진입불확도

양자역학, 정보이론, 푸리에 분석에서, 융합적 불확실성 또는 허쉬만 불확실성은 시간적, 스펙트럼적 샤논 엔트로피의 합으로 정의된다. 하이젠베르크의 불확실성 원리는 이러한 엔트로피의 합계에 대한 하한으로 표현될 수 있는 것으로 나타났다. 이는 표준편차의 산출물 측면에서 불확실성 원리에 대한 일반적인 진술보다 강하다.

1957년,^[1] 허쉬만은 f함수와 fourier 변환 g를 다음과 같이 생각했다.

$\displaystyle g(y)\cHB\cHBFFF\,dx,\qquad f(x)\\int_{-\infit }^{\infit }}\expy ixy(y)\cHB\dy,dy~}$

여기서 "정합성"은 L의² 정합성을 나타내며, (플랑쉐렐의 정리) 다음과 같이 정규화된다.

${\displaystyle \int _{-\infit _{-\infit _{2}\,dx=\int_{-\infit }^{-\infit }^{-\infit }g(y) ^{2}\,dy=1.}$

그는 그러한 기능에서 섀넌 엔트로피의 합계가 음성이 아니라는 것을 보여주었다.

${\displaystyle H(f ^{2})+H(g ^{2})\equiv -\int _{-\int _{-\int _{-\inft ^{2}\log f(x) ^{2}\\\dx-\int _{-\inft ^{-\inft ^{2}\log g(y) ^{2\,dy.$

더 촘촘한 바운드,

허쉬만과^[1] 에버렛에 의해 추측되었고,^[2] W. 벡너에^[3] 의해 1975년에 증명되었으며, 같은 해에 비아윈키 비룰라와 미실스키에 의해 일반화된 양자 기계적 불확실성 원리로 해석되었다.^[4] 가우스 분포의 경우 동등성이 유지된다.^[5] 허쉬만-에베렛 엔트로피는 로그 슈뢰딩거 방정식에 주입된다. 그러나 위의 등방성 불확도 함수는 위상공간에서 표현되는 양자 폰 노이만 엔트로피와는 확연히 다르다는 점에 유의한다.

증거 스케치

이러한 엄격한 불평등의 증명은 푸리에 변환의 소위 (q, p)-규범에 달려 있다.(이 규범을 확립하는 것이 증명에서 가장 어려운 부분이다.)

이 표준으로부터, 샤논 엔트로피를 일반화하는 (차등) 레니 엔트로피, H_α(f ²)+H_β(g²)의 합계에 하한을 설정할 수 있다. 여기서 1/α + 1/β = 2는 샤논 엔트로피를 일반화한다. 단순성을 위해, 우리는 이러한 불평등을 하나의 차원으로만 간주한다; 다차원으로의 확장은 간단하고 인용된 문헌에서 찾을 수 있다.

바벤코-베크너 불평등

푸리에 변환의 (q, p)-규범은 다음과^[6] 같이 정의된다.

‖ F‖ q, p)식사 f∈ 나는 p(R)‖ Ff‖ f‖ pq‖,{\displaystyle\와 같이{{F\mathcal}})_{q,p}=\sup _ᆬ(\mathbb{R})}{\frac{){{F\mathcal}}f\ _{q}}{)f\_{p}}},}1< 안 ≤ 2,{1<, p\leq 2~\displaystyle,}과 1p+1q=1.{\displaystyle{\frac{1}{p}}와{\frac{.1}${q}=1.}$

1961년 바벤코는^[7] q의 정수 값에도 이 규범을 발견하였다. 마침내 1975년, 헤르미테 함수를 푸리에 변환의 고유 기능으로 사용하여 벡너는^[3] 모든 q 2 2에 대해 이 규범의 값(한 차원)이 다음과 같은 것임을 증명하였다.

${\displaystyle \{\mathcal {F}\{q,p}={\sqrt{p^{1/p}/q^{1/q}}}}.}$

그래서 우리는 바벤코-벡너 불평등을 가지고 있다.

${\displaystyle \{\mathcal{F}f\_{q}\leq \left(p^{1/p}/q^{1/q}\오른쪽)^{1/2}\ f\ _{p}.}$

레니 엔트로피 바인딩

이러한 불평등으로부터, 레니 엔트로피라는 관점에서 불확실성 원리의 표현을 도출할 수 있다.^[6][8]

$g{\displaystyle }$= ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle$ g$={\mathcal {F}f$ 2α=p, 2β=q를 허용하면 1/α + 1/3 = 2 및 1/2[1<β, 우리는 다음과 같이 된다.

${\displaystyle \left(\int _{\mathbb {R} } g(y) ^{2\beta }\,dy\right)^{1/2\beta }\leq {\frac {(2\alpha )^{1/4\alpha }}{(2\beta )^{1/4\beta }}}\left(\int _{\mathbb {R} } f(x) ^{2\alpha }\,dx\right)^{1/2\alpha }.}$

양쪽을 다 찌르고 로그인을 찍으면

${\displaystyle {\frac {1}{\beta }}\log \left(\int _{\mathbb {R} } g(y) ^{2\beta }\,dy\right)\leq {\frac {1}{2}}\log {\frac {(2\alpha )^{1/\alpha }}{(2\beta )^{1/\beta }}}+{\frac {1}{\alpha }}\log \left(\int _{\mathbb {R} } f(x) ^{2\alpha }\,dx\right).}$

양쪽을 곱하기

${\displaystyle {\frac {\property }{1-\property }=-{\frac {\precent }{1-\property }}}$

불평등감을 뒤엎고

${\displaystyle {\frac {1}{1-\beta }}\log \left(\int _{\mathbb {R} } g(y) ^{2\beta }\,dy\right)\geq {\frac {\alpha }{2(\alpha -1)}}\log {\frac {(2\alpha )^{1/\alpha }}{(2\beta )^{1/\beta }}}-{\frac {1}{1-\alpha }}\log \left(\int _{\mathbb {R} } f(x) ^{2\alpha }\,dx\right)~.}$

재정비 용어는 결국 레니 엔트로피의 합계에 있어서 불평등을 낳는다.

${\displaystyle {\frac {1}{1-\alpha }}\log \left(\int _{\mathbb {R} } f(x) ^{2\alpha }\,dx\right)+{\frac {1}{1-\beta }}\log \left(\int _{\mathbb {R} } g(y) ^{2\beta }\,dy\right)\geq {\frac {\alpha }{2(\alpha -1)}}\log {\frac {(2\alpha )^{1/\alpha }}{(2\beta )^{1/\beta }}};}$

${\displaystyle H_{\alpha }(f ^{2})+H_{\\beta }(g ^{2})\geq {\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽({\frac {\log \alpha -1}+{\fraca }{\beta -1}+{\log \beta }{\beta -1}\log \log 2.}$

이 불평등은 α와 β에 관해서 대칭적이라는 점에 유의하십시오: 더 이상 α<β; 그것들이 양성이며 둘 다 아니라고만 가정하고 1/α + 1/β = 2를 가정할 필요가 없다. 이 대칭을 보려면 푸리에 변환에서 i와 -i의 rôle을 교환하기만 하면 된다.

섀넌 엔트로피 바인딩

이 마지막 불평등의 한계를 α, β → 1로 보면 샤논 엔트로피 불평등이 덜 일반적인 것으로 나타난다.

${\displaystyle H(f ^{2})+H(g ^{2})\geq \log {\frac {e}{2}},\quad {\where}\quad g(y)\cHB {\mathb {R}}\e^{-2\pi ixy}f(x)\,},},}$

정보, 비트, nat 등의 적절한 단위를 선택하는 한, 로그의 모든 베이스에 유효하다.

그러나 상수는 푸리에 변환의 다른 정규화에 대해 다를 것이다(예를 들어, 일반적으로 물리학에 사용되며, izations=1 ).

${\displaystyle H(f ^{2})+H(g ^{2})\geq \log(\pi e)\quad {\textrm {\frac {1}{\sqrt{2\pi }}}\int _{\mathb {R}e^{-ixy}f(x)\,dx~}$

이 경우 2㎛의 인수에 의한 푸리에 변환 절대 제곱의 확장은 단순히 엔트로피에 로그(2㎛)를 추가한다.

엔트로피 대 분산 한계

가우스 분포 또는 정규 확률 분포는 분산과 엔트로피의 관계에서 중요한 역할을 한다: 이 분포가 주어진 분산에 대한 엔트로피를 최대화한다는 것을 보여주는 것은 변동의 미적분학의 문제임과 동시에 주어진 엔트로피의 분산을 최소화한다. 실제로 실제 라인의$$ 확률밀도함수 { ${\displaystyle \phi }$에 대해 섀넌의 엔트로피 불평등은 다음을 명시한다.

${\displaystyle H(\phi )\leq \log {\sqrt {2\pi eV(\phi )},}$

여기서 H는 Shannon 엔트로피, V는 분산, 즉 정규 분포의 경우에만 포화 상태에 있는 불평등이다.

더욱이 가우스 확률 진폭 함수의 푸리에 변환도 가우스식이며, 이 두 가지 모두 절대 제곱도 가우스식이다. 그 후 이는 위의 등가성 불평등에서 통상적인 로버슨 분산 불확실성 불평등을 도출하는 데 사용될 수 있으며, 후자가 전자보다 더 엄격해질 수 있다. 즉, (==1)의 경우, 허쉬만 불평등을 강조하고 위의 섀넌의 표현을 사용하는 것이다.

$\displaystyle 1/2\leq \exp(H(f ^{2})+H( g ^{2})/(2e\pi )\leq {\sqrt {V(f ^{2})V(g ^{2})}}}}}}}~}$

허쉬먼은^[1] 엔트로피(Entropy)에 대한 그의 버전은 섀넌의 엔트로피(Entropy)에 대한 음수(negative)였으며, 이는 "작은 척도의 [확률 분포] 농도의 측정"이라고 설명했다. 따라서 음의 섀넌 엔트로피가 낮거나 크다는 것은 확률 분포의 상당량이 작은 척도로 제한된다는 것을 의미한다.

이 작은 척도의 집합은 연속적일 필요가 없다는 점에 유의하십시오. 확률 분포는 작은 척도의 간격에 여러 가지 질량의 농도를 가질 수 있으며, 그러한 구간이 아무리 넓게 분산되어 있더라도 엔트로피는 여전히 낮을 수 있다. 분산은 그렇지 않다: 분산은 분포의 평균에 대한 질량의 농도를 측정하며, 저분산은 확률 분포의 상당한 질량이 작은 척도의 연속된 간격에 집중되어 있음을 의미한다.

이러한 구별을 공식화하기 위해, 우리는 두 가지 확률밀도함수인 ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ 1$${\$displaystyle \pi$_$$${1$} 및 ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ 2$${\$displaystyle \pi$_{$2}}:$ 만약 다음과 같은 경우에 동일한 값을$$ 갖는다고 말한다.

${\displaystyle \for \delta >0,\,\mu \{x\in \mathb {R} \phi _{1}(x)\geq \delta \}\mathb {R} \phi _{2}(x)\mathb \delta \}$

여기서 μ는 르베그 측정값이다. 어느 두 개의 등가 확률밀도함수가 어떤 순서에서도 동일한 섀넌 엔트로피, 그리고 사실상 동일한 레니 엔트로피를 가진다. 그러나 분산의 경우는 그렇지 않다. 확률밀도함수는 다른 함수의 재배열보다 분산이 (번역까지) 적은 등가성 "재배열"을 방사적으로 감소시키며, 임의의 고분산의 재배열이 존재하며, (모두 같은 엔트로피를 가진다)

참고 항목

• 정보이론의 불평등
• 로그 슈뢰딩거 방정식
• 불확실성 원리
• 리에즈-토린 정리
• 푸리에 변환

참조

추가 읽기

• 지즈바, P.; 마, Y.;;; 헤이스, A.; 더닝햄, J.A. (2016) "엔트로피 힘에 기반한 불확실성 관계의 1-모수 등급" 물리적 수정판 E 93(6): 060104(R). doi:10.1103/PhysRevE.93.060104.
• Zozor, S.; Vignat, C. (2007). "On classes of non-Gaussian asymptotic minimizers in entropic uncertainty principles". Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications. 375 (2): 499. arXiv:math/0605510. Bibcode:2007PhyA..375..499Z. doi:10.1016/j.physa.2006.09.019. S2CID 119718352. arXiv:math/0605510v1
• Maassen, H.; Uffink, J. (1988). "Generalized entropic uncertainty relations" (PDF). Physical Review Letters. 60 (12): 1103–1106. Bibcode:1988PhRvL..60.1103M. doi:10.1103/PhysRevLett.60.1103. PMID 10037942.
• Ballester, M.; Wehner, S. (2007). "Entropic uncertainty relations and locking: Tight bounds for mutually unbiased bases". Physical Review A. 75 (2): 022319. arXiv:quant-ph/0606244. Bibcode:2007PhRvA..75b2319B. doi:10.1103/PhysRevA.75.022319. S2CID 119470256.
• Ghirardi, G.; Marinatto, L.; Romano, R. (2003). "An optimal entropic uncertainty relation in a two-dimensional Hilbert space". Physics Letters A. 317 (1–2): 32–36. arXiv:quant-ph/0310120. Bibcode:2003PhLA..317...32G. doi:10.1016/j.physleta.2003.08.029. S2CID 9267554.
• Salcedo, L. L. (1998). "Minimum uncertainty for antisymmetric wave functions". Letters in Mathematical Physics. 43 (3): 233–248. arXiv:quant-ph/9706015. Bibcode:1997quant.ph..6015S. doi:10.1023/A:1007464229188. S2CID 18118758.