무한대로 나눗셈

수학에서 무한에 의한 나눗셈(division by infinity)은 나눗셈의 하나로, 나눗셈(division)은 나눗셈의 하나입니다.일반적인 산술에서는 무한은 특정한 수에 해당하지 않는 수학적 개념이고, 게다가 무한한 횟수를 더하면 유한한 수를 주는 0이 아닌 실수가 없기 때문에 이것은 잘 정의된 의미를 갖지 않습니다.그러나 "무한으로 나누는 것"은 수를 더 크고 더 큰 나눗셈으로 나누는 한계를 비공식적으로 표현하는 방식으로 의미를 부여할 수 있습니다.^{[1]: 201–204}

실수를 뛰어넘는 수학적 구조를 이용하면 무한한 크기를 가지면서도 여전히 일반적인 산술과 같은 방식으로 조작할 수 있는 숫자를 정의할 수 있습니다.예를 들어, 확장된 실수선에서 임의의 실수를 무한대로 나누는 것은 0을 산출하는 반면 초현실수 체계에서는 1을 무한대 ω ${\displaystyle \omega}$로 나누는 것은 무한소 ϵ ${\displaystyle \epsilon}$을 산출합니다$.$ 부동 소수점 산술에서,유한한 수를 ±$$∞로 나눈 값 {\$displaystyle \pm$ \infty$}$는 분자가 유한한 경우 양수 또는 음수와 같습니다.그렇지 않으면 NaN이 됩니다.

"무한에 의한 나눗셈"이라는 엄밀한 의미를 제공하는 과제는 0에 의한 나눗셈을 정의하는 과제와 유사합니다.

수학적 담론의 영역 안에서 무한을 스스로 나누는 것에 대한 고찰은 관심 있는 명제를 낳습니다.구체적으로 무한을 무한으로 나눈 결과( ∞= ∞ ÷ ∞ )가 무한대 그 자체라는 주장은 탐험의 가치가 있습니다.논리적 여행은 이 개념의 기초와 수학적 타당성을 보여줍니다.

분석을 위해 값 10이 할당된 "y"로 표시된 매개 변수를 생각해 보십시오.문제의 핵심은 y의 도입이 필수 조건을 도입하는 방정식 ∞ y = ∞ ÷에 있습니다.방정식을 일관성 있게 하려면 y는 무한을 포함하는 분할 작업을 수용할 수 있을 정도로 충분히 방대한 크기를 가정해야 합니다.이 요구사항은 수학적 맥락에서 무한의 개념을 다루는 것과 관련된 개념적 복잡성을 반영합니다.

그러나 식 y × ∞ = ∞로 넘어가면서 이야기는 주목할 만한 방향으로 전환됩니다.이 방정식은 나눗셈 연산을 곱셈 중 하나로 변환하는 것을 의미합니다.본질적으로, 이 전환은 무한의 나눗셈이 적절한 y 값의 곱셈을 통해 동등성을 찾는 관계를 강조합니다.이 통찰력은 무한의 분할이 그 자체로 곱셈의 연산으로 구체화되어 무한의 결과로 나타난다는 개념을 강화합니다.

게다가, 우리가 같은 사고방식을 추진한다면, 뭔가 흥미로운 것이 나타난다는 것을 언급할 필요가 있습니다.우리가 무한대를 취하고 그것을 10과 같은 규칙적인 숫자로 나눌 때, 그 결과는 여전히 사실입니다: 그것은 무한대입니다.이를 통해 수학적 여정에 또 다른 통찰력을 제공할 수 있으며, 여기서 발견하고 있는 내용의 깊이를 강조할 수 있습니다.

기술에 사용

대부분의 계산기와 컴퓨터에 대해 무한대가 다루기 어렵기 때문에 많은 컴퓨터들이 무한대로 계산하는 공식적인 방법을 가지고 있지 않습니다.^[5][6]TI-84와 같은 계산기와 대부분의 가정용 계산기에는 무한대 버튼이 없기 때문에 'x를 무한대로 나눈' 계산기에 입력하는 것은 불가능하며 대신 사용자는 '1e99'(${\displaystyle \mathrm{}\times {1099}^{}}$ ${\$ 또는 '-1e99'와 같은 숫자를 많이 입력할 수 있습니다.일부 숫자를 충분히 큰 숫자로 나누어 입력하면 출력이 0이 됩니다.경우에 따라 오버플로 오류가 발생하거나 분자도 충분히 큰 수일 경우 출력이 1 또는 실수가 될 수 있습니다.볼프람 언어에서 정수를 무한대로 나누면 결과가 0이 됩니다.^[7]또한 TI-Nspire와 같은 일부 계산기에서는 1을 무한대로 나눈 값을 0으로 평가할 수 있습니다.

미적분학에 사용

통합

미적분학에서, 함수의 적분을 취하는 것은 곡선 아래의 넓이를 찾는 것으로 정의됩니다.이 영역을 직사각형 섹션으로 나누고 이 섹션의 합계를 취하면 간단히 수행할 수 있습니다.이들을 리만 합이라고 합니다.단면이 좁을수록 리만 합은 실제 영역의 정확한 근사치가 됩니다.단면이 "무한히 얇다"고 휴리스틱하게 간주될 수 있는 이러한 리만 합의 한계를 취하면 소정의 구간에 걸쳐 함수의 확실한 적분이 됩니다.개념적으로 이는 구간을 무한대로 나누어 무한히 작은 조각으로 만드는 결과를 가져옵니다.^{[1]: 255–259}

경계 중 하나가 무한대인 적분을 취할 때 다른 주의점에서 이는 부적절한 적분으로 정의됩니다.^[8]이를 결정하기 위해 a가 무한대 부호를 대신하여 무한대에 접근할 때 극한을 사용합니다.그러면 적분을 평가한 다음 한계를 취할 수 있습니다.많은 경우 이를 평가하면 항이 무한대로 분할됩니다.이 경우 적분을 평가하기 위해 이 값을 0으로 가정합니다.이것은 적분이 수렴한다고 가정할 수 있게 하는데, 이 가정을 사용하여 유한한 답이 적분으로부터 결정될 수 있다는 것을 의미합니다.^[8]

호스피탈의 통치

두 함수 사이에 비율이 주어졌을 때, 이 비율의 한계는 각 함수의 한계를 따로 계산하여 평가할 수 있습니다.분모에서 함수의 극한이 무한대이고, 분자가 비율을 잘 결정할 수 없는 경우, 비율의 극한은 불확정적인 형태라고 합니다.^[9]예를 들면 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\infty}{\infty}}$

분모가 무한대로 향하는 분수의 한계를 평가하기 위해 로탈의 법칙을 사용하면 0이 아닌 다른 결과를 얻을 수 있습니다.

한다면

${\displaystyle \lim _{x\toc}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

그리고나서

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

그래서 만약에

${\displaystyle \lim _{x\toc} f(x) =\lim _{x\toc} g(x) =\infty,}$

그리고나서

${\displaystyle \lim _{x\toc}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L}$^[10]

이는 무한으로 나눗셈에 의미를 부여하기 위해 한계를 사용할 때 "무한으로 나눗셈"의 결과가 항상 0이 되는 것은 아니라는 것을 의미합니다.

참고문헌

외부 링크

• 빌 쉴리토가 0으로 나누는 방법