한너폴리토프

Hanner polytope

기하학에서 한너폴리토프는 카르테시안 제품과 극성 이중 연산에 의해 재귀적으로 구성된 볼록폴리스 폴리토프다.한너 폴리토페스는 1956년 도입했던 올로프 하너의 이름을 따서 붙여졌다.[1]

건설

Hanner polytopes는 다음 규칙에 의해 재귀적으로 구성된다.[2]

  • 선분할은 1차원 하너 폴리토프다.
  • 두 개의 한너 폴리토페의 카르테시안 제품은 또 다른 한너 폴리토페인데, 치수는 주어진 두 폴리토페의 치수의 합이다.
  • 한너 폴리토프의 이중은 같은 차원의 또 다른 한너 폴리토프다.

그것들은 정확히 이러한 규칙들만을 사용하여 구성할 수 있는 폴리토페이다: 즉, 모든 하너 폴리토프는 일련의 제품과 이중 연산에 의해 라인 세그먼트에서 형성될 수 있다.[2]

극성 이중 작동과 대안으로 동등하게, 한너 폴리토페스는 데카르트 제품과 데카르트 제품의 이중인 직접 합계로 구성될 수 있다.이 직접합산술은 두 개의 폴리탑을 더 큰 공간의 선형 독립된 두 개의 서브스페이스에 배치한 다음 결합의 볼록한 선체를 구성함으로써 결합된다.[3][4]

예

3차원 입방체와 그 이중, 팔면체, 두 개의 3차원 하너 폴리토페스
팔면 프리즘의 슐레겔 도표

큐브는 한너 폴리토프(Hanner polytope)로, 세 개의 선분할로 이루어진 데카르트 제품으로 제작할 수 있다.그것의 이중인 팔면체 역시 세 개의 선 세그먼트의 직접 합인 한너 폴리토프다.3차원에서는 모든 한너 폴리토페스가 이 두 종류의 폴리토페 중 하나와 조합적으로 동등하다.[5]더 높은 차원에서는 큐브와 팔면체의 유사점인 하이퍼큐브와 교차 폴리토페스가 다시 한너 폴리토페스다.그러나 더 많은 예가 가능하다.예를 들어, 팔면체 프리즘은 팔면체(팔면체)를 베이스로 하는 4차원 프리즘도 하너 폴리토프(Hanner polytope)로서, 그것의 이중인 입체 바이피라미드(Subial bipyramid)이다.

특성.

좌표 표현

모든 Hanner 폴리토프에는 0, 1 또는 -1의 정점 좌표가 주어질 수 있다.[6]보다 분명히 P와 Q가 이 형태의 좌표를 가진 Hanner polytopes인 경우, P와 Q의 카르테스 산물의 정점 좌표와 Q의 정점 좌표를 Q의 정점 좌표와 연결시켜 좌표를 형성한다.P와 Q의 직접 합계의 정점 좌표는 P의 정점 좌표를 0의 벡터로 연결하거나, 0의 벡터를 Q의 정점 좌표로 연결함으로써 형성된다.

한너폴리토페의 극쌍이 또 다른 한너폴리토페이기 때문에, 한너폴리토페스는 {0,1,-1}[6]에 그들과 그들의 쌍쌍이 모두 좌표를 가지고 있는 속성을 가지고 있다.

면 수

모든 한너 폴리토프는 중앙 대칭이며 정확히 3개의d 비빈 얼굴(폴리토프 자체를 얼굴로 포함하되 빈 세트는 포함하지 않음)을 가지고 있다.예를 들어 큐브는 정점 8개, 가장자리 12개, 정사각형 6개, 큐브 1개(자체)를 면으로 하고, 8 + 12 + 6 + 1 = 27 = 3이다3.Hanner polytopes는 모든 중심 대칭 폴리topes가 적어도 3개의d 비어 있지 않은 얼굴을 가지고 있다는 Kalai의 3가지d 추측에 대한 중요한 예시를 형성한다.[3]

반대 면과 정점의 쌍

한너 폴리토프에서는 반대편 두 면마다 각각 분리되며, 함께 폴리토프의 정점을 모두 포함하므로 두 면의 볼록한 선체가 전체 폴리토프다.[6][7]이 사실의 간단한 결과로서, Hanner polytope의 모든 면은 서로와 같은 정점수(전체 폴리tope의 정점수의 절반)를 갖는다.그러나 그 면들이 모두 서로 이형적인 것은 아닐지도 모른다.예를 들어, 팔면 프리즘에서, 두 면은 팔면 프리즘이고, 나머지 여덟 면은 삼각 프리즘이다.모든 Hanner polytope에서, 각각의 반대 정점 두 개가 Disjoint sets of facets를 만지고, 함께 polytope의 모든 면들을 만진다.

말러 볼륨

Hanner polytope의 말러 부피(그 부피와 그 폴라 듀얼의 부피)는 큐브나 크로스 polytope와 같다.말러 추측이 사실이라면, 이 폴리토페스는 중앙 대칭 볼록체들 중에서 말러 부피의 최소제다.[8]

헬리 속성

하이퍼큐브(혹은 그것의 아핀 변환, 평행선)의 번역은 헬리 계열을 형성한다: 비어있지 않은 쌍방향 교차점이 있는 모든 번역은 비빈 교차점을 가지고 있다.게다가, 이것들은 이 성질을 가진 유일한 볼록한 몸이다.[9]다른 중심 대칭 볼록형 폴리토프 K에 대해 Hanner(1956)는 I(K)를 헬리 계열을 형성하지 않는 K의 최소 개수로 정의했다(이들은 쌍으로 교차하지만 빈 교차점이 있음).그는 I(K)가 서너 개라는 것을 보여주었고, 하너 폴리토페스를 4개인 폴리토페스의 예로 들었다.이후 한센앤리마(1981)는 이 성질을 이용해 한너 폴리토페스를 특성화할 수 있다는 것을 보여주었다:[10] 그들은 정확히 I(K) > 3에 있는 폴리토페스다.

콤비네이터 열거

치수 d의 Hanner 폴리토페스의 조합 유형 수는 d 레이블이 없는 가장자리가 있는 단순 직렬-병렬 그래프의 수와 동일하다.[4]d = 1, 2, 3, ...의 경우:

1, 1, 2, 4, 8, 18, 40, 94, 224, 548, ...(OEIS에서 연속 A058387).

치수 d의 Hanner 폴리토페스와 d 정점이 있는 cographs 사이의 보다 명확한 바이어싱은 Reisner(1991)에 의해 주어진다.이 바이어싱의 경우, 하너 폴리오페스는 콤비네이터적 등가 등급이 아닌 {0,1,-1}의 좌표를 사용하여 기하학적으로 표현되는 것으로 가정한다. 특히, 정점좌표(±1,±1)가 있는 사각형과 정점좌표(정점좌표)가 있는 다이아몬드 등 2차원에서도 하너폴리오페의 기하학적 형태가 두 가지 있다.0,±1) 및 (±1,0).{0,1,-1}에 정점 좌표가 있는 d차원 폴리토프를 주어진 경우, 라이스너는 d 정점이 폴리토프를 포함하는 공간의 단위 벡터에 해당하며, 합계가 폴리토프 외부에 있을 경우 두 벡터가 에지에 의해 연결되는 관련 그래프를 정의한다.그는 Hanner polytopes의 그래프가 cographs라고 관찰하는데, 이 그래프는 유도 경로 3이 없는 그래프와 유도 서브그래프가 모두 분리되거나 분리된 그래프의 보완이라는 두 가지 방법으로 특징짓는다.반대로 모든 cograph는 Hanner polytope로 이런 식으로 나타낼 수 있다.[6]

하너 공간

한너 폴리토페스는 한너 스페이스라고 불리는 유한차원 바나흐 공간 계열의 단위 공이다.[7]한너 공간은 1}과 의 조합으로 1차원 공간으로부터 쌓을 수 있는 공간이다.[1]

참조

  1. ^ a b Hanner, Olof (1956), "Intersections of translates of convex bodies", Mathematica Scandinavica, 4: 65–87, MR 0082696.
  2. ^ a b Freij, Ragnar (2012), Topics in algorithmic, enumerative and geometric combinatorics (PDF), Ph.D. thesis, Department of Mathematical Sciences, Chalmers Institute of Technology.
  3. ^ a b Kalai, Gil (1989), "The number of faces of centrally-symmetric polytopes", Graphs and Combinatorics, 5 (1): 389–391, doi:10.1007/BF01788696, MR 1554357.
  4. ^ a b Sanyal, Raman; Werner, Axel; Ziegler, Günter M. (2009), "On Kalai's conjectures concerning centrally symmetric polytopes", Discrete & Computational Geometry, 41 (2): 183–198, arXiv:0708.3661, doi:10.1007/s00454-008-9104-8, MR 2471868/
  5. ^ Kozachok, 마리나(2012년),"완벽한 prismatoids고 추측을 중심으로 대칭 polytopes의 얼굴 숫자들에 관한", 야로슬라블 국제 회의"이산화 기하학"AD의 100에 바쳐진알렉산드 로프(야로슬라블, 8월 13-18는 2012년)(PDF), 독일 약전. Demidov 야로슬라블 주립 대학 국제 B.N. 델로네 연구소를 대신하여 서명함. 46–49[영구적인 죽은 링크].
  6. ^ a b c d Reisner, S. (1991), "Certain Banach spaces associated with graphs and CL-spaces with 1-unconditional bases", Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 43 (1): 137–148, doi:10.1112/jlms/s2-43.1.137, MR 1099093.
  7. ^ a b Martini, H.; Swanepoel, K. J.; de Wet, P. Oloff (2009), "Absorbing angles, Steiner minimal trees, and antipodality", Journal of Optimization Theory and Applications, 143 (1): 149–157, arXiv:1108.5046, doi:10.1007/s10957-009-9552-1, MR 2545946.
  8. ^ Kim, Jaegil (2014), "Minimal volume product near Hanner polytopes", Journal of Functional Analysis, 266 (4): 2360–2402, arXiv:1212.2544, doi:10.1016/j.jfa.2013.08.008, MR 3150164.
  9. ^ Sz.-Nagy, Béla (1954), "Ein Satz über Parallelverschiebungen konvexer Körper", Acta Universitatis Szegediensis, 15: 169–177, MR 0065942, archived from the original on 2016-03-04, retrieved 2013-05-19.
  10. ^ Hansen, Allan B.; Lima, Ȧsvald (1981), "The structure of finite-dimensional Banach spaces with the 3.2. intersection property", Acta Mathematica, 146 (1–2): 1–23, doi:10.1007/BF02392457, MR 0594626.