로이의 정체성

로이의 정체성(프랑스 경제학자 르네 로이의 이름에서 따온 것)은 미시경제학의 주요 결과물로 소비자의 선택과 기업의 이론에 적용되고 있다.이 조항은 일반(마샬리안) 수요 함수를 간접 효용 함수의 파생상품과 관련짓는다.구체적으로 간접 효용 함수를 v${\displaystyle }$(${\displaystyle p}$ ,${\displaystyle w}$) , ${\displaystyle$ v $($p$, w$ ) , {\$displaystyle$ i$}$ 의 마셜 수요 함수로 $나타내면{\displaystyle }$ 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\displaystyle x_{i}^{m}(p,w)=-{\frac {\frac p_{i}}{\frac {\frac v}{\frac w}}}$

$여기$서 p$\displaystyle$p는$$ 상품의 가격 벡터이고 $\displaystyle$w는$$ ^[1]소득입니다.

로이의 정체성 유도

$로이$의 정체성은 간접 효용 기능으로부터 개인과 $$를 위한 마샬식 $수요$ 기능을 얻기 위해 셰퍼드의 보조체를 재구성했다$.$

첫 번째 단계는$$간접 효용 $함수{\displaystyle }$v (${\displaystyle p}$ ,${\displaystyle w}$) \ $displaystyle$ v ( p , w ) \ $displaystyle$ v $( p$ ,$w$ )$$\$$$displaystyle$$u$의 효용에서 부 또는 $소득$에 대한 지출 함수를 대체하여 얻은 사소한 정체성을 고려하는 것이다.

${\displaystyle v(p,e(p,u)}=u}$

이는 가격($벡터{\displaystyle }$ p$\displaystyle$ p$)$이 주어진 특정 효용 달성에 드는 비용을 최소화하는 방식으로 평가된 간접 효용 함수가 해당 가격으로 평가되었을 때 효용과 동일하다는 것을 의미한다.

(효용 수준을 일정하게 유지한 상태에서) 단일 $상품{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {pi}_{}}$(\$displaystyle p_{i})$의 가격과 관련하여 이 방정식의 양쪽의 도함수를 취하면 다음과 같은 결과가 나온다.

${\displaystyle \frac{\partial }{}}$ ${\displaystyle \frac{v}{}}$ ${\displaystyle \frac{v}{}}$[${\displaystyle \frac{p}{}}$ , e${\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{}{}\frac{p}{}}$ ,${\displaystyle \frac{}{}}$u )${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$∂∂ ${\displaystyle \frac{w（}{}}$ p ,${\displaystyle \frac{u}{}\frac{\mathrm{}}{}}$）∂∂ ${\displaystyle \frac{{pi}_{}}{}\frac{{}_{}}{}}$+${\displaystyle \frac{}{}}$∂ [ [$pi$= $0$ \ display \$frac$（ p , ${\displaystyle \frac{e}{}}$ ,$$u ）{ display \ frac { p ,$e$ , e ,${\displaystyle \frac{}{}}$u$}{\ display w }$ {\$frac$ { $frac$ { $p$}

재배치하면 원하는 결과를 얻을 수 있습니다.

$\displaystyle - {\frac {\frac v[p,e(p,u)}{\frac {\frac p_{i}}{\frac {p,e(p,u)}=frac {\frac e(p,u)}=h_i(p,u){x}$

힉스식 요구의 기본적 특성에서 쉐퍼드 레마 다음으로 두 번째에서 마지막까지 평등하다.

엔벨로프 정리를 이용한 대체 증명

겉치레로 쉽게 표현하기 위해 두 가지 좋은 경우를 고려해 보세요.간접 효용 $함수{\displaystyle }$v ( ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$1, ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}2}$,$$w ) { $displaystyle$v ( $p$_ {$1$ , $p$_ {$2$ , $w$) }는$$ 다음과 같은 ^[2]Lagrangian으로 특징지어지는 제약된 최적화 문제의 값입니다.

$({displaystyle {L}}=u(x_{1},x_{2})+\lambda(w-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2})$

엔벨로프 정리에 따르면 파라미터에 대한 값 $함수{\displaystyle }$ v${\displaystyle ({}_{}{}_{}}$1, p${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle w}$){$displaystyle$ v$(p_{1},p_{2},w}}$의 도함수는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac v}{\frac p_{1}}=-\facda x_{1}^{m}$

$(\displaystyle\frac v}{\display w}=\displayda})$

${\displaystyle {여기}_{}^{}}$서 x $({$는 최대화기(재 1에 대한 마셜 수요 함수)입니다.이 때문에,

${\displaystyle - {\frac p_{1} {\frac {\frac v} {\frac {-\frac x_{1} {{m}} {\frac {-\frac x_{1} {\frac} =x_{1} {{m}$

어플

이것은 일부 소비자에게 해당 소비자의 간접 효용함수로부터 재화의 마셜적 수요함수를 도출하는 방법을 제공한다.그것은 또한 슬러츠키 방정식을 도출하는 데 기초적이다.

레퍼런스

• Roy, René (1947). "La Distribution du Revenu Entre Les Divers Biens". Econometrica. 15 (3): 205–225. JSTOR 1905479.