프란츠-켈디시 효과

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프란츠-켈디시 효과는 전장이 적용될 때 반도체에 의한 광학 흡수의 변화다. 그 효과는 독일의 물리학자 월터 프란츠와 러시아의 물리학자 레오니드 켈디쉬(Mstislav Keldysh의 nephu)의 이름을 따서 명명되었다.

Karl W. Böer는 우선 하이 필드 도메인의^[2] 발견 중 전기장과 광학 흡수 에지의 이동을 관찰하고 이를 프란츠 효과라고 명명했다.^[3] 몇 달 후, 켈디쉬 논문의 영문 번역이 가능해지자, 그는 이것을 프란츠-켈디쉬 효과로 정정했다.^[4]

원래 착안한 것처럼 프란츠-켈디시 효과는 밴드 틈새로 파장 기능이 "유출"된 결과물이다. 전자장을 적용하면 전자파와 홀파장치는 평면파가 아닌 에어리 기능이 된다. 에어리 기능은 고전적으로 금지된 밴드 갭으로 확장되는 "꼬리"를 포함한다. 페르미의 황금률에 따르면 자유 전자와 구멍의 파장 기능이 겹칠수록 광학 흡수가 강해진다. 에어리 꼬리는 전자와 구멍이 약간 다른 전위(현장을 따라 약간 다른 물리적 위치)에 있더라도 약간 겹친다. 이제 흡수 스펙트럼에는 밴드 간격 아래의 에너지와 그 위의 일부 진동이 포함된다. 그러나 이 설명은 대역 간격 부근의 광학적 특성을 지배할 수 있는 익시턴의 효과를 생략한다.

프란츠-켈디시 효과는 양자 유정이 필요한 양자 결합 스타크 효과와 달리 균일한 대용량 반도체에서 발생한다. 둘 다 전기 흡수 조절기에 사용된다. Franz-Keldysh 효과는 일반적으로 수백 볼트를 요구하여 기존 전자제품과의 유용성을 제한한다. 단, 이는 도파관 형상을 사용하여 광학 캐리어를 유도하는 상용화된 Franz-Keldysh 효과 전기 흡수 변조기의 경우는 아니다.

변조 분광법에 미치는 영향

흡수 계수는 유전체 상수(특히 복잡한 부분 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa })$₂와 관련이 있다. 맥스웰의 방정식을 보면 쉽게 관계를 알 수 있고

${\displaystyle \cs ={\frac {2\omega k_{0}}{c}={\omega \kappa_{2}} \over {n_{0}c}}.}$

n과₀ k는₀ 재료의 굴절률의 실제적이고 복잡한 부분이다. 우리는 완벽한 결정으로 발랑 대역에서 입사광에 의해 유도된 전도 대역으로 전자가 직접 전이되는 것을 고려하고 전자-포톤, 전자-구멍, 외부장 등 가능한 상호작용을 가진 각 해밀턴인의 흡수계수의 변화를 고려하도록 노력할 것이다. 이러한 접근은 다음에서 나온다.^[5] 첫 번째 목적은 프란츠-켈디시 효과의 이론적 배경과 세 번째 파생적 변조 분광법에 두었다.

전자자기장에 전자 해밀턴 1개

${\displaystyle H}$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{2m}}{}p\mathbf{}}$+ e ${\displaystyle A\mathbf{}{}^{}}$) ${\displaystyle 2{}^{}}$+ ${\displaystyle V}$( r${\displaystyle }$) ${\displaystyle H={1 \over 2m}(\mathbf {p} +e\mathbf {A})^{2}+V(r)}($A: 벡터 전위, V(r): 주기적 전위)

${\displaystyle A={1 \over 2}A_{0}e[e^{i(k_{p}\cdot r-\omega t)}+e^{-i(k_{p}\cdot r-\omega t)}]}$ (k_p and e are the wave vector of em field and unit vector.)

정사각형 용어 $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ A$^{2}}$을 무시하고$$, 쿨롱 게이지 ${\displaystyle \mathrm{relation}}A{\displaystyle }$= 0 $displaystyle$ A$\cdot p=p\cdot A}$을(를) 사용하여 obtain${\displaystyle A}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \nabla \cdot A=0$를 얻는다.

${\displaystyle H\sim {p^{2} \over 2m}+V(r)+{e \over m}A\cdot p}$

그런 다음 Bloch 함수 ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle ⟩}$= ${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle {\cdot }^{}}$ ${\displaystyle r^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle j_{}{k}_{}}$ ( ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle jk\rangle =e^{ik\cdot$r}$u_{jk}(r)}($j= v, 즉 valence band, 전도 밴드)를 사용한다.$$

전환 확률은 다음과 같이 얻을 수 있다.

${\displaystyle w_{cv}={2\pi \over \hbar } \langle ck' {e \over m}A\cdot p vk\rangle ^{2}\delta [\mathrm {E} _{c}(k')-\mathrm {E} _{v}(k)-\hbar \omega ]}$ ${\displaystyle =\frac{\pi e^2}{2\hslash m^2}{A}_0^2⟨c{k}^{\prime }}$${\displaystyle ={\pi e^{2} \hbar$$이상$$A_{0}^{2} \langle ck' exp(ik_{p}\cdot r)e\cdot p vk\rangle ^{2}\delta [\mathrm {E} _{c}(k')-\mathrm {E} _{v}(k)-\hbar \omega ]}$(${\displaystyle k_{p}}$ means wave vector of light) ${\display$$스타일 e\cdot p_{cv}={1 \over V}\int _{v}e^{i(k_{p}+k-k')\cdot r}{{u^{*}}{ck'}(r)e\cdot (p+\hbar k){vk}(r)d^{3}r}r}r}r}r}r}r}r}r}r}r}r}r}r}}r}r}r}r}r}r}r}r}$

단위 시간 및 단위 체적당 전자파의 전력 소산은 다음과 같은 방정식을 발생시킨다.

${\displaystyle \hbar \hbar w_{cv}={1\over 2}\omega \kappa _{2}\epsilon _{0}{0}}^{0}2}}$

전기장과 벡터 전위 사이의 관계 $E{\displaystyle }$= -${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}\partial }$ ${\displaystyle \frac{A}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ t ${\$ t$}}}$에 ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ $0{\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\\$을(를)로 할 수 있다$.$

그리고 마지막으로 유전체 상수의 상상적인 부분과 확실히 흡수 계수를 얻을 수 있다. ${\displaystyle \kappa ={{\pi e^{2}} \over {\epsilon _{0}m^{2}\omega ^{2}}}\sum _{k,k'} e\cdot p_{cv} ^{2}\delta [\mathrm {E} _{c}(k')-\mathrm {E} _{v}(k)-\hbar \omega ]\delta _{kk'}}$

전자파장이 있는 2-body(전자 구멍) 해밀턴식

발란스 대역(파형 벡터 k)의 전자는 광자 흡수에 의해 전도 대역(대역에서의 파형 $벡터$는 k${\displaystyle {}^{}=}$ = ${\displaystyle k_{}}$ ${\$ k$'=k_{e$으로 흥분하여 발란스 대역에 구멍을 남긴다(구멍의 파형 벡터는 ${\displaystyle k_{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle k}$ = ${\displaystystyle k_{h}=-$k}-k}-k}-k}-k}-k}-k}-k}-k}-k}-k}-k$}-$k}).$$ 이 경우 전자 홀 상호작용을 포함한다$.($ V${\displaystyle }$( ${\displaystyle }$ ${\displaystyle e_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$) ${\displaystyle$ V $(r_{e}-r_{h})$

직접적인 전환을 생각해보면 ${\displaystyle k{}_{}}$ ${\displaystyle e_{}{}_{}}$, ${\displaystyle k{}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ $displaystyle k_{e}$, $k_{h}}}}}$은(는) 거의 같다$$. 그러나 광자 흡수로 인한 모멘텀의 약간의 차이는 무시되지 않으며 바운드 상태-전자 구멍 쌍이 매우 약하며 유효 질량 근사치가 치료에 유효하다고 가정한다. 그러면 우리는 전자와 홀의 파동 기능과 파동 벡터라는 다음 절차를 구성할 수 있다.

${\displaystyle \Psi _{ij}(r_{e},r_{h})=\psi _{ik_{e}}(r_{e})\psi _{jk_{h}}(r_{h})}$ (i, j are the band indices, and r_e, r_h, k_e, k_h are the coordinates and wave vectors of the electron and hole respectively)

그리고 우리는 Total wave vector K를 그렇게 가져갈 수 있다.

${\displaystyle K=k_{e}+k_{h}.}$ ${\displaystyle H=H_{e}+H_{h}+V(r_{e}-r_{h})}$

Then, Bloch functions of the electron and hole can be constructed with the phase term ${\displaystyle A_{cv}^{n,K}}$ ${\displaystyle \Psi ^{n,K}(r_{e},r_{h})$$=\sum _{c,k_{e},v,k_{h}A_{cv}^{n,K}(k_{e},k_{h})\psi _{ck_{e}}}\{vk_{h}}}}}$

V가 적분 거리에 걸쳐 천천히 변화한다면 용어는 다음과 같이 취급할 수 있다.

${\displaystyle [\mathrm {E} _{c}(k_{e})+V(r_{e}-r_\h}-\epsilon ]A_{c}^{n}(k_{e}-{h}-}-{h}-}-\epsilon ]{n},k_{k_{h}=0(*)}}$

here we assume that the conduction and valence bands are parabolic with scalar masses and that at the top of the valence band ${\displaystyle \mathrm {E} _{v}=0}$, i.e. ${\displaystyle \m$$athrm {E} _{c}(k_{e})={{\hbar ^{2}k_{e}^{2}} \over {2m_{e}}}+\mathrm {E} _{G},\mathrm {E} _{h}(k_{h})={{\hbar ^{2}k_{h}^{2}} \over {2m_{h}}}}$ (${\displaystyle \mathrm {E} _{G}}$ is the energy gap)

이제 A ${\displaystyle c_{}^{}}$ v ${\displaystyle {}_{}^{}}$, K${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle k_{}}$ h${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle A_{cv}^{n, K}(k_{e},k_{h})$ 이상의$$ 푸리에 변환은 exiciton에 대한 유효 질량 방정식을 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle [(-{\hbar ^{2} \over 2M}\nabla ^{2} \over 2\mu }\nabla ^{2}-{e^{2} \piepsilon r}]\\Phi ^{n,k}(r,R)=[\mathrm {E} -\mathrm {E} _{G}]\cdot \Phi ^{n,K}(r,R)}}}$

${\displaystyle r=r_{e}-r_{h},R={{m_{e}r_{e}+m_{h}r_{h}} \over {m_{e}+m_{h}}},{1 \over \mu }={1 \over m_{e}}+{1 \over m_{h}},M=m_{e}+m_{h}}$

그러면 eq의 해결책은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \PSI ^{n,K}(r,R)=\PSI _{K}(R)\psi _{n}(r)}$ ${\displaystyle \PSI ^{n,K}(r,R)={1\over {\sqrt {V}exp(iK\cdot R)\phi _{n}(r)}$

${\displaystyle {\varphi n}_{}}$( ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle \phi _{n}(r)}$을(를) exciton의 봉투함수라고 한다$$. 엑시톤의 지상 상태는 수소 원자와 유사하게 주어진다.

그러면 유전적 함수는

${\displaystyle \kappa _{2}(\omega )={\pi e^{2} \over {\epsilon _{0}m^{2}\omega ^{2}}} e\cdot p_{cv} ^{2}\sum _{\lambda } \phi _{\lambda }(0) ^{2}\delta (\mathrm {E} _{G}+\mathrm {E} _{\lambda }-\hbar \omega )(**)}$

상세한 계산이 들어 ^[5]있다

프란츠-켈디시 효과(Franz-Keldysh effect)는 발란스 대역의 전자가 띠 간격 아래의 에너지를 가진 광자를 흡수함으로써 전도 대역으로 흥분할 수 있음을 의미한다. 이제 우리는 외부장이 결정체에 적용될 때 전자 구멍 쌍의 상대적인 움직임에 대한 효과적인 질량 방정식에 대해 생각하고 있다. 하지만 우리는 해밀턴에 전자 구멍 쌍의 상호 잠재력을 가져서는 안 된다.

쿨롱 교호작용을 소홀히 했을 때 유효질량 방정식은

${\displaystyle [}$ -${\displaystyle \hslash \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}{\mathrm{}}^{}\frac{\mu }{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}E}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle r]}$ ${\displaystyle \psi }$ ( r )${\displaystyle }$= ${\displaystyle ϵ}$ ${\displaystyle \psi }$( r ) =$$ϵ ${\displaystyle \psi }$ ( r${\displaystyle }$) = \$displaystyle [-{\hbar ^{2$} $\mu }\nabla ^{2}-E\cdot r]\psi(r)=\psilon \psi(r$

그리고 방정식은 표현될 수 있고

${\displaystyle [-{\hbar ^{2} \over 2\mu }{d^{2} \over {dr_{i}^{2}}}-eE_{i}r_{i}-\epsilon _{i}]\psi (r_{i})=0}$( where ${\displaystyle \mu _{i}}$ is the value in the direction of the principal axis of the reduced effective mass tensor)

변수 변경 사용:

${\displaystyle \hbar \theta _{i}=({{e^{2}E_{i}^{2}\hbar ^{2}} \over {2\mu _{i}}})^{1/3},\xi _{i}={{\epsilon _{i}+eE_{i}r_{i}} \over {\hbar \theta _{i}}}}$

그렇다면 해결책은

${\displaystyle \cHB(\xi _{x},\xi _{y},\xi _{z})=C_{x}C_{y}C_{z}Ai(-\xi _{x})Ai(-\xi _{y}Ai(-\xi _{z})}$

여기서 ${\displaystyle {Ci}_{}}$= ${\displaystyle E\frac{\sqrt{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{\hslash {}_{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\theta }{}}$ ${\$

예를 들어 E ${\displaystyle y_{}}$= E ${\displaystyle z_{}}$= ${\displaystyle 0,}$ E ${\displaystyle x_{}}$ ${\$는 다음과 같이 솔루션을 제공한다$$.

${\displaystyle \psi(x,y,z)=C\cdot Ai({-eEx-\epsilon +\hbar^{2}k_{y}^{2\mu_{y}+\hbar ^{2}k_{z}^{z}}}}}{bar \teta_{x}}}}}}}}}}}}}}$

유전 상수는 이 방정식을 (***) (블록 위)에 삽입하고 λ에 관한 합계를 $\int {\displaystyle {}_{}^{}}$ -${\displaystyle {}_{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ z { ${\displaystyle z_{}}$ ${\$\epsilon $_}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

$d{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\$에 대한 적분은 2-D 대역의 상태 공동 밀도에 의해 주어진다$$. (상태의 공동 밀도는 전자와 홀이 동시에 존재하는 DOS의 의미에 불과하다.

${\displaystyle {\kappa (\omega ,E)}={{\pi ^{2}} \over {\epsilon _{0}m^{2}\omega ^{2}}} e\cdot p_{c}v ^{2}{{e E_{x} } \over {\hbar \theta _{x}^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }{J^{2D}}_{cv}(\hbar \omega -\epsilon_{x})_{G}-\epsilon_{x}\cdot Ai(-{{\\epsilon_{x}}})^{2} d\epsilon _{x}.}$

where ${\displaystyle J_{cv}^{2D}(\hbar \omega )={(\mu _{y}\mu _{z})^{1/2} \over \pi \hbar ^{2}},\hbar \omega >\epsilon _{G}.$$}$

${\displaystyle =0,\hbar \omega <\epsilon _{G}.}$

그런 다음 $\eta {\displaystyle }$ =${\displaystyle \hslash \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\Omega }{}}$ -${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{G_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x_{}}{}}$ ${$ \\$displaystyle \eta ={\hbar \omega -\epsilon _{G}}}} \{\hbar \theta _{x}}}}}}}}}}$을(를) 위에 넣는다.

그리고 이 한계에서 에어리 함수에 대한 점증적 용액이 있는 < ${\$$displaystyle \$$hbar$$hbar \obega <\epsilon _{G}}})$을 찾은 경우를 생각해 보십시오.

Finally,${\displaystyle \kappa _{2}(\omega ,E_{x})={1/2}\kappa _{2}(\omega )exp[{-4 \over 3}({{\epsilon _{G}-\hbar \omega } \over {\hbar \theta _{x}}})]}$

그러므로 대역 갭 아래의 입사 광자 에너지에 대한 유전적 기능이 존재한다! 이러한 결과는 입사 광자에 대해 흡수가 발생함을 나타낸다.

참고 항목

• 양자결합 스타크 효과

메모들

참조

• W. Franz, Einfluß eines eine optische Suppositionskante, Z. 나튀르포르스충 13a(1958) 484–489.
• L. V. Keldysh, 강한 전기장에서 비금속 결정의 거동, J. Exptl. 정리. 물리적 (USSR) 33 (1957) 994–1003, 번역: 소련 물리학 JETP 6 (1958) 763–770.
• L. V. Keldysh, 강한 전자파 영역의 이온화, J. Exptl. 정리. 물리적 (USSR) 47 (1964) 1945–1957, 번역: 소련 물리학 JETP 20 (1965) 1307–1314.
• Williams, Richard (1960-03-15). "Electric Field Induced Light Absorption in CdS". Physical Review. American Physical Society (APS). 117 (6): 1487–1490. doi:10.1103/physrev.117.1487. ISSN 0031-899X.
• J. I. 판코브, 반도체의 광학 공정, 도버 출판사 뉴욕(1971년).
• H. Hug와 S. W. Koch, "반도체의 광전자적 특성에 대한 수량 이론", 세계과학(1994)
• C. 키텔, "고형 상태 물리학 입문", 와일리(1996년).