정확한 대각선화

정확한 대각선화(ED)는 양자 해밀턴의 고유 상태와 에너지 고유값을 결정하기 위해 물리학에서 사용되는 수치 기법입니다.이 기술에서 이산 유한 시스템을 위한 해밀턴식은 매트릭스 형태로 표현되며 컴퓨터를 사용하여 대각선화된다.정확한 대각화는 양자 시스템의 크기에 따라 힐버트 공간 치수가 기하급수적으로 증가하기 때문에 수십 개의 입자를 가진 시스템에만 가능합니다.Hubbard 모델, Ising 모델, Heisenberg 모델, t-J 모델 및 SYK ^[1]^[2]모델을 포함한 격자 모델을 연구하는 데 자주 사용됩니다.

정확한 대각화의 기대치

주어진 해밀턴의 고유 $|n\rangle$ n ${\$ {\ $displaystyle$ n $\rangle}$ 및 $|n\rangle$ 에너지 $\epsilon _{n}$ n {\ $displaystyle \epsilon$ _ ${n}}$ 을 $\epsilon_n$ 결정한 후 정확한 대각화를 사용하여 관측 가능성의 기대치를 구할 수 있다.예를 들어 O $(\$ 가 ${\mathcal {O}}$ 관측 가능한 ${\mathcal {O}}$ 열 기대값은 다음과 같습니다.

\displaystyle \mathcal {O}\rangle = sum _{n}e^{-\silon _{n}\silon _{n}\silon {mathcal {O}}n\rangle ,}

$Z=\sum _{n}e^{-\beta \epsilon _{n}}$ 서, Z $=$ e - $Z=\sum _{n}e^{-\beta \epsilon _{n}}$ n $Z=\sum _{n}e^{-\beta \epsilon _{n}}$ {\ $displaystyle$ Z=\ $sum$ _ ${n}e^{-\displaysilon$ _ ${n}}}$ 은 $Z=\sum _{n}e^{-\beta \epsilon _{n}}$ 분할 함수이다.문제의 초기 기준으로 관측 가능한 값을 기록할 수 있는 경우 고유 상태를 기준으로 변환한 후 이 합계를 평가할 수 있습니다.

그린의 함수도 비슷하게 평가할 수 있다.예를 들어 지각 그린의 $G^{R}(t)=-i\theta (t)\langle [A(t),B(0)]\rangle$ $G^{R}(t)=-i\theta (t)\langle [A(t),B(0)]\rangle$ R $G^{R}(t)=-i\theta (t)\langle [A(t),B(0)]\rangle$ ( $G^{R}(t)=-i\theta (t)\langle [A(t),B(0)]\rangle$ ) $G^{R}(t)=-i\theta (t)\langle [A(t),B(0)]\rangle$ - $G^{R}(t)=-i\theta (t)\langle [A(t),B(0)]\rangle$ $G^{R}(t)=-i\theta (t)\langle [A(t),B(0)]\rangle$ ( $G^{R}(t)=-i\theta (t)\langle [A(t),B(0)]\rangle$ $G^{R}(t)=-i\theta (t)\langle [A(t),B(0)]\rangle$ [ $G^{R}(t)=-i\theta (t)\langle [A(t),B(0)]\rangle$ ( $G^{R}(t)=-i\theta (t)\langle [A(t),B(0)]\rangle$ ) , $B$ ( $G^{R}(t)=-i\theta (t)\langle [A(t),B(0)]\rangle$ ) $G^{R}(t)=-i\theta (t)\langle [A(t),B(0)]\rangle$ ${\$ { \ $displaystyle$ G^ { $R$ （ $t$ ） = - $i$ \ $theta ( t$ ) \ $rangle }$ 을 $G^{R}(t)=-i\theta (t)\langle [A(t),B(0)]\rangle$ 쓸 수 있습니다.

\displaystyle G^{R}(t)=-{\frac {i\theta(t)}{Z}}\left(e^{-\sum \silon _{n}}\left(e^{-\silon _{m}}\right)\controlle N A(0) m\rangle \cle e(0)\cle e(0)

정확한 대각화를 사용하여 퀀치 후 시스템의 시간 진화를 결정할 수도 있습니다.시스템이 초기상태로 $준비$ 되었다고 가정합니다. $시간$ $t>0$ $>$ 0 { $displaystyle$ $t$ $>$ $0$ } $|\psi \rangle$ 에는 $t>0$ 새로운 ${\mathcal {H}}$ H ${\mathcal {H}}$ { \ $displaystyle$ ${\mathcal {H}}$ { $H$ 로 진화합니다. $시각$ t의 상태는 다음과 $t$ 같습니다.

\psi (t)\rangle =\sum _{n}e^{-i\ilon _{n}t/\hbar}\controlle n \psi (0)\rangle n\rangle .

메모리 요건

양자 시스템을 설명하는 힐버트 공간의 차원은 시스템 크기에 따라 기하급수적으로 확장됩니다.예를 들어 고정 격자 부위에서 국지화된N(\ $displaystyle$ N $N$ ) 스핀의 $N$ 을 생각해 보겠습니다.각 스핀의 상태는 스핀업과 스핀다운의 중첩으로 설명할 수 있기 때문에 온 사이트 기준 치수는 2입니다. $\left|\uparrow \right\rangle$ $\left|\downarrow \right\rangle$ ↓ $↓$ {\ $displaystyle \$ $left$ \ $downarrow \right$ $\$ rangle $}$ 및 {{ $displaystyle \$ $right$ $\$ rangle }로 $\left|\uparrow \right\rangle$ 표기됩니다. 전체 시스템은 $({$ $2$ $2^{N}$ 행렬로 표현되는 해밀턴의 $2^{N}\times 2^{N}$ 는 $2^{N}\times 2^{N}$ × $(\$ 2 $^{N}\times$ 2 $^{N$ 이다.이는 정확한 대각선화에서 계산 시간과 메모리 요건이 매우 불리하게 확장된다는 것을 의미합니다.실제로 메모리 요건은 문제의 대칭성을 이용하거나 보존 법칙을 적용하거나 스파스 매트릭스를 사용하거나 다른 기술을 사용함으로써 줄일 수 있습니다.

컴퓨터에서 실행되는 스핀-드라이브 시스템의 정확한 대각선화 메모리 요구 사항에 대한 단순한 추정치.

사이트 수	상태 수	메모리의 해밀턴 크기
4	16	2048 B
9	512	2 MB
16	65536	34 GB
25	33554432	9 PB
36	6.872e10	40 ZB

다른 기술과의 비교

정확한 대각화는 유한 시스템에 대한 정확한 정보를 추출하는 데 유용합니다.그러나 종종 무한 격자 시스템에 대한 통찰력을 얻기 위해 작은 시스템이 연구된다.대각선화된 시스템이 너무 작으면 그 특성은 열역학적 한계에서 시스템의 특성을 반영하지 못하고 시뮬레이션은 유한한 크기의 영향을 받는다고 한다.

보조장 몬테카를로와 같은 다른 정확한 이론 기법과 달리, 정확한 대각화는 상상의 시간이 아닌 그린의 함수를 실시간으로 직접 얻습니다.이러한 다른 기법과 달리 정확한 대각선화 결과는 수치적으로 분석적으로 연속될 필요가 없습니다.수치 분석의 계속은 적절하지 않고 어려운 최적화 ^[3]문제이기 때문에 이것이 장점이다.

적용들

동적 평균장 이론 ^[4]기술의 불순물 해결제로 사용할 수 있습니다.

유한 크기 스케일링과 결합하면 1D 횡장 Ising ^[5]모델의 지면 상태 에너지 및 임계 지수를 추정할 수 있습니다.

반강자성, 스핀파 ^[6]속도 등 자기장에서의 2D 하이젠베르크 모델의 다양한 특성 연구

2D Hubbard ^[7]모델의 드러드 무게 연구.

OTOC(^[8]Out-of-Time-Of-Order Correlation) 및 SYK 모델에서의 스크램블링 연구.

강하게 상관된 ^[9]물질의 공명 X선 스펙트럼 시뮬레이션.

실장

양자 해밀턴의 정확한 대각화를 구현하는 수많은 소프트웨어 패키지가 존재합니다.여기에는 QuSpin, ALPS, DoQo, EdLib, edrix 등이 포함됩니다.

일반화

다수의 소규모 클러스터로부터의 정확한 대각선화 결과를 조합하여 수치 링크 클러스터 ^[10]확장을 사용하여 열역학 한계 내의 시스템에 대한 보다 정확한 정보를 얻을 수 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

란초스 알고리즘

레퍼런스

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외부 링크

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