피타고라스 세 쌍 생성 공식

유클리드 공식 외에도 피타고라스의 삼쌍둥이를 생성하기 위한 많은 다른 공식들이 개발되었다.

유클리드, 피타고라스, 플라톤의 공식

유클리드, 피타고라스, 플라톤의 삼배 계산 공식은 여기서 설명되었다.

아래의 방법은 다양한 출처에 나타나며, 종종 그 출처에 대한 귀속성이 없다.

피보나치의 방법

레오나르도 피사(C.1170년 –에는 1250년)의 원시적 3배가 연속 홀수의를 통하여 생성하는 데 1,3,5,7,9,11, 쭉 펼쳐져{1,3,5,7,9,11,\ldots\displaystyle}이라는 사실과 이 시퀀스의 첫번째 n{n\displaystyle}용어의 합은 n2{\displaystyle n^{2}}. 이 method[1][2]을 묘사했다 나fkm그리고 4.9초 만 ${\$ $displaystyle k}$ 은 $k$ (는 $)$ 이 시퀀스의 $n=(k+1)/2$ 멤버로, $n=(k+1)/2$ n $n=(k+1)/2$ = $n=(k+1)/2$ ( $n=(k+1)/2$ + 1 ) / 2 {\displaystyle $n=(k+1$ 이다.

이 시퀀스( $k=a^{2}$ = $k=a^{2}$ ${\$ 에서 $k$ 홀수 제곱수 $k$ $k$ 를 선택하고 이 제곱을 시퀀스의 $n$ $n$ -th번째 $n$ 항으로 설정하십시오.또한 b $b^{2}$ ${\$ b $^{2}}$ 개를 $n-1$ $n-1$ - 1 $n-1$ 항의 $n-1$ 합으로 하고 $b^{2}$ , $c^{2}$ $c^{2}$ ${\$ 개를 모든 $n$ ${\displaystyn}$ 항의 $n$ 합으로 한다 $c^{2}$ .그러면 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 는 2 + $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ = $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 2 ${\$ }라는 것을 확인했다. $}}=c^{2}}:$ 원시적인 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 삼중 [a, b, c]를 생성했다.이 방법은 무한히 많은 원시적 삼쌍을 만들어내지만 모두 다 그런 것은 아니다.

EXAMPLE: Choose $k=9=3^{2}=a^{2}$ . This odd square number is the fifth term of the sequence, because $5=n=(a^{2}+1)/2$ . The sum of the previous 4 terms is $b^{2}=4^{2}$ and the sum of all ${\displays$ $tyle n=5}$ 용어는 $n=5$ $c^{2}=5^{2}$ $c^{2}=5^{2}$ = $c^{2}=5^{2}$ $c^{2}=5^{2}$ ${\$ c $^{2}=5^{2}}:$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ + $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ = $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ${\$ } $}}=c^{2}}:$ 원시 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 삼중 [a, b, c] = [3, 4, 5]

혼합 숫자의 순서

마이클 스티펠은 1544년에 다음과 같은 방법을 발표했다.^[3]^[4]Consider the sequence of mixed numbers $1{\tfrac {1}{3}},\,2{\tfrac {2}{5}},\,3{\tfrac {3}{7}},\,4{\tfrac {4}{9}},\,\ldots$ with $a_{n}=n+{\tfrac {n}{2n+1}}$ . To calculate a Pythagorean triple, take any term of이 시퀀스를 부적절한 분수로 변환하십시오(혼합 번호 $1{\tfrac {1}{3}}$ $1{\tfrac {1}{3}}$ $1{\tfrac {1}{3}}$ ${\$ 1 ${\tfrac {1}{3$ 의 경우 해당 잘못된 분율은 ${\tfrac {4}{3}}$ ${\tfrac {4}{3}}$ ${\$ { $4}{3}}).$ 그 다음 분자와 분모는 직각 삼각형의 면, b와 a이고, 하이포텐유는 b + 1이다.예를 들면 다음과 같다.

1{\tfrac {1}{3}}\rightarrow [3,4,5],\;2{\tfrac {2}{5}}\rightarrow [5,12,13],\;3{\tfrac {3}{7}}\rightarrow [7,24,25],\;4{\tfrac {4}{9}}\rightarrow [9,40,41],\;\ldots

자크 Ozanam[5]1694년에 오빠와 함께},\,\ldots})n+4n+34n+4{\displaystyle a_{n}=n+{\tfrac 비슷한 순서 178,21112,3분에서 1516일 41920,({\displaystyle 1{\tfrac{7}{8}},\,2{\tfrac{11}{12}},\,3{\tfrac{15}{16}},\,4{\tfrac{19}{20} 덧붙였다 Stifel의 시퀀스 republished.{4 $n+3}{4n+4$ 이전과 마찬가지로 이 시퀀스에서 트리플을 생성하려면 임의의 용어를 취하여 부적절한 분수로 변환하십시오.그 다음 분자와 분모는 직각 삼각형의 면, b와 a이고, 하이포텐유는 b + 2이다.예를 들면 다음과 같다.

1{\tfrac {7}{8}}\rightarrow [8,15,17],\;2{\tfrac {11}{12}}\rightarrow [12,35,37],\;3{\tfrac {15}{16}}\rightarrow [16,63,65],\;4{\tfrac {19}{20}}\rightarrow [20,99,101],\;\ldots

삼각형의 짧은 다리와 긴 b 다리와 그것의 하이포테뉴스를 가진 피타고라스 세 쌍둥이 집단은 c - b = 1, 플라톤 집단은 c - b = 2, 페르마트 집단은 a - b = 1로 정의된다.스티펠 수열은 피타고라스 계열의 모든 원시 삼쌍둥이를 생산하고, 오자남 수열은 플라톤 계열의 모든 원시 삼쌍둥이를 생산한다.페르마트 가문의 세 쌍둥이는 다른 방법으로 찾아야 한다.

딕슨의 방법

레오나드 유진 딕슨(1920)^[6]은 피타고라스 삼쌍둥이를 발생시키기 위해 다음과 같은 방법을 스스로에게 돌렸다. $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ + $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ = $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 2 ${\$ x $^{2}+y^{2}=z^{2}}:$ $r^{2}=2st$ = $r^{2}=2st$ t ${\displaystyle$ r $^{2}=2st}$ 에 $r^{2}=2st$ 대한 정수 솔루션을 찾으려면 양수 r, s 및 t를 찾으십시오 $x^{2}+y^{2}=z^{2}$

#\displaystyle x=r+s\\\,y=r+t\,z=r+s+t.}

여기서 $r$ $r$ 은(는) 짝수 정수이고 $r$ s와 t는 ${\tfrac {r^{2}}{2}}$ ${\tfrac {r^{2}}{2}}$ ${\$ 의 $요인임$ 을 알 수 있다 ${\tfrac {r^{2}}{2}}$ 모든 피타고라스 3배는 이 방법으로 찾을 수 있다.s와 t가 합체할 때, 세 쌍은 원시적일 것이다.J.J. (2013년) 요제프 루카비카에 의해 딕슨의 방법에 대한 간단한 증거가 제시되었다.^[7]

예:r = 6을 선택하십시오.그런 ${\tfrac {r^{2}}{2}}=18$ ${\tfrac {r^{2}}{2}}=18$ = ${\tfrac {r^{2}}{2}}=18$ ${\displaystyle$ {\ $tfrac {r^{2}}:{2}}=18}$ .18의 세 가지 요인 쌍은 (1, 18), (2, 9), (3, 6)이다.세 가지 요인 쌍 모두 위의 방정식을 사용하여 세 쌍을 생성한다.

s = 1, t = 18은 x = 6 + 1 = 7, y = 6 + 18 = 24, z = 6 + 1 + 18 = 25이기 때문에 트리플 [7, 24, 25]을 생성한다.

s = 2, t = 9는 x = 6 + 2 = 8, y = 6 + 9 = 15, z = 6 + 2 + 9 = 17이기 때문에 트리플 [8, 15, 17]을 생성한다.

s = 3, t = 6 = 6 x = 3 = 9, y = 6 + 6 = 12, z = 6 + 3 + 6 = 15이기 때문에 (s와 t는 동시 실행이 아니기 때문에 이 3배는 원시적이지 않다.)

일반화 피보나치 수열

방법 I

F₁ = 0과 F₂ = 1로 시작하는 피보나치 숫자와 각각의 후속 피보나치 숫자의 경우, (a, b₃₃, c₃) = (4, 3, 5)부터 (a, b, c) = (4, 3, 5)까지의 피타고라치 수열을 생성할 수 있다.

{\displaystyle(a_{n},b_{n},c_{n}=(a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1},\,F_{n1}-1}-b_{n-1},\,F_{n}}}

4분의 1로

방법 II

피타고라스 삼중수소는 일반화된 피보나치 시퀀스를 사용하는 다음 절차에 의해 두 개의 양의 정수를 사용하여 생성될 수 있다.

초기 양의 정수 h 및_n h의_n+1 경우, h_n + h_n+1 = h_n+2 및 h_n+1_n+2 + h = h인_n+3 경우

(2h_{n+1}h_{n+2}, h_{n}h_{n+3},2h_{n+1}h_{n+2}+h_{n}^{2}}}}

피타고라스의 3중주곡이다.^[8]

방법 III

다음은 일반화된 피보나치 시퀀스로 원시적 삼쌍을 생성하기 위한 매트릭스 기반 접근법이다.^[9]2 × 2 배열로 시작하여 상단 행에 두 개의 복사 정수(q,q')를 삽입한다.짝수 정수(있는 경우)를 왼쪽 열에 배치하십시오.

\left[{\put{array}{*{20}c}q&{q'}\\\properties \end{array}\right]}

이제 아래 행의 항목을 가져오려면 다음 "Fibonacci 규칙"을 적용하십시오.

{\p&p'{data.c}q'+q=p\\q+p=p'\end{array}\reft[{\pair}{*{20}q&q&q'\p&p'\end{array}\right}}}

그러한 배열을 "피보나치 상자"라고 부를 수도 있다.q', q, p, p'는 일반화된 피보나치 수열이라는 점에 유의한다.기둥, 행, 대각선 제품을 취하면 우리는 삼각형의 면[a, b, c], 면적의 A, 둘레 P, 그리고 그 근방의 radi r과_i 3개의 구획을 다음과 같이 얻는다.

{\cHB{array}{l}a=2qp\b=q'\\c=pp=q'=q'=qp\\qp\\\\\\\\text{r_{r_{1}=q'}}\to(r_{1}=qp,r_{4}p)\\\\\A=qpp\\P=r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}}}\end{array}}

급성 각도의 반각 접선은 q/p와 q'/p'이다.

예:

9와 2의 콤프리미엄 정수 사용.

\left[{\message{array}{*{20}c}2&9\\\\\nd{array}\ipt{nd{array}\ipt[{nd{nd}{20}c}9\11&13\end{array}\오른쪽]}}}}

기둥, 행, 대각선 제품은 다음과 같다: (열: 22 및 117) (열: 18 및 143) (직경: 26 및 99)

{\cHB{array}{l}a=2(22)=44\b=sna=\c=\c==(26+99)=125\\\\\\\\text{radiiiii}\to(r_{1}=18,\1},\naffectr_{3}=99,redata r_{4}=}=na)\c)\c4}\c)\c)\c)\naffectornossiorno.\A=18(143)=2574\\P=(18+26+99+143)=286\end{array}}

급성 각도의 반각 접선은 2/11과 9/13이다.선택한 정수 q, q'가 동일하지 않을 경우, 동일한 절차가 비원격 3배로 이어진다는 점에 유의하십시오.

피타고라스 3배와 데카르트의 원 방정식

원시 피타고라스 삼쌍을 생성하는 이 방법은 데카르트의 원 방정식에 정수 해법도 제공한다.^[9]

\left(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}}\오른쪽)^{2}=2\왼쪽(k_{1}^{2}+k_{2}}^{2}+k_{3}^{2}+k_{4}^{2}\오른쪽),

여기서 각 반지름의 역수를 면적 A에 곱하여 정수 곡선 k를_i 구한다.결과는 k₁ = pp', k₂ = qp', k₃ = qp, k = qq₄'이다.여기서 가장 큰 원은 나머지 세 개의 원과 관련하여 음의 곡률을 갖는 것으로 간주된다.가장 큰 원(곡선 k₄)은 양의 곡률(k₀ = 4pp' - qq')을 가진 작은 원으로도 대체할 수 있다.

예:

원시적 삼중수소에 대해 위에서 얻은 면적과 4개의 반지름을 사용하여 데카르트의 방정식에 대한 다음과 같은 정수 용액을 얻는다: k₁ = 143₂, k = 99, k₃ = 26, k₄ = (-18), k₀ = 554.

삼나무: 모든 원시 피타고라스 삼쌍생성

각각의 원시 피타고라스 세 쌍은 피보나치 박스에 특이하게 해당한다.반대로, 각각의 피보나치 상자는 독특하고 원시적인 피타고라스 3배에 해당한다.이 절에서 우리는 피보나치 박스를 그것이 나타내는 원시적인 삼중수소 대신에 사용할 것이다.모든 원시 피타고라스 삼쌍/피보나치 박스를 포함하는 무한 3년생 트리는 다음과 같은 절차에 의해 구성될 수 있다.^[10]

오른쪽 열에 두 개의 홀수, 짝수 정수 x와 y가 들어 있는 피보나치 상자를 고려하십시오.

{\displaystyle \left[{\put{array}{*{20}}{c}\c}\c}\c}\c}\nd{array}\right]

이러한 정수를 다음과 같이 배치할 수도 있다.

\left[{\begin{array}{*{20}{c}}\bullet &x\\y&\bullet \end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}x&y\\\bullet &\bullet \end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}y&x\\\bullet &\bullet \end{array}}\right]

그 결과 x와 y가 들어 있는 유효 피보나치상자 3개가 더 나왔다.우리는 첫 번째 박스를 다음 세 명의 "부모"로 생각할지도 모른다.예를 들어, x = 1 및 y = 3인 경우:

\left[{\property{array}{*{20}{c}1&1\\2&3\end{array}\오른쪽]\왼쪽 화살표 {\text{parent}}}

\left[{\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\3&5\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\4&5\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\4&7\end{array}}\right]\leftarrow {\text{children}}

더욱이 각 "자식"은 그 자체로 동일한 절차에 의해 얻을 수 있는 세 자녀 이상의 부모다.각 노드에서 이 프로세스를 계속하면 가능한 모든 피보나치 박스를 포함하는 무한 3차 트리, 또는 동등하게 모든 가능한 원시 3쌍을 포함하는 3차 트리까지 이어진다.(여기 보이는 나무는 1934년 베르그렌이 묘사한 고전 나무와 구별되며, 숫자-이론적 특성이 많이 다르다.)비교: "클래식 트리"^[11]원시 피타고라스 삼쌍둥이의 나무도 참조하십시오.^[12]

2차 방정식을 사용하여 3중 생성

피타고라스의 각 다리를 계산하기 위한 2차 방정식을 정의하는 방법에는 여러 가지가 있다.^[13]간단한 방법은 각 m과 n 쌍에 변수 x를 추가하여 표준 유클리드 방정식을 수정하는 것이다.m, n쌍은 상수로 취급되는 반면 x의 값은 변화하여 선택된 3배를 기준으로 삼중의 "패밀리"를 산출한다.임의 계수는 m 또는 n의 "x" 값 앞에 배치될 수 있으며, 이로 인해 결과 방정식이 3배수를 통해 체계적으로 "스킵"하게 된다.예를 들어, m = 5와 n = 2의 값을 갖는 유클리드 방정식에서 계산할 수 있는 삼중수소[20, 21, 29]를 고려한다.또한, "m" 용어의 "x" 앞에 4의 계수를 임의로 넣는다.

$n_{1}=(x+n)$ $m_{1}=(4x+m)$ = $m_{1}=(4x+m)$ ( $m_{1}=(4x+m)$ $m_{1}=(4x+m)$ + m $m_{1}=(4x+m)$ ) $m_{1}=(4x+m)$ 을 $m_{1}=(4x+m)$ (를) $n_{1}=(x+n)$ 하고 $n_{1}=(x+n)$ n $n_{1}=(x+n)$ = $n_{1}=(x+n)$ ( x $n_{1}=(x+n)$ + n ) {\ $displaystyle$ n_ ${1$ }=(x $+n)}$ 을(를) 두십시오.

따라서 m과 n의 값을 대체한다.

{\begin{aligned}{\text{Side }}A&=2m_{1}n_{1}&&=2(4x+5){\text{ }}(x+2)&&=8x^{2}+26x+20\\{\text{Side }}B&=m_{1}^{2}-n_{1}^{2}&&=(4x+5)^{2}-(x+2)^{2}&&=15x^{2}+36x+21\\{\text{Side }C&=m_{1}^{2}+n_{1}}^{2}&=(4x+5)^{2}+(x+2)^{2}&=17x^{2}+44x+29\ended}}}

원래의 삼중수소는 각 2차 방정식의 상수 항으로 구성된다.아래는 이러한 방정식의 표본 출력이다.이러한 방정식의 효과는 유클리드 방정식의 "m" 값이 4단계에서 증가하는 반면, "n" 값은 1씩 증가하는 것을 유발한다는 점에 유의한다.

x	A의 편을 들다	옆 b	옆면 c	m	n
0	20	21	29	5	2
1	54	72	90	9	3
2	104	153	185	13	4
3	170	264	314	17	5
4	252	405	477	21	6

반각 접선을 사용하여 모든 원시 피타고라스 삼쌍 생성

피타고라스 삼각형의 모든 내부 각도의 절반은 양의 이성적인 숫자인 접선을 가지고 있다.다른 방향으로 가면 원시 피타고라스 3중주를 반각 접선에서 재구성할 수 있다.길이 $a$ 의 반대편에 있는 내부 각도 $A$ 에 대해 $태닝(A$ /2) $하려면$ $(0,$ 1)의양수적 합리적 숫자가 되려면 $r$ 을 선택하십시오 $.$ 접선 반각 공식을 사용하여 $α$ = $sin(A)$ = $2r$ / $(1$ + $r 2)$ 와 $β$ = $cos(A)$ = $(12$ - r $) /$ $(1$ + $r 2)$ $모두$ 합리적이고 $α 2$ + $β 2$ = 1. $α$ 와 $β$ 의 분모를 지우는 최소 정수로 곱하면 원래의 피타고라스 삼중으로 회복된다. $<$ $b$ >를 원하는 $경우$ r을 $22$ - $1$ 미만으로 선택해야 한다는 점에 유의한다.

행렬과 선형 변환을 사용하여 피타고라스의 3배

$[a,$ $b,$ $c]$ 를 $괴짜$ 를 가진 원시적인 세 쌍이 되게 하라.그런 다음매트릭스 곱셈과 버그렌의 세^[11] 가지 매트릭스 A, B, C를 $사용$ 하여₃ $[a 123$ $,$ $b 1,$ $c]$ 에서 3개의 새로운 삼쌍 $[$ $a 1 2$ $,$ b, $c 2 3]$ 을 생성할 수 있다.트리플 $[a,$ $b,$ $c]$ 은 세 개의 새로운 트리플(아이들)의 부모라고 불린다.아이 하나하나가 그 자체로 3자녀의 부모, 등등이다.만일 한 가지가 원시적인 세 쌍[3, 4, 5]으로 시작된다면, 결국 모든 원시적인 세 쌍은 이들 행렬의 적용에 의해 생산될 것이다.결과는 루트 노드에 [ $a,$ $b,$ $c]$ 가 있는 무한 3차 트리로 그래픽으로 나타낼 수 있다.버그렌의 세 가지 선형 변환을 사용하여 동등한 결과를 얻을 수 있다.

{\displaystyle{\overset{A}{\mathop{\left[{\begin{매트릭스}-1&, 2&, 2\\-2&, 1&, 2\\-2&, 2&, 3\\\end{매트릭스}}\right]}}}\left[{\begin{매트릭스}a\\b\\c\\\end{매트릭스}}\right]=\left[{\begin{매트릭스}a_{1}\\b_{1}\\c_{1}\\\end{매트릭스}}\right],\quad}{\text{}{\overset{B}{\mathop{\left[{\begin{행렬}1&, 2&, 2\\2&, 1&, 2\\2&, 2&.;3\\\end{매트릭스}}\right 해결}}}\left -LSB-{\begin{행렬}a\\b\\c\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{2}\\b_{2}\\c_{2}\end{matrix}}\right],\quad {\text{ }}{\overset {C}{\mathop {\left[{\begin{matrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{3}\\b_{3}\\c_{3}\end{matrix}}\right]}

Bergren의 세 가지 선형 변환은 다음과 같다.

{\begin{aligned}&{\begin{matrix}-a+2b+2c=a_{1}\quad &-2a+b+2c=b_{1}\quad &-2a+2b+3c=c_{1}&\quad \to \left[{\text{ }}a_{1},{\text{ }}b_{1},{\text{ }}c_{1}\right]\\\end{matrix}}\\&{\begin{matrix}+a+2b+2c={{a}_{2}}\quad &+2a+b+2c={{b}_{2}}\quad &+2a+2b+3c={{c}_{2}}&\quad \to \left[{\text{ }}{{a}_{2}},{\text{ }}{{b}_{2}},{\text{ }}{{c}_{2}}\right]\\\end{matrix}}\\&{\begin{matrix}+a-2b+2c={{a}_{3}}\quad &+2a-b+2c={{b}_{3}}\quad &+2a-2b+3c={{c}_{3}}&\quad \to \left[{\text{ }}{{a}_{3}},{\text{ }}{{b}_{3}},{\text{ }}{{c}_{3}}\right]\\\end{data}\\&\end{aigned}}

또는 가격이 발견한 3가지 다른 매트릭스를 사용할 수도 있다.^[10]이러한 행렬 A', B', C'와 그에 상응하는 선형 변환은 다음과 같다.

{\displaystyle{\overset{{A}의}{\mathop{\left[{\begin{매트릭스}2&, 1&, -1\\-2&, 2&, 2\\-2&, 1&, 3\end{매트릭스}}\right]}}}\left[{\begin{매트릭스}a\\b\\c\end{매트릭스}}\right]=\left[{\begin{매트릭스}a_{1}\\b_{1}\\c_{1}\end{매트릭스}}\right],\quad{\text{}}{\overset{{B}'}{\mathop{\left[{\begin{행렬}2&, 1&, 1\\2&, -2&, 2\\2&, -1&a.융점, 3\end{매트릭스}}\right 해결}}}\left -LSB-{\begin{행렬}a\\b\\c\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{2}\\b_{2}\\c_{2}\end{matrix}}\right],\quad {\text{ }}{\overset {{C}'}{\mathop {\left[{\begin{matrix}2&-1&1\\2&2&2\\2&1&3\\\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{3}\\b_{3}\\c_{3}\end{matrix}}\right]}

프라이스의 세 가지 선형 변환은

{\displaystyle{\begin{정렬}&,{\begin{행렬}+2a+b-c=a_{1}\quad&-2a+2b+2c=b_{1}\quad&-2a+b+3c=c_{1}&,\quad \to \left[{\text{}}a_{1},{\text{}}b_{1},{\text{}}c_{1}\right]\end{매트릭스}}\\&,{\begin{행렬}+2a+b+c=a_{2}\quad&+2a-2b+2c=b_{2}\quad&+2a-b+3c=c_{2}&,\quad \to \left는 경우에는{\text{}}a_{2},{\text{}}b_{2},{\text{. }}c_{2}\right 해결 \end{매트릭스}}\\&,{)begin{matrix}+2a-b+c=a_{3}\quad &+2a+2b+2c=b_{3}\quad &+2a+b+3c=c_{3}&\quad \to \left[{\text{ }}a_{3},{\text{ }}b_{3},{\text{ }}c_{3}\right]\end{matrix}}\\&\end{aligned}}}

두 행렬의 각각에 의해 생산되는 세 아이는 같지 않지만, 각각의 집합은 모든 원시적인 삼쌍을 따로 생산한다.

예를 들어, [5, 12, 13]을 부모로 사용하여 세 자녀 중 두 세트를 얻는다.

왼쪽[5,12,13\오른쪽]&\\\A&B&C\\\왼쪽[45,28,53\오른쪽]&\왼쪽[55,48,73\오른쪽]&\\\왼쪽[7,24,25\\오른쪽]\end{array}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \A'&B'&C\\\왼쪽[9,40,41\오른쪽]&\왼쪽[35,12,37\오른쪽]&\왼쪽[11,60,61\오른쪽]\종료{array}}}}}

제곱합에 비례하는 면적

$b+1=c$ + $b+1=c$ = c $b+1=c$ 과 $b+1=c$ (와) 홀수가 있는 모든 원시 삼쌍은 다음과 같이 생성할 수 있다.^[14]

피타고라스의 삼배	반지름계	면적	근친 반지름	원주 반지름
$왼쪽(3,4,5\오른쪽)$	$1+2+3}$	$6\properties(1^{2})$	1	${\tfrac {5}{2}$
$왼쪽(5,12,13\오른쪽)$	$1+2+3+4+5}$	$6\properties(1^{2}+2^{2})$	2	${\tfrac {13}{2}}:$
$왼쪽(7,24,25\오른쪽)$	$1+2+3+4+5+6+7}$	$6\properties(1^{2}+2^{2}+3^{2}}}$	3	${\tfrac {25}{2}}:$
$\displaystyle \,\vdots }$	$\displaystyle \,\vdots }$	$\displaystyle \,\vdots }$	$\displaystyle \,\vdots }$	$\displaystyle \,\vdots }$
$\left(a,{\tfrac {a^{2}-1}{2}},{\tfrac {a^{2}+1}{2}}\오른쪽)$	$1+2+\cdots +a}$	$6\properties \좌측[1^{2}+2^{2}+\cdots +\좌측/tfrac {a-1}{2}}\우측)^{2}\우측]$	${\tfrac {a-1}{2}}:$	${\tfrac {a^{2}+1}{4}}}$

높이과잉 열거 정리

웨이드와 웨이드는^[15] 먼저 3,4,5에서 5,12,13, 7,24,25 등을 연결하는 c - b로 정의된 피타고라스 3쌍의 키를 기준으로 분류하는 것을 소개했다.

McCullough와 Wade는^[16] 이 접근법을 확장했는데, $k>{\frac {h{\sqrt {2}}}{d}}:$ 접근법은 $k>{\frac {h{\sqrt {2}}}{d}}:$ > h $k>{\frac {h{\sqrt {2}}}{d}}:$ d $k>{\frac {h{\sqrt {2}}}{d}}:$ : ${\displaystyle k>{\frac {$ h{\ $sqrt{2}}:}{$ d $}}}}}$ pq로² 양의 정수 h를 pq로 작성한다 $k>{\frac {h{\sqrt {2}}}{d}}:$ .p가 홀수일 경우 d = 2pq, 짝수일 경우 d=pq를 설정한다.모든 쌍(h, k)의 양의 정수에 대해 3배는 다음과 같이 주어진다.

{\dk,dk+{\frac{(dk)^{2}}:{{2h},h+dk+{\frac{(dk)^{2}}:{2h}}

원시 삼쌍은 gcd(k, h)가 1이고 h=q가² q 홀수 또는 h=2q일² 때 발생한다.

참조

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[1] 피보나치, 레오나르도 피사노, (1225), 리베르 쿼드레이터럼.

[2] 피보나치, 레오나르도 피사노.정사각형 책(Liber Quadratorum) L. E. Sigler에 의해 현대 영어로 주석을 단 번역. (1987) Orlando, FL: Academic Press. ISBN 978-0-12-643130-8

[3] 스텐펠, 마이클, (1544), 산티아카 인트그레이.

[4] Ozanam, Jacques (1814). "Recreations in Mathematics and Natural Philosophy". 1. G. Kearsley: 49. Retrieved 2009-11-19. {{cite journal}}:Cite 저널은 필요로 한다. journal=(도움말)

[5] 오자남, 자크, (1844년).과학과 자연철학: 닥터런던 토머스 테그 에드워드 리들(Edward Liddle)이 수정한 몬투클라의 오자남 판 번역본.온라인 읽기-코넬 대학교

[6] 딕슨, L. E. (1920), 숫자 이론의 역사, Vol.II. Diophantine Analysis, Carnegie Institute of Washington, 출판물 번호 256, 12+803pp 온라인 읽기 - 토론토 대학교

[7] 루카비카, J. (2013), 딕슨의 피타고라스 삼쌍생성법 재방문, 유럽 순수·응용 수학 ISSN 1307-5543, 제6권, 제3권(2013) 페이지 363-364, 온라인1 온라인2

[8] A.F. 호라담, "피보나치 숫자 3배", 미국 수학 월간 68, 1961, 751-753.

[Bernhart-9] Bernhart, Frank R.; Price, H. Lee (2005). "Heron's formula, Descartes circles, and Pythagorean triangles". arXiv:math/0701624v1.

[Price-10] Price, H. Lee (2008). "The Pythagorean Tree: A New Species". arXiv:0809.4324 [math.HO].

[Berggren-11] Berggren, B. (1934). "Pytagoreiska trianglar". Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi (in Swedish). 17: 129–139.

[12] Carvalho, Alda; Pereira dos Santos, Carlos (2012). "A very useful Pythagorean tree". In Silva, Jorge Nuno (ed.). Proceedings of the recreational mathematics colloquium II, University of Évora, Portugal, April 27–30, 2011. Lisboa: Associação Ludus. pp. 3–15. ISBN 9789899734623.

[13] J. L. 시인과 D.L. 베스탈 주니어(2005년)."잘못 복사된 2중주의, "대학 수학 저널 36, 273–277"

[14] 바비바우, 에드워드, 파워 플레이, 미국 수학 협회, 1997, 페이지 51, 항목 3.

[15] Wade, Peter, Wade, Wade, William, College Mathematics Journal 2000년 3월 31일 98-101의 "피투아고레아의 삼쌍둥이를 생산하는 회수".

[16] 매컬러, 대릴, 웨이드, 엘리자베스, "피타고라스 삼쌍의 반복 열거" 2003년 3월 대학 수학 저널 34, 107-111년 3월.

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