타원형 필터

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타원형 필터(Wilhelm Cauer의 이름을 따서 카우어 필터라고도 하며, 또는 예고르 졸로타레프의 이름을 따서 졸로타레프 필터라고도 한다)는 패스밴드 및 스톱밴드 모두에서 균등한 리플(등분) 동작을 하는 신호 처리 필터다. 각 대역의 리플의 양은 독립적으로 조정 가능하며, 주어진 리플 값(리플의 균등화 여부)에 대해 동일한 순서의 다른 필터는 패스밴드와 스톱밴드 사이에서 더 빠른 이득의 전환을 가질 수 없다.^{[citation needed]} 또는 패스밴드 및 스톱밴드 리플을 독립적으로 조정할 수 있는 기능을 포기하고 대신 구성요소 변동에 최대 무감각한 필터를 설계할 수 있다.

정지대역의 리플이 0에 가까워지면 필터는 I형 체비셰프 필터가 된다. 패스밴드의 리플이 0에 가까워지면 필터는 타입 II 체비셰프 필터가 되고 마지막으로 두 리플 값이 모두 0에 가까워지면 필터는 버터워스 필터가 된다.

각도 주파수 Ω의 함수로서 저역 통과 타원형 필터의 이득은 다음과 같다.

${\displaystyle G_{n}(\omega )={1\over {\sqrt {1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(\xi ,\omega /\omega _{0}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 R은_n n번째 순서의 타원적 이성 함수(때로는 체비셰프 이성 함수라고도 함)이며,

${\displaystyle {\Omega }_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는$$) 컷오프 주파수임

${\displaystyle ϵ}$ ${\displaystyle \epsilon$}이(가) 파급 요인임$$

${\displaystyle }$▼ ${\displaystyle \xi}$이(가) 선택성 요인임

리플 인자의 값은 통과 대역 리플을 지정하며, 리플 인자와 선택 인자의 조합은 정지 대역 리플을 지정한다.

특성.

• 패스밴드에서는 타원적 합리함수가 0과 통일 사이에서 변화한다. 따라서 패스밴드의 이득은 $1$과 1${\displaystyle }$+ 1 +${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ ${\$.
• 정지대역에서는 타원적 합리함수가 무한대(infinity)와 $차별인자{\displaystyle {}_{}}$L n {\displaystyle $L_{n}$ 사이에 변화하며, 이 기능은$$ 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle L_{n}=R_{n}(\xi ,\xi )\,}$

따라서 정지대역의 이득은 0과 ${\displaystyle 1\sqrt{\mathrm{}}}$/ 1 +${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ 2 ${\displaystyle \sqrt{{\mathrm{}}_{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{2_{}^{}}}$ $[\$ .

• $\xi {\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ →$∞$ {\$displaystyle \xi$ \$rightarrow \infit }$의 한계에서 타원적 합리함수는 체비셰프 다항식이 되고, 따라서 필터는 체비셰프 타입 I 필터로 되어 리플 팩터 ε이 된다.
• Since the Butterworth filter is a limiting form of the Chebyshev filter, it follows that in the limit of ${\displaystyle \xi \rightarrow \infty }$, ${\displaystyle \omega _{0}\rightarrow 0}$ and ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$ such that ${\displaystyle \eps$$일론 \,R_{n}(\xi ,1/\omega _{0}=1})$ 필터가$$ Butterworth 필터가 됨
• In the limit of ${\displaystyle \xi \rightarrow \infty }$, ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$ and ${\displaystyle \omega _{0}\rightarrow 0}$ such that ${\displaystyle \xi \omega _{0}=1}$ and ${\displaystyle \epsilon L_{n}=\alpha }$, the filter becomes a Chebyshev 타입 II 필터(게인 포함)

${\displaystyle G(\omega )={\frac {1}{\frac {1}{1+{\frac {1}{\alpha ^{2}T_{n}^{2}(1/\omega )}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

극과 영

타원형 필터의 이득의 0은 타원형 이성함수에 관한 글에서 도출한 타원형 이성함수의 극과 일치한다.

타원형 필터 이득의 극은 타입 I 체비셰프 필터 이득의 극의 도출과 매우 유사한 방식으로 파생될 수 있다. 단순성을 위해 컷오프 주파수가 통일과 동일하다고 가정하십시오. 타원형 필터 이득의$$ 극$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$) ${\displaystyle(\omega _{pm})$은 이득 분모의 0이 된다. 복합 주파수 $s{\displaystyle }$= ${\displaystyle \sigma }$+ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \Omega }${\$displaystyle$ s$=\sigma +j\omega$}을$$(를) 사용하는 것은 다음을 의미한다.

${\displaystyle 1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(-js,\xi )=0\,}$

정의${\displaystyle }$- ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle s}$= ${\displaystyle c\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{d}(}$ ${\displaystyle \mathrm{w}}$, 1 /${\displaystyle \xi }$) ${\displaystyle -js=\mathrm {cd}(w,1/\xi$) 여기서$$ cd()는 자코비 타원 코사인 함수로서 타원적 합리함수의 정의를 사용하면 다음과 같은 결과가 나온다.

${\displaystyle 1+\epsilon ^{2}\mathrm {cd} ^{2}\왼쪽({\frac {nwK_{n}}}}}}},{\frac {1}{{L_}}\오른쪽)=0\,}$

여기서 $K{\displaystyle }$= ${\displaystyle K}$( ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle \xi }$) ${\displaystyle K=K (1/\xi )}$ 및 ${\displaystyle K_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle K}$(${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle L{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$)$${\$displaystyle K_{n}=K(1/L_{n}}}}).$w에 대한 해결

${\displaystyle w={\frac {K}{n}}}\mathrm {cd}^-1}\좌측({\frac {\pm j}{\epsilon }},{\frac {1}{L_{n}}\right)+{\frac {mK}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 역 cd³ 함수의 다중 값은 정수 지수 m을 사용하여 명시적으로 만든다.

타원 게인 함수의 극은 다음과 같다.

${\displaystyle s_{pm}=i\,\mathrm {cd}(w,1/\xi )\,}$

체비셰프 다항식의 경우와 마찬가지로 이는 명시적으로 복잡한 형태(Lutovac & et al. 2001, § 12.8) harv 오류: no target: CITREFLutovacet_al.2001(도움말)

${\displaystyle s_{pm}={\frac {a+jb}{c}}}}$

${\displaystyle a=-\zeta _{n}{n}{1-\zeta _{n}^{2}}:{\sqrt{1-x_{m}^{2}}:{\sqrt{1-x_{m}^{2}/\i ^{2}}:}$

${\displaystyle b=x_{m}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}(1-1/\xi ^{2})}}}$

${\displaystyle c=1-\zeta _{n}^{2}+x_{i}^{2}\zeta _{n}^{2}/\xi ^{2}}$

여기서 ${\$은 ${\displaystyle n,}$ {$${\$displaystyle$ n$,\\\\epsilon$}의 $함수$이며, {$${\$displaystyle \xi},$ ${\displaystyle x_{}}$ m$${\$displaystyty x_{m}}$은 타원함수의 함수 0이다. ${\displaystyle {\zeta n}_{}}$ ${\$는 자코비 타원함수의 관점에서 모든 n에 대해, 또는 일부 주문의 경우 대수적으로, 특히 1,2,3에 대해 표현 가능하다$$. 주문 1과 2는 우리가 가지고 있는 것이다.

${\displaystyle \zeta _{1}={\frac {1}{\sqrt{1+\epsilon ^{2}}}}$

${\displaystyle \jeta _{2}={\frac {2}{{1+t){\sqrt {1+\epsilon ^{2}}+{\sqrt {(1-t)^{2}+\epsilon ^{2}(1+t)^{2}^{2}}}}}}}$

어디에

${\displaystyle t={\sqrt{1-1/\xi ^{2}}$

$\zeta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 대한 대수적 표현은 오히려 관련되어 있다$$(Lutovac & et al. 참조). (2001, § 12.8.1) harvtxt 오류: no target: CITREFLutovacet_al.2001(도움말).

타원적 합리적 함수의 내포 속성을 사용하여 ${\displaystyle {\zeta n}_{}}$ ${\$:에 대한 고차 식을 작성할 수 있다.

${\displaystyle \zeta _{m\cdot n}(\xi ,\epsilon )=\zeta _{m}\{\sqrt {{1}{n}^{n}^{{m},\epsilon )}{n}{n}^{n}-1}\rig)}$

여기서 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\xi }$ ,${\displaystyle \xi }$) ${\displaystyle L_{m}=R_{m}(\xi ,\xi$ $)\}.$

최소 Q-요인 타원형 필터

Lutovac & et al.을 참조하십시오. (2001, § 12.11, 13.14) harvtxt 오류: no target: CITREFLutovacet_al.2001년(도움말).

타원형 필터는 일반적으로 패스밴드 리플, 스톱밴드 리플, 컷오프의 선명도에 대해 특정 값을 요구하여 지정한다. 이것은 일반적으로 사용되어야 하는 필터 순서의 최소값을 지정한다. 또 다른 설계 고려사항은 필터를 구축하는 데 사용되는 전자 부품의 값에 대한 게인함수의 민감도다. 이 감도는 필터의 전달함수 극의 품질계수(Q-인자)에 반비례한다. 극의 Q-요인은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle Q=-{\frac {s_{pm}}{2\mathrm {Re}(s_pm})}}=-{\frac {1}{2\cos(\arg(s_{pm}))}}}$

그리고 폴이 이득 기능에 미치는 영향을 측정하는 척도다. 타원형 필터의 경우, 주어진 순서에 따라 전달함수에 있는 모든 극의 Q-요인을 동시에 최소화하는 리플 인자와 선택성 인자 사이에 다음과 같은 관계가 존재한다.

${\displaystyle \epsilon _{Qmin}={\frac {1}{\sqrt {L_{n}(\xi )}}}}}}}}}$

이로 인해 필터는 구성 요소 변동에 극도로 무감각하지만 패스밴드 및 스톱밴드 리플을 독립적으로 지정하는 기능은 상실된다. 이러한 필터의 경우 순서가 증가하면 두 대역의 파급력이 감소하고 컷오프 비율이 높아진다. 특정 컷오프 비율과 함께 필터 대역에서 특정 최소 리플을 달성하기 위해 최소 Q 타원형 필터를 사용하기로 결정한 경우, 필요한 순서는 일반적으로 최소 Q 제한 없이 필요한 순서보다 클 것이다. 게인 절대값의 이미지는 극이 타원이 아닌 원형으로 배열된 것을 제외하고는 이전 절의 이미지와 매우 흡사할 것이다. 0이 없는 균일한 간격으로 폴이 배열된 버터워스 필터와 달리 Ω 축에는 0이 있고 균일한 간격으로 0이 배치된다.

다른 선형 필터와 비교

다음은 동일한 수의 계수를 사용하여 얻은 다른 일반적인 유형의 필터 옆에 있는 타원형 필터를 보여 주는 이미지:

이미지에서 분명히 알 수 있듯이 타원형 필터는 다른 모든 필터보다 날카롭지만 전체 대역폭에서 파문을 보여준다.

참조

• Daniels, Richard W. (1974). Approximation Methods for Electronic Filter Design. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-015308-6.
• Lutovac, Miroslav D.; Tosic, Dejan V.; Evans, Brian L. (2001). Filter Design for Signal Processing using MATLAB and Mathematica. New Jersey, USA: Prentice Hall. ISBN 0-201-36130-2.