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분수

Fraction
4분의 1(4분의 1)이 제거된 케이크. 나머지 4분의 3은 점선으로 표시되고 분수 1/4로 표시됩니다.

분수(라틴어: fractus, "broken")는 전체 또는 더 일반적으로 임의의 수의 등분수의 일부를 나타냅니다. 일상적인 영어로 말할 때, 어떤 부분은 어떤 크기의 부분이 몇 개인지를 설명합니다. 예를 들어, 1/2, 8/5, 3/4 입니다. 일반적이거나 저속하거나 단순한 분수(예: 는 라인 위(또는 슬래시와 같은 슬래시 앞)에 표시되는 정수 분자로 구성됩니다. 1 2) 0이 아닌 정수 분모가 해당 줄 아래(또는 뒤)에 표시됩니다. 이러한 정수가 양수이면 분자는 동일한 부분의 수를 나타내고 분모는 이러한 부분 중 몇 개가 단위 또는 전체를 구성하는지 나타냅니다. 예를 들어, 분수 3/4에서 분자 3은 분수가 3등분을 나타내고, 분모 4는 4등분이 전체를 구성한다는 것을 나타냅니다. 오른쪽 사진은 케이크의 4분의 3을 보여줍니다.

분수의 다른 용도는 비율나눗셈을 나타내는 것입니다.[1] 따라서 분수 3/4는 비율 3:4(전체에 대한 부분의 비율)와 나눗셈 3 ÷ 4(3을 4로 나눈 값)를 나타내는 데 사용할 수도 있습니다.

양의 분수의 반대를 나타내는 음의 분수도 쓸 수 있습니다. 예를 들어, 1/2가 반달러의 이익을 나타내는 경우, -1/2는 반달러의 손실을 나타냅니다. 부호수의 나눗셈 규칙(양수로 나눈 음수는 음수임을 나타냄) 때문에 -1/2, -1/2, 1/-2는 모두 같은 분수 – 음수 1/2을 나타냅니다. 그리고 음수를 음수로 나누면 양수가 나오기 때문에 -1/-2는 양수의 1/2을 나타냅니다.

수학에서 a/b의 형태로 표현할 수 있는 모든 수의 집합을 유리수의 집합이라고 하는데, 여기a와 b는 정수이고 b는 0이 아닙니다. 이것은 Q Q{\ 기호로 표현되는데 이것은 몫을 의미합니다. 숫자는 정확히 그 형태로 적을 수 있을 때 유리수입니다(즉, 공분수로서). 그러나 분수라는 단어는 유리수가 아닌 수학적 표현을 기술하는 데 사용될 수도 있습니다. 이러한 용도의 예로는 대수적 분수(대수적 표현의 몫), 2의 제곱근 참조), π/4(π이 비합리적이라는 증거 참조) 과 같은 무리수를 포함하는 표현이 있습니다.

어휘

분수에서 동일한 부분의 수는 분자(라틴어: numerātor, "counter" 또는 "numberer")이고, 부분의 종류 또는 다양성은 분모(라틴어: d ēnominātor, "이름을 짓거나 지정하는 것")입니다. 예를 들어, 분수 8/5는 8개의 부분으로 구성되며, 각 부분은 "다섯 번째"라는 이름의 유형입니다. 나눗셈에 있어서 분자는 배당에 해당하고 분모는 나눗셈에 해당합니다.

비공식적으로 분자와 분모는 배치만으로 구별될 수 있지만 형식적인 맥락에서는 대개 분수 막대로 구분됩니다. 분수 막대는 수평(1/3에서와 같이), 비스듬(2/5에서와 같이) 또는 대각선(4 ⁄9에서와 같이)일 수 있습니다. 이러한 표시는 각각 수평 막대, 처녀막, 슬래시(미국) 또는 스트로크(영국), 분수 막대, 솔리더스 [5]또는 분수 슬래시로 알려져 있습니다.[n 1] 타이포그래피에서 수직으로 쌓인 분수는 "en" 또는 "nut fraction", 대각선은 "em" 또는 "mutton fraction"이라고도 하며, 한 자리 수의 분자와 분모를 가진 분수가 좁은 en 제곱의 비율을 차지하는지 또는 더 넓은 em 제곱의 비율을 차지하는지 여부를 기준으로 합니다.[4] 전통적인 유형 기초에서는 완전한 분수(: 1/2)를 포함하는 유형의 조각을 "경우 분수"라고 하고, 분수의 일부만을 나타내는 것을 "조각 분수"라고 합니다.

영어 분수의 분모는 일반적으로 서수로 표현되며, 분자가 1이 아닌 경우 복수로 표현됩니다. (예를 들어, 2/53/5는 둘 다 "5분의 1"의 수로 읽힙니다.) 예외는 항상 "반" 또는 "반"으로 읽는 분모 2, "분기"/"분기" 또는 "4분기"/"4분기"로 대체 표현할 수 있는 분모 4, "100분의 1"/"100분의 1 또는 "백분의 1"로 대체 표현할 수 있는 분모 100입니다.

분모가 1일 때는 "전체"로 표현될 수 있지만 분자를 정수로 읽는 등 더 일반적으로 무시됩니다. 예를 들어, 3/1을 "3 도매" 또는 단순히 "3 도매"로 설명할 수 있습니다. 분자가 1인 경우("10분의 1" 또는 "각 분기"와 같이) 생략될 수 있습니다.

전체 분수는 단일 조성으로 표현될 수도 있고, 이 경우 하이픈으로 표현될 수도 있고, 분자가 1인 분수의 개수로 표현될 수도 있습니다. (예를 들어, "2/5"은 분수 2/5이고, "2/5"은 1/5의 2 경우와 같은 분수입니다.) 분수는 형용사로 사용될 때 항상 하이픈으로 표시해야 합니다. 또는 분모를 기수로 표현하고 분모를 "오버"한 분자로 읽음으로써 분수를 설명할 수 있습니다. (예를 들어, 3/1은 "3 over 1"로 표현할 수도 있습니다.) "오버"라는 용어는 슬래시 마크의 왼쪽과 오른쪽에 숫자가 배치된 솔리더스 분수의 경우에도 사용됩니다. (예를 들어, 1/2은 "1/2", "1/2"로 읽을 수 있습니다.) 10의 거듭제곱이 아닌 큰 분모를 가진 분수는 종종 이런 방식으로 렌더링됩니다(예: 1/117은 "10017보다 1"). 반면, 분모를 10으로 나눈 분수는 일반적으로 일반적인 순서형으로 읽힙니다(예: 1000000 6은 "600만분의 6", "600만분의 6" 또는 "100만분의 6").

분수의 형태

단순분수, 공약분수 또는 저속분수

단순 분수(common fraction 또는 bully fraction이라고도 함)는 a/b 또는 {\로 표기되는 유리수이며 ab는 둘 다 정수입니다.[9] 다른 분수와 마찬가지로 분모(b)는 0일 수 없습니다. Examples include , , , and . 이 용어는 원래 천문학에서 사용되는 60진법 분수와 이러한 유형의 분수를 구별하기 위해 사용되었습니다.[10]

일반적인 분수는 양수일 수도 있고 음수일 수도 있으며, 적절할 수도 있고 부적절할 수도 있습니다(아래 참조). 복합분수, 복소수, 혼합수, 소수(아래 참조)는 공통분수가 아니지만 비합리적인 경우를 제외하고는 공통분수로 평가할 수 있습니다.

  • 단위 분수는 분자가 1인 일반적인 분수입니다(예: 단위 분수는 1/2을 나타내는 2와−1 1/(22) 또는 1/4을 나타내는 2와−2 같이 음의 지수를 사용하여 표현할 수도 있습니다.
  • 다이아딕 분수는 분모가 2의 거듭제곱인 일반적인 분수입니다. 예를 들어, = 1 {\displaystyle {\tfrac {1}{8}} = {\tfrac {1} {2^{3}}}입니다.

유니코드에서 사전 구성된 분수 문자는 Number Forms 블록에 있습니다.

적분수와 부적분수

일반적인 분수는 적합한 것과 부적절한 것으로 분류될 수 있습니다. 분자와 분모가 모두 양수일 때, 분자가 분모보다 작으면 분수를 적정이라고 하고, 그렇지 않으면 부적정이라고 합니다.[11] "부적절한 분수"의 개념은 늦은 발전으로 용어는 "분수"가 "조각"을 의미하므로 적절한 분수는 1보다 작아야 합니다.[10] 이것은 17세기 교과서 예술의 땅에서 설명되었습니다.[12][13]

일반적으로 분수의 절대값이 엄밀하게 1보다 작은 경우, 즉 분수가 -1보다 크고 1보다 작은 경우를 일반적인 분수라고 합니다.[14][15] 분수의 절댓값이 1 이상인 [16]경우 부적절한 분수, 또는 때로는 무거운 분수라고 합니다. 분수의 예는 2/3, -3/4, 4/9인 반면 분수의 예는 9/4, -4/3, 3/3입니다.

역수와 "보이지 않는 분모"

분수의 역수는 분자와 분모가 교환된 또 다른 분수입니다. 예를 들어 의 역수는 입니다 분수와 그 역수의 곱은 1이므로 역수는 분수의 곱셈 역수입니다. 적정 분수의 역수는 부적절하며, 1이 아닌 부적분 분수의 역수(즉, 분자와 분모가 같지 않음)는 적정 분수입니다.

분수의 분자와 분모가 같을 때(예: 그 값은 1이므로 분수는 부적절합니다. 그 역수는 동일하므로 1과 같고 부적절합니다.

모든 정수는 1을 분모로 하는 분수로 쓸 수 있습니다. 예를 들어, {\로 표기할 수 있으며 여기서 1은 보이지 않는 분모라고 불리기도 합니다.[17] 따라서 0을 제외한 모든 분수 또는 정수는 역수를 갖습니다. 예를들면. 17의 역수는 입니다

비율

비율은 두 개 이상의 숫자 사이의 관계로, 때로 분수로 표현될 수 있습니다. 일반적으로 여러 항목을 그룹화하고 비율로 비교하여 각 그룹 간의 관계를 수치로 지정합니다. 비율은 "그룹 1 대 그룹 2 ... 그룹 n"으로 표시됩니다. 예를 들어, 한 주차장에 12대의 차량이 있었고 그 중

  • 2개는 흰색이고,
  • 6개는 빨간색, 그리고.
  • 4개는 노란색이고,

그리고 빨간색과 흰색과 노란색의 차의 비율은 6 대 2 대 4 입니다. 노란색 자동차와 흰색 자동차의 비율은 4:2이며 4:2 또는 2:1로 표현될 수 있습니다.

비율은 종종 전체에 대한 비율로 표현될 때 분수로 변환됩니다. 위의 예에서 노란색 자동차와 로트의 모든 자동차의 비율은 4:12 또는 1:3입니다. 우리는 이 비율들을 일부로 변환할 수 있고, 로트에 있는 자동차 4/12 또는 1/3이 노란색이라고 말할 수 있습니다. 따라서 한 사람이 무작위로 로트에서 한 차를 선택했다면 노란색일 확률이나 확률은 3분의 1입니다.

십진법 분수와 백분율

십진분수는 분모가 명시적으로 주어지지는 않지만 10의 정수 거듭제곱으로 이해되는 분수입니다. 십진분수는 일반적으로 십진법 표기법을 사용하여 표현되며, 십진법 구분자의 오른쪽에 있는 자릿수에 따라 내포된 분모가 결정되며, 그 모양(예: 마침표, 마침표(·), 쉼표)은 로케일(예: 십진법 구분자 참조)에 따라 달라집니다. 따라서 0.75의 경우 분자는 75이고 암시분모는 10부터 두 번째 거듭제곱, 즉 100까지인데, 십진법 구분자의 오른쪽에 두 자리가 있기 때문입니다. 1보다 큰 소수(예: 3.75)에서는 소수의 분수 부분을 소수 오른쪽의 숫자(이 경우 0.75의 값)로 표시합니다. 3.75는 부적절한 분수인 375/100으로 적거나 {\75}{100로 적을 수 있습니다

10진법 분수는 0.0000006023을 나타내는 6.023×10과−7 같은 음의 지수를 가진 과학적 표기법을 사용하여 표현할 수도 있습니다. 10−7 10의 분모7 나타냅니다. 10으로7 나누면 소수점 7자리가 왼쪽으로 이동합니다.

소수 구분자의 오른쪽에 숫자가 무한히 많은 소수 분수는 무한급수를 나타냅니다. 예를 들어 1/3 = 0.333... 는 무한급수 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ...를 나타냅니다.

또 다른 종류의 분수는 암시분모가 항상 100인 백분율(라틴어에서 "백분율"을 의미하며 기호 %로 표시됨)입니다. 따라서 51%는 100분의 51을 의미합니다. 100보다 크거나 0보다 작은 백분율은 동일하게 처리됩니다. 예를 들어, 311%는 100분의 311, -27%는 100분의 -27분의 1과 같습니다.

permille 또는 parts per 1000(ppt)의 관련 개념은 1000이라는 함축된 분모를 가지고 있는 반면, parts per 표기법이 75 ppm(ppm)과 같이 더 일반적이라는 것은 비율이 75/1,000,000이라는 것을 의미합니다.

일반 분수를 사용할 것인지 소수 분수를 사용할 것인지는 종종 취향과 맥락의 문제입니다. 분모가 상대적으로 작을 때는 공분수가 가장 많이 사용됩니다. 16에 3/16을 곱하는 것이 분수의 십진법으로 같은 계산을 하는 것(0.1875)보다 더 쉽습니다. 그리고 예를 들어 15에 1/3을 곱하는 것이 1/3의 소수 근사치를 15에 곱하는 것보다 더 정확합니다. 화폐 가치는 일반적으로 분모 100, 즉 2개의 소수(예를 들어 $3.75)를 갖는 소수 분수로 표현됩니다. 그러나 위에서 언급한 바와 같이 십진법 이전의 영국 화폐에서는 실링과 펜스가 분수의 형태(의미는 아니지만)로 종종 주어졌습니다. 예를 들어 "3/6"은 3 실링과 6 펜스를 의미하며, 분수 3/6과 관련이 없습니다.

혼합수

혼합수( mixed合數, )는 0이 아닌 정수와 고유 분수의 합으로, 보통 두 부분을 병치(또는 연접)하여 쓰이지만, 중간 플러스(+)나 마이너스(-) 부호는 사용하지 않습니다. 분수를 가로로 쓸 때는 정수와 분수 사이에 띄어쓰기를 하여 구분합니다.

기본적인 예로, 2개의 전체 케이크와 다른 케이크의 3/4을 2 케이크 또는 2\ 케이크로 표기할 수 있습니다. 숫자 2는 전체 를 나타내고 3 4 는 추가 부분 케이크를 나란히 나타냅니다. 이는 더 명확한 표기 + 케이크보다 더 간결합니다. 혼합 숫자 4 2 "2/4"로 발음되며, 정수 부분과 분수 부분은 단어와 단어로 연결됩니다.[18] 혼합된 숫자 전체에 뺄셈 또는 음수가 적용되므로- 2 - + 의미합니다

혼합된 수는 양과 달리 덧셈의 규칙을 적용하여 부적절한 분수로 변환할 수 있습니다. 예를 들어, + = + = . {\displaystyle 2+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {8}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {11}{4}}} 반대로, 부적절한 분수는 나머지와 나눗셈을 통해 혼합 수로 변환될 수 있습니다. 예를 들어, 4가 11에 두 번 들어가므로 3이 남으면 = + {\displaystyle {\tfrac {11}{4}}=2+{\tfrac {3}{4}}

초등학교에서 선생님들은 종종 모든 분수 결과를 혼합수로 표현해야 한다고 주장합니다.[19] 학교 밖에서는 일반적으로 혼합 숫자가 측정을 설명하는 데 사용되며, 예를 들어 2 {시간 또는 53/ 5\ 3인치 사용되며, 일상 생활과 무역, 특히 십진법 미터법을 사용하지 않는 지역에서 널리 사용됩니다. 그러나 과학적 측정은 일반적으로 소수 분수를 기초로 하는 미터법을 사용하며, 중등학교 단계부터 수학교육학은 모든 분수를 유리수, 정수의 로 균일하게 취급하며, "improper 분수"와 "혼합수"의 개념을 뒤로 하고 있습니다. 대수적 표현에서 병치는 곱셈을 의미한다는 관례에 익숙하기 때문에 수년간 수학 훈련을 받은 대학생들이 혼합수를 다시 만날 때 혼란을 겪을 때가 있습니다.[21]

역사적 관념

이집트 분수

이집트 분수는 서로 다른 양의 단위 분수의 합으로, 예를 들어 + { {3}}입니다 이 정의는 고대 이집트인들 를 제외한 모든 분수를 표현한 것에서 비롯됩니다 모든 양의 유리수는 이집트 분수로서 확장될 수 있습니다. 예를 들어 12+ + 로 쓸 있습니다 임의의 양의 유리수는 무한히 많은 방법으로 단위 분수의 합으로 쓸 수 있습니다. Two ways to write are and .

복소수와 복소수

복소 분수에서 분자 또는 분모 또는 둘 다 분수 또는 혼합수로 [22][23]분수의 나눗셈에 해당합니다. 예를 들어, 2 3 3 복소수입니다. 복잡한 분수를 단순한 분수로 줄이려면 가장 긴 분수 선을 나눗셈을 나타내는 것으로 처리합니다. 예:

복잡한 분수에서 어떤 분수 선이 우선하는지 구별할 수 있는 고유한 방법이 없는 경우, 모호성 때문에 이 표현식이 부적절하게 형성됩니다. 따라서 5/10/20/40은 다음과 같이 여러 가지 가능한 해석으로 인해 유효한 수학식이 아닙니다.

or as

복합 분수는 분수의 곱셈에 해당하는 단어와 연결된 분수의 분수 또는 임의의 수의 분수입니다.[22][23] 복합분수를 단순분수로 줄이려면 곱셈을 수행하면 됩니다(곱셈에 대한 항목 참조). 예를 들어, {\ tfrac × = displaystyle {\tfrac {3}{4}\times {\tfrac {5}{7}}= {\tfrac {15}{28}}에 해당하는 복합 분수입니다. 복합분수와 복소수라는 용어는 밀접한 관계가 있으며 때로는 하나는 다른 하나의 동의어로 사용되기도 합니다. (예를 들어, × {\{\{\/ /5 {\ {\5}}에 해당합니다.)

그럼에도 불구하고, "복합 분수"와 "복합 분수"는 둘 다 구식으로[24] 간주될 수 있으며, 현재는 잘 정의되지 않은 방식으로 사용될 수 있으며, 부분적으로 서로[25] 동의어로 사용되거나 혼합된 숫자로 사용될 수도 있습니다.[26] 이들은 전문 용어로서의 의미를 상실했으며 "복잡한" 속성과 "화합물" 속성은 "부품으로 구성된다"는 일상적인 의미로 사용되는 경향이 있습니다.

분수를 사용한 산술

분수도 정수와 마찬가지로 교환적, 연상적, 분배적 법칙을 따르고 나눗셈에 반대하는 규칙을 0으로 따릅니다.

혼합수 산술은 각각의 혼합수를 부적절한 분수로 변환하거나 각각을 정수와 분수의 합으로 처리하여 수행할 수 있습니다.

당량분수

분수의 분자와 분모에 같은 (0이 아닌) 숫자를 곱하면 원래 분수와 같은 분수가 나옵니다. 0이 아닌 n에 대하여 분수 이 1 1이기때문에 이는 입니다. 따라서 n {\displaystyle 을 곱하는 것은 1을 곱하는 것과 같습니다. 그리고 어떤 숫자에 1을 곱해도 원래 숫자와 같은 값을 갖습니다. 예를 들어, 분수 부터 시작합니다 분자와 분모가 둘 다 2를 곱하면 {\{\이며은 12{\{\와 같습니다 이를 시각적으로 묘사하려면 케이크를 네 조각으로 자르는 것을 상상해 보세요; 두 조각은 함께 ( { 케이크의 절반을 구성합니다( {\{\ {2}}).

분수 단순화(축소)

분수의 분자와 분모를 0이 아닌 동일한 수로 나누면 등가 분수가 산출됩니다. 분자와 분모가 둘 다 1보다 큰 수로 나누어진다면 분자와 분모가 작은 등가 분수로 줄어들 수 있습니다. 예를 들어 의 분자와 분모를 c c로 나눌 경우 = a=cd} b = , {\displaystyle b=ce그리고 분수는 {\tfrac {가 되며 이는 분자와 를 모두c {\c}로 나누어 감소된 분수 를 제공함으로써 감소될 수 있습니다

분자와 분모의 최대 공약수c로 하면 분자와 분모의 절대값이 가장 낮은 등가 분수를 얻게 됩니다. 어떤 사람은 분수가 가장 낮은 항으로 줄어들었다고 말합니다.

분자와 분모가 1보다 큰 인자를 공유하지 않으면 분수는 이미 가장 낮은 항으로 축소되며, 축소할 수 없거나, 간단히 말하면 축소할 수 있다고 합니다. 예를 들어 3과 9를 정확히 3으로 나눌 수 있으므로 가장 낮은 항이 아닙니다. 반면에 은 가장 낮은 으로, 3과 8 모두에 균등하게 들어가는 유일한 양의 정수는 1입니다.

이 규칙을 사용하여 예를 들어 5 = = = {\ }}= {\}}= {\}= {\을 보여줄 수 있습니다

또 다른 예로, 63과 462의 최대 공약수는 21이므로 분자와 분모를 21로 나누면 분수 를 가장 낮은 항으로 줄일 수 있습니다.

유클리드 알고리즘은 임의의 두 정수의 최대 공약수를 찾는 방법을 제공합니다.

분수비교

분수를 같은 양의 분모로 비교하면 분자를 비교하는 것과 동일한 결과가 나옵니다.

> 3 > 2, 4 4 양수이기 때문입니다.

등분모가 음수이면 분자를 비교하는 반대의 결과가 분수에 대해 성립합니다.

두 개의 양의 분수가 같은 분자를 가지면 분모가 작은 분수가 더 큰 수가 됩니다. 전체를 동일한 조각으로 나눌 때 전체를 구성하는 데 동일한 조각이 더 적게 필요하다면 각 조각은 더 커야 합니다. 두 개의 양의 분수는 분자가 같을 때 같은 수의 부분을 나타내지만 분모가 작은 분수에서는 더 큰 부분을 나타냅니다.

분자와 분모가 다른 분수를 비교하는 한 가지 방법은 공통분모를 찾는 것입니다. 을(를) 비교하려면 은 ⋅ ⋅ d {a\cdot d}{b\cdot d}} 및 b ⋅ cb ⋅ d {\tfrac {b\cdot c}{b\cdot d}}로 변환됩니다(여기서 점은 곱셈을 의미하며 ×에 대한 대체 기호입니다). 그러면 bd는 공통분모이고 분자 adbc를 비교할 수 있습니다. 분수를 비교하기 위해 공통 분모의 값을 결정할 필요는 없습니다. 예를 들어 을(를) 비교하지 않고 adbc를 비교할 수 있습니다. > 를 제공합니다

좀 더 어려운 질문 ? 는 각 분수의 위와 아래에 다른 분수의 분모를 곱하여 분모를 얻으며 5× × {을 생성합니까? × × 4 × 을 계산할 필요는 없으며 분자만 비교하면 됩니다. 5×17(= 85)이 ×(= 72)보다 크므로, 비교한 결과는 5 18 > 4 17 {\displaystyle {\tfrac {5}{18}}>{\tfrac {4}{17}}입니다.

음수를 포함한 모든 음수는 0보다 작으며 양수를 포함한 모든 양수는 0보다 크므로 어떤 음수도 어떤 양수보다 작습니다. 이를 통해 위의 규칙과 함께 가능한 모든 분수를 비교할 수 있습니다.

추가

덧셈의 첫 번째 규칙은 비슷한 양만 추가할 수 있다는 것입니다. 예를 들어, 다양한 양의 쿼터가 있습니다. 쿼터에 3분의 1을 더하는 것과 같은 수량과 달리, 먼저 아래에 설명된 것과 같은 수량으로 변환해야 합니다. 두 개의 4분의 1이 들어있는 주머니와 세 개의 4분의 1이 들어있는 주머니를 상상해보세요; 총 다섯 개의 4분의 1이 들어있습니다. 4/4은 1(달러)에 해당하므로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

+ = = displaystyle {\tfrac {2}{4}}+{\tfrac 3}{4}}={\tfrac 5}{4}}=1{\tfrac {1}{4}}.
케이크의 를 케이크의 에 추가하려면 조각을 8분의 1이나 4분의 1과 같은 비슷한 양으로 변환해야 합니다.

수량과 다르게 추가하기

양(예: 4분의 1과 3분의 1)과 달리 포함된 분수를 추가하려면 모든 양을 동일한 양으로 변환해야 합니다. 각 분수의 두 분모(아래 숫자)를 간단히 곱하면 다음과 같이 변환할 수 있는 분수의 유형을 쉽게 계산할 수 있습니다. 정수인 경우 보이지 않는 분모 을 적용합니다

4분의 1을 3분의 1에 더하면 두 가지 유형의 분수가 모두 12분의 1로 변환됩니다.

다음 두 가지 양을 추가하는 것을 고려해 보십시오.

먼저 모두에 을 곱하여 를 15분의 1로 변환합니다: 35 × 33 = 9 15 {\5}\times {\tfrac {3}{3}}= {\tfrac {9}{15}}. 33 {\displaystyle {\tfrac {3}{3}}은 1과 같으므로, 의 곱셈은 분수의 값을 변경하지 않습니다.

둘째, 분자와 분모 모두에 5를 곱하여 를 15분의 1로 변환합니다: × = tfrac {2}{3}\times {\tfrac {5}{5}}= {\tfrac {10}{15}}.

이제 다음을 확인할 수 있습니다.

다음과 같습니다.

이 방법은 대수적으로 표현할 수 있습니다.

이 대수적 방법은 항상 작동하므로 단순 분수의 합은 항상 다시 단순 분수임을 보장합니다. 그러나 단일 분모에 공통 요인이 포함된 경우 이들의 곱보다 작은 분모를 사용할 수 있습니다. 예를 들어 { {을 추가할 때 단일 분모는 공통 인자 2를 가지므로 분모 24(4 × 6) 대신 반분모 12를 사용하여 결과의 분모를 줄일 수 있습니다. 그리고 분자에 있는 인자들도.

가능한 가장 작은 분모는 단일 분모의 최소 공통 배수로 주어지는데, 이는 회전 배수를 단일 분모의 모든 공통 요인으로 나눈 결과입니다. 이것을 최소공통분모라고 합니다.

뺄셈

분수를 빼는 과정은 본질적으로 그것들을 더하는 과정과 같습니다. 공통분모를 구하고, 각 분수를 선택한 공통분모를 가진 동등한 분수로 바꿉니다. 결과적인 분수는 그 분모를 가질 것이고, 그 분자는 원래 분수의 분자를 뺀 결과가 될 것입니다. 예를 들어.

예를 들어, 혼합된 숫자를 빼려면, 미뉴엔드에서 추가로 하나를 빌릴 수 있습니다.

곱셈

분수에 다른 분수를 곱하기

분수를 곱하려면 분자를 곱하고 분모를 곱합니다. 따라서:

이 과정을 설명하려면 1/4분기의 1/3을 고려해야 합니다. 케이크의 예를 들어, 같은 크기의 작은 조각 세 개가 4분의 1, 그리고 4분의 4가 전체를 구성한다면, 이 작은 조각들 중 12개가 전체를 구성합니다. 따라서 4분의 1은 12분의 1입니다. 이제 분자를 생각해 보세요. 첫 번째 분획인 2/3은 1/3보다 두 배 더 큽니다. 사분의 1/3은 12분의 1이므로 사분의 2/3은 12분의 2입니다. 두 번째 분수인 3/4은 1/4의 3배이므로 3/4의 2/3은 1/4의 2/3의 3배입니다. 따라서 2/3 곱하기 3/4은 6/2입니다.

분수를 곱하기 위한 짧은 컷을 "취소"라고 합니다. 효과적으로 곱셈 중에 가장 낮은 항으로 답이 줄어듭니다. 예:

2는 왼쪽 분수의 분자와 오른쪽 분모 모두에서 공통적으로 나타나는 인자로 양쪽에서 나누어집니다. 3은 왼쪽 분모와 오른쪽 분모의 공통 인자로 둘 다 나누어져 있습니다.

분수에 정수를 곱하기

정수는 그 자신을 1로 나눈 것으로 다시 쓸 수 있기 때문에, 일반 분수 곱셈 규칙은 여전히 적용될 수 있습니다.

이 방법은 분수 6/1이 6개의 등분수를 의미하기 때문에 각각의 부분이 전부이기 때문에 효과가 있습니다.

혼합수 곱하기

혼합수를 곱할 때는 혼합수를 부적절한 분수로 변환하는 것이 바람직하다고 생각됩니다.[27] 예:

또는 분산 속성을 적용하여 혼합된 숫자를 곱할 수 있습니다. 이 예에서는.

나누기

분수를 정수로 나누려면 분자가 분자에 고르게 들어가면 분자를 숫자로 나누거나 분모에 숫자를 곱할 수 있습니다. For example, equals and also equals , which reduces to . To divide a number by a fraction, 그 수에 그 분수의 역수를 곱합니다. ÷ = × =1 ⋅ ⋅ 3 =1}{2}}\div {\=1}{2}\times {\{43}}={\tfrac {1\cdot 4}{2\cdot 3}={\tfrac {2}{3}}.

소수와 분수 사이의 변환

일반적인 분수를 10진수로 변경하려면 분자의 10진수 표현을 분모로 길게 나눈 다음(이는 관용적으로 "분모를 분자로 나눈다"라고도 함) 원하는 정확도에 대해 답을 반올림합니다. 예를 들어 1/4을 소수로 변경하려면 1.004로 나누면("41.00으로 나눈다") 0.25를 얻을 수 있습니다. 1/3을 십진법으로 바꾸려면 1.000을 나누세요... 3("3 ~ 1.000..."), 원하는 정확도가 얻어지면 중지합니다(예: 0.33333으로 4데시멀). 분수 1/4는 소수점 두 자리로 정확히 쓸 수 있는 반면 분수 1/3은 숫자가 유한한 소수점으로 정확히 쓸 수 없습니다. 십진법을 분수로 바꾸려면 분모 a 1 다음에 소수점 오른쪽에 숫자가 있는 만큼 0을 쓰고, 소수점을 빼고 원래 십진법의 숫자를 모두 분자에 적습니다. 따라서 = 입니다. {\displaystyle 12.3456 = {\tfrac {123456}{10000}}

반복 소수를 분수로 변환

십진법은 거의 틀림없이 계산을 수행할 때 더 유용하지만 일반 분수가 가지고 있는 정확성이 부족할 때가 있습니다. 때때로 같은 정밀도에 도달하기 위해서는 무한 반복 십진법이 필요합니다. 따라서 반복 십진법을 분수로 변환하는 것이 유용한 경우가 많습니다.

반복 십진법을 나타내는 일반적인 방법은 반복되는 숫자 위에 막대(빈쿨럼이라고 함)를 놓는 것입니다(예: 0.789 = 0.789789...). 소수점 바로 뒤에 시작하는 반복 패턴의 경우, 변환의 결과는 패턴을 분자로 하고 동일한 개수의 9를 분모로 하는 분수입니다. 예:

0.5 = 5/9
0.62 = 62/99
0.264 = 264/999
0.6291 = 6291/9999

선행 0이 패턴 앞에 오는 경우 9개는 동일한 수의 후행 0으로 접미사가 붙습니다.

0.05 = 5/90
0.000392 = 392/999000
0.0012 = 12/9900

반복되지 않는 소수점 집합이 패턴 앞에 오는 경우(예: 0.1523987), 숫자를 반복되지 않는 부분과 반복되는 부분의 합으로 각각 쓸 수 있습니다.

0.1523 + 0.0000987

그런 다음 두 부분을 분수로 변환하고 위에서 설명한 방법을 사용하여 추가합니다.

1523 / 10000 + 987 / 9990000 = 1522464 / 9990000

또는 다음과 같은 대수를 사용할 수 있습니다.

  1. x = 반복 십진법이라고 합니다.
    x = 0.1523987
  2. 양변에 10의 거듭제곱을 곱하면 십진법의4 반복되는 부분 바로 앞에서 십진법의 소수점을 움직일 수 있습니다.
    10,000x = 1,523.987
  3. 양쪽에 반복되는 장소의 수와 같은 10의3 거듭제곱(이 경우 10)을 곱합니다.
    10,000,000x = 1,523,987.987
  4. 두 방정식을 서로 빼십시오(a = b 및 c = d인 경우, a - c = b - d).
    10,000,000x − 10,000x = 1,523,987.987 − 1,523.987
  5. 뺄셈 연산을 계속하여 반복되는 십진법을 지웁니다.
    9,990,000x = 1,523,987 − 1,523
    9,990,000x = 1,522,464
  6. x를 분수로 나타내려면 양변을 9,990,000으로 나눕니다.
    x = 1522464/9990000

추상수학의 분수

분수는 실용적으로 매우 중요할 뿐만 아니라 수학자들에 의해 연구되며, 수학자들은 위에 주어진 분수에 대한 규칙이 일관적이고 신뢰할 수 있는지 확인합니다. 수학자들은 분수를 정수 ≠ 0, b\n의 순서쌍(로 정의합니다.덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 연산이 다음과 같이 정의되는 [28]eq

이러한 정의는 위에 제시된 정의와 모든 경우에 일치하며, 표기법만 다를 뿐입니다. 또는 뺄셈과 나눗셈을 연산으로 정의하는 대신 덧셈과 곱셈에 대한 "역" 분수를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

게다가, 다음과 같이 명시된 관계는

분수의 등가 관계입니다. 하나의 동등성 수업에서 나온 각 분수는 전체 수업에 대한 대표로 간주될 수 있고, 각 수업 전체는 하나의 추상적 분수로 간주될 수 있습니다. 이 등가성은 위에서 정의한 연산에 의해 보존됩니다. 즉, 분수에 대한 연산의 결과는 등가 클래스의 대표자 선택과 무관합니다. 형식적으로, 분수의 덧셈에 대하여

~( b b } 및 (d ~( {\ (c, d)\cuad }는 다음을 의미합니다.

그리고 다른 작업들도 마찬가지입니다.

정수의 분수의 경우, a와 b의 coprime이 있는 분수 a/b b > 0인 분수를 동일한 유리수로 간주하는 경우가 많습니다. 이런 식으로 정수의 분수는 유리수의 장을 구성합니다.

보다 일반적으로, ab는 임의의 적분 도메인 R의 원소일 수 있으며, 이 경우 분수는 R분수 필드의 원소입니다. 예를 들어, 어떤 적분 영역 D의 계수를 갖는 한 불확정 상태다항식은 그 자체로 적분 영역이며, 이것을 P라고 부릅니다. 따라서 P의 ab 원소의 경우, 생성된 분수의 장은 유리 분수의 장(유리 함수의 장이라고도 함)입니다.

대수분수

대수적 분수는 두 대수적 표현의 표시 입니다. 정수의 분수와 마찬가지로 대수적 분수의 분모는 0일 수 없습니다. 대수적 분수의 두 가지 예는 + - + - 3 입니다 대수적 분수는 산술 분수와 동일한 필드 특성을 갖습니다.

+ - 3 와 같이 분자와 분모가 다항식일 경우 대수분수를 유리분수(또는 유리식)라고 합니다 비합리적 분수 + x - 3 {\displaystyle {x+ {}-와 같이 분수 지수 또는 근 아래에 변수를 포함하는 경우와 같이 유리하지 않은 분수입니다

대수적 분수를 설명하는 데 사용되는 용어는 일반 분수에 사용되는 용어와 유사합니다. 예를 들어, 분자와 분모에 공통적인 요인이 1과 -1인 경우 대수적 분수는 가장 낮은 항에 있습니다. 나 분모 또는 둘 다 1+ 1 1- x 와 같이 분수를 포함하는 대수적 분수를 복소 분수라고 합니다

유리수의 분야는 정수의 분수의 분야인 반면, 정수 자체는 분야가 아니라 통합된 영역입니다. 마찬가지로, 필드에 계수가 있는 유리 분수는 필드에 계수가 있는 다항식의 분수 필드를 형성합니다. 실제 계수가 있는 유리 분수를 고려할 때, / 2 과 같은 수를 나타내는 근저 표현도 유리 분수이며 2 π{\sqrt 2},\pi},\ 2 실수이므로 계수로 간주됩니다. 그러나 이와 같은 수들은 정수 계수를 갖는 유리 분수가 아닙니다.

부분 분수라는 용어는 유리 분수를 단순 분수의 합으로 분해할 때 사용됩니다. 예를 들어, 유리 - {\{\ 는 두 분수의 합으로 분해될 수 있습니다: + 1+ - . {\{\frac {1}{x+1}}+{\ 이는 유리 함수도함수 계산에 유용합니다(자세한 내용은 부분 분수 분해 참조).

과격한 표현

분수는 분자 또는 분모에 라디칼을 포함할 수도 있습니다. 분모에 라디칼이 포함되어 있는 경우(Simplified form of radical expression), 특히 해당 분모를 다른 분모에 추가하거나 비교하는 것과 같은 추가 작업이 수행되는 경우), 이를 합리화하는 데 도움이 될 수 있습니다. 또한 분할을 수동으로 하는 경우에도 더 편리합니다. 분모가 단항 제곱근일 때, 분모에 분모의 상단과 하단을 모두 곱하여 합리화할 수 있습니다.

이항분모의 합리화 과정은 분모가 유리수가 되도록 분모의 위와 아래에 분모의 공액을 곱하는 과정을 포함합니다. 예:

이 과정이 위의 예와 같이 분자가 비합리적인 결과를 초래하더라도, 이 과정은 분모 내에서 작업해야 하는 비합리적인 수를 줄임으로써 후속 조작을 용이하게 할 수 있습니다.

활자 변형

컴퓨터 디스플레이와 타이포그래피에서 간단한 분수는 ½(1/2)과 같은 단일 문자로 인쇄되기도 합니다. 유니코드에서 작업을 수행하는 방법에 대한 자세한 내용은 번호 양식의 문서를 참조하십시오.

과학 출판은 분수를 설정하는 네 가지 방법과 사용 지침을 구분합니다.[29]

  • 특수 분수: 텍스트의 다른 문자와 거의 동일한 높이와 너비를 가진 기울어진 막대를 가진 단일 문자로 표시되는 분수. 일반적으로 ½, ⅓, ⅔, ¼ 및 ¾과 같은 단순 분수에 사용됩니다. 숫자가 더 작기 때문에 특히 작은 크기의 글꼴의 경우 가독성이 문제가 될 수 있습니다. 이것들은 현대 수학 표기법에서 사용되는 것이 아니라 다른 맥락에서 사용됩니다.
  • 대소문자 구분: 특수분수와 유사하게, 이것들은 하나의 타자 문자로 렌더링되지만, 가로 막대로 렌더링되므로, 그것들은 똑바로 세워집니다. 들어 {\ {\2이지만 다른 문자와 동일한 높이로 렌더링됩니다. 일부 소스는 막대 방향에 관계없이 하나의 타이포그래픽 공간만 취하는 경우 분수를 대소문자 분수로 렌더링하는 것을 모두 포함합니다.[30]
  • 실링 또는 솔리더스 분수: 1/2, 이 표기법은 반 크라운의 "2/6"과 같이 십진법 이전의 영국 통화(£sd)에 사용되었기 때문에, 2 실링과 6 펜스를 의미합니다. "2실링과 6펜스"라는 표기법은 분수를 나타내지 않았지만, 앞으로 슬래시는 분수에서 사용되며, 특히 산문에 줄을 선 분수는 균일하지 않은 선을 피하기 위해 사용됩니다. 또한 가독성을 높이기 위해 분수 내의 분수(복소수) 또는 지수 내의 분수에도 사용됩니다. 이렇게 쓰인 분수는 조각 분수라고도 하는데,[31] 모두 한 줄의 타이포그래픽에 쓰여 있지만, 3개 이상의 타이포그래픽 공간을 사용합니다.
  • 기본 분수: 이 표기법은 일반 텍스트의 두 줄 이상을 사용하며 다른 텍스트 내에 포함될 경우 행 간 간격에 차이가 발생합니다. 크고 읽을 수 있지만 특히 단순 분수나 복잡한 분수 내에서 이러한 것들은 파괴적일 수 있습니다.

역사

가장 초기의 분수는 정수역수였습니다: 고대의 기호는 2의 한 부분, 3의 한 부분, 4의 한 부분 등을 나타냅니다.[32] 이집트인들은 기원전 1000년이집트 분수를 사용했습니다. 약 4000년 전, 이집트인들은 약간 다른 방법을 사용하여 분수로 나누었습니다. 그들은 단위 분수가 있는 최소공배수를 사용했습니다. 그들의 방법은 현대의 방법과 같은 답을 주었습니다.[33] 이집트인들은 또한 아크밈 목판과 몇 가지 린드 수학 파피루스 문제에서 다이아딕 분수에 대한 다른 표기법을 가지고 있었습니다.[citation needed]

그리스인들은 단위 분수와 (나중에) 연속 분수를 사용했습니다. 그리스 철학자 피타고라스(기원전 530년경)의 추종자들은 2의 제곱근정수의 일부로 표현될 수 없다는 것을 발견했습니다. (이는 일반적으로 메타폰툼히파수스가 이 사실을 밝혔기 때문에 처형당했다고 알려진 것에 기인한 것으로 여겨집니다.) 기원전 150년 인도의 자인 수학자들은 수론, 산술 연산, 분수 연산에 관한 연구를 담은 '스타낭가 수경'을 저술했습니다.

빈나라시로 알려진 분수의 현대적인 표현은 아랴브하타 (c. AD 500),[citation needed] 브라마굽타 (c. 628), 바스카라 (c. 1150)의 작업에서 인도에서 유래된 것으로 보입니다.[34] 그들의 작품은 분모(체다) 위에 분자(산스크리트어: 암사)를 놓음으로써 분수를 형성하지만, 그 사이에는 막대가 없습니다.[34] 산스크리트 문학에서 분수는 항상 정수의 덧셈 또는 뺄셈으로 표현되었습니다.[citation needed] 정수는 한 줄에, 분수는 다음 줄의 두 부분에 쓰였습니다. 분수가 작은 원 ⟨०⟩ 또는 교차 ⟨+ ⟩로 표시된 경우 정수에서 차감되고, 그러한 부호가 나타나지 않으면 추가되는 것으로 이해됩니다. 예를 들어, 바스카라 1세는 다음과 같이 쓰고 있습니다.[35]

६ १ २
१ १ १
४ ५ ९

다음과 같은 것입니다.

6 1 2
1 1 −1
4 5 9

그리고 현대식 표기법으로 61/4, 11/5, 2 - 1/9 (즉, 18/9)로 표기됩니다.

수평분수 막대는 모로코 페즈 출신의 이슬람 수학자Al-Hassarr(fl.[34]1200)의 연구에서 처음으로 입증되는데, 그는 이슬람 상속법학을 전공했습니다. 그의 토론에서 그는 이렇게 썼습니다: "예를 들어, 여러분이 5분의 3과 5분의 1을 쓰라고 하면, 써라, 3 5 1 3}}."[36] 정수[34] 앞에 주어진 분수와 같은 분수 표기법이 13세기 레오나르도 피보나치의 연구에서 곧 등장합니다.[37]

십진법의 기원을 논하면서, 디르크스트루익은 다음과 같이 말합니다.[38]

십진법을 일반적인 계산 방법으로 소개한 것은 1585년 레이든에서 출판된 플랑드르의 팜플렛 드 티엔데로 거슬러 올라갈 수 있으며, 플랑드르의 수학자 시몬 스테빈(Simon Stevin, 1548–1620)이 프랑스어로 번역한 라 디스메(La Disme)와 함께 네덜란드 북부에 정착했습니다. 중국인들이 십진법 분수를 사용한 것은 Stevin보다 수세기 이전부터이며, 페르시아 천문학자 Al-Kāsh ī가 산술열쇠쉽게 사용한 것은 사실입니다(Samarkand, 15세기 초).

페르시아 수학자 잠시 ī드 알카쉬 ī는 15세기에 소수 분수를 스스로 발견했다고 주장한 반면, J. 렌나르트 베르그렌은 10세기에 바그다디 수학자 아부엘-하산 알-우클리디시에 의해 보다 5세기 전에 처음 사용되었기 때문에 그가 잘못 알고 있었다고 지적합니다.

정규교육에서.

교육학적 도구

초등학교에서 분수는 쿠세네어 막대, 분수 막대, 분수 스트립, 분수 원, 종이(접기 또는 절단용), 패턴 블록, 파이 모양 조각, 플라스틱 직사각형, 격자 종이, 도트 종이, 지오보드, 카운터 및 컴퓨터 소프트웨어를 통해 입증되었습니다.

교사용 문서

미국의 여러 주에서는 공통 핵심 국가 표준 이니셔티브의 수학 교육 지침에서 학습 궤적을 채택했습니다. 분수와 분수를 사용한 연산의 순서를 정하는 것 외에도, 이 문서는 분수에 대한 다음과 같은 정의를 제공합니다: }/ {\ 형태로 표현 가능한 숫자. 정수이고 b 양수입니다. (이 표준들에서 분수라는 단어는 항상 음수가 아닌 숫자를 말합니다.)"[42] 문서 자체도 음수를 언급하고 있습니다.

참고 항목

수계
복잡한
진짜
합리적인
정수
자연의
0 : 0
1: 1
소수
합성수
음의 정수
분수
유한 십진법
다이아딕 (무한쌍성)
반복 십진법
무리수
대수 무리수
초월적
허수

메모들

  1. ^ Bringhurst와 같은 일부 타이포그래퍼들은 슬래시 ⟨/⟩를 버걸(virgule)로, 분수 슬래시 ⟨⁄⟩를 솔리더스(solidus)로 잘못 구분하지만, 사실 둘 다 표준 슬래시의 동의어입니다.
  2. ^ 알-우클리디시의 기여의 우선순위에 대해서는 수학 학자들 사이에 약간의 이견이 있지만, 소수 분수 개념에 대한 그의 주요 기여에 대해서는 의문의 여지가 없습니다.[41]

참고문헌

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외부 링크