확산방정식

확산방정식은 포물선 부분 미분방정식이다. 물리학에서는 브라운 운동에서 입자의 무작위 움직임과 충돌로 인한 많은 미세 입자의 거시적 거동을 설명한다(픽의 확산 법칙 참조). 수학에서는 무작위 산책과 같은 마르코프 과정과 관련이 있으며, 재료과학, 정보이론, 생물물리학 등 다른 많은 분야에 적용되고 있다. 확산방정식은 대류-확산방정식의 특별한 경우로서, 대량 속도가 0일 때.

성명서

방정식은 보통 다음과 같이 기록된다.

${\frac {\mathbf {r},t)}{\partial t}}{\partbla \cdot {\big [}D(\phi ,\mathbf {r},t){\big ]},}}$

여기서 $ϕ (r,$ $t)$ 은 위치 r $및$ 시간 $t$ 에서의 확산 물질의 밀도, $D (ϕ,$ $r)$ 는 위치 $r$ 에서의 밀도 $ϕ$ 에 대한 집단 확산 계수, $\nabla$ 은 벡터 차동 연산자 델을 나타낸다. 확산 계수가 밀도에 따라 달라지면 방정식이 비선형이고 그렇지 않으면 선형이다.

위의 방정식은 확산계수가 등방성일 때 적용된다. 비등방성 확산의 경우 $D$ 는 대칭 양정확정행렬이며 (3차원 확산에 대해) 다음과 같이 표기된다.

${\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[D_{ij}(\phi ,\mathbf {r} ){\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial x_{j}}}\right]$

$D$ 가 일정하면 방정식은 다음과 같은 선형 미분 방정식으로 감소한다.

{\frac {\partial \phi(\mathbf {r},t)}{\partial t}{\partial t}=D\nabla ^{2}\pi(\mathbf {r},t),

열방정식과 동일하다.

역사적 기원

입자확산 방정식은 원래 1855년 아돌프 픽에 의해 도출되었다.^[1]

파생

확산방정식은 시스템의 어떤 부분에서의 밀도의 변화는 시스템의 그 부분과 외부로 물질의 유입과 유출에 기인한다는 연속성 방정식에서 사소한 것으로 파생될 수 있다. 효과적으로, 어떠한 물질도 생성되거나 파괴되지 않는다.

{\frac {\frac \phi }{\buff t}+\cdla \cdot \mathbf {j} =0,

여기서 j는 확산 물질의 유동이다. 확산방정식은 시스템의 어떤 부분에서 확산 물질의 유동성이 국부 밀도 구배와 비례한다는 현상학적 Fick의 제1법칙과 결합하면 쉽게 얻을 수 있다.

\mathbf {j} =-D(\phi ,\mathbf {r} )\,\nabla \phi(\mathbf {r},t)

표류를 고려해야 할 경우 스몰루코프스키 방정식은 적절한 일반화를 제공한다.

디스커트화

확산방정식은 공간과 시간 모두에서 연속적이다. 어떤 사람은 적용에서 발생하는 공간, 시간 또는 공간과 시간을 둘 다 인식할 수 있다. 시간만 분간하는 것은 연속적인 시스템의 시간 조각을 취하는 것에 불과하며, 새로운 현상은 일어나지 않는다. 공간만 식별하면, 그린의 기능은 연속적인 가우스 커널이 아니라 이산 가우스 커널이 된다. 시공간을 모두 분간할 때 무작위 보행을 얻는다.

디스커트화(이미지)

비등방성 텐서 확산방정식을 표준 디스커트화 방식에서 다시 쓰기 위해 제품 규칙을 사용하는데, 이는 1차 순서 공간 중심 차이만 있는 확산방정식을 직접 디스커트하면 체커보드 아티팩트가 발생하기 때문이다. 이미지 필터링에 사용되는 다시 작성된 확산 방정식:

{\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot \left[D(\phi ,\mathbf {r} )\right]\nabla \phi (\mathbf {r} ,t)+{\rm {tr}}{\Big [}D(\phi ,\mathbf {r} ){\big (}\nabla \nabla ^{T}\phi (\mathbf {r} ,t){\big )}{\Big ]}

여기서 "tr"는 2순위 텐서의 추적을 나타내며, 위첨자 "T"는 전치되는 것을 의미하며, 여기서 이미지 필터링 D(ϕ, r)는 이미지 구조 텐서의 고유 벡터로 구성된 대칭 행렬이다. 공간적 파생상품은 두 개의 첫 번째 순서와 두 번째 순서의 중심 유한차이로 근사치를 구할 수 있다. 결과 확산 알고리즘은 크기가 3 × 2D, 3 × 3 × 3인 다양한 커널(스텐실)로 영상 콘볼루션으로 쓸 수 있다.

참고 항목

참조

^ Fick, Adolf (1855). "Ueber Diffusion". Annalen der Physik und Chemie. 170 (1): 59–86. doi:10.1002/andp.18551700105. ISSN 0003-3804.

추가 읽기

Carslaw, H. S.와 J. C. (1959년) 고형물 내 열 전도. 옥스퍼드: 클라렌던 프레스
크랭크, J. (1956) 확산의 수학. 옥스퍼드: 클라렌던 프레스
매튜, 존; 워커, 로버트 L. (1970) 수학적 물리학 방법(2차 개정), 뉴욕: W. A. 벤자민, ISBN 0-8053-7002-1
탐비나야감, R. K. M (2011) 확산 핸드북: 엔지니어용 응용 솔루션. 맥그로힐

외부 링크

[Fick1855-1] Fick, Adolf (1855). "Ueber Diffusion". Annalen der Physik und Chemie. 170 (1): 59–86. doi:10.1002/andp.18551700105. ISSN 0003-3804.

[1]

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