}^{m+1-j}\left(1-p-q\right)^{2\,j-m-1$ 그리고. $Y_{\it {jm}}\,=\,{j \choose 2\,j-m}{p}^{-j+m}\left(1-p-q\right)^{2\,j-m$

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