도-립 이중 필터링

Degree-Rips bifiltration

도-립스 이중 필터링은 점 구름 데이터의 모양을 분석하기 위해 위상 데이터 분석에 사용되는 간단한 필터링입니다.단일 매개 변수 필터링보다 데이터 특이치에 대한 안정성이 높고 다른 다중 매개 변수 구성보다 실제 계산에 더 적합한 Vietoris-Rips 필터링의 다중 매개 변수 확장입니다.Lesnick과 Wright가 2015년에 도입한 degree-Rips 이분법은 포인트 클라우드 [1]데이터에 대해 지속적인 호몰로지 계산을 수행하기 위한 매개 변수가 없고 밀도에 민감한 차량입니다.

정의.

위상학적 데이터 분석(TDA)의 표준 관행은 일련의 중첩된 단순 복합체를 유한 데이터 세트에 연결하여 범위 매개 변수에 대한 위상학적 특징의 지속성을 탐지하는 것입니다.이를 위한 한 가지 방법은 모든 척도 매개 변수에 대해 색인화된 메트릭 공간에서 유한 집합의 Vietoris-Rips 복합체의 시퀀스를 고려하는 것입니다.

X가 미터법 공간에서 유한 집합이라면, 이 구성은 X에 Vietoris-Rips(또는 단순히 "립") 여과로 알려져 있으며, 일반적으로 립스 {\ R {\[2][3][4] 스타일로 됩니다.립스 필터링은 함수 로 표현할 . : R Simp{\{ \mathbf { 실수에서 단순 복소수 및 단순 맵 범주까지,기하학적 실현 [5]함수를 통한 위상 공간 및 연속 맵의 의 하위 범주

립스 필터링은 단일 매개 변수에 대해 인덱싱되지만 다중 매개 변수 필터링을 고려하여 기본 데이터 세트에 대한 더 많은 정보(예: 밀도)를 캡처할 수 있습니다.두 개의 완전한 순서 집합의 곱에 의해 색인화된 여과는 이중 여과로 알려져 있으며,[6] 2009년 군나르 칼슨과 아프라 조모로디안에 의해 처음 도입되었습니다.

도-립스 이중 필터링은 그래프의 각 정점의 정도를 기준으로 립스 필터링에서 각 단순 복합체를 필터링하여 각 인덱스의 1-스켈레톤과 동형입니다.더 공식적으로 (a, b) (a, b)를 R2 \mathbb {R}^{2}의 원소로 하고 Ga, b \displaystyle G_{a, b}를 적어도 a인 모든 꼭짓점을 포함하는 립스(X) b의 1-스켈레톤의 하위 그래프로 정의한다복잡한 D-Rips(X) a, b {\displaystyle {\text{D-Rips}(X)_{a,b}}. 가능한 모든 정점 차수와 립스 필터링의 모든 스케일 매개 변수에 대해 이를 수행함으로써 R2\displaystyle \{D-Rips(X) a,b}(a,b) ∈{B_} rR2\displaystyledisplaystyle \{D-{D_{D_{D_{B_{B_{B_{B_}}}}}}\Rip

각 복합체의 크기가 증가함에 따라 감소하기 때문에, 우리는 지수 집합 R2 \mathbb {R}^{2}를 Rop × R \displaystyle \mathbb {R}^{\text{op}\text{R}\times \mathbb {R}로 식별해야 한다. 여기서 Rop {\text{op}는 R \mathbbbbb{R}의 반대 범주이다함수 × {\{{ \ \ {Simp[7]

정도-립스 이중 필터링 뒤의 아이디어는 더 높은 정도의 정점이 기본 데이터 세트의 더 높은 밀도 영역에 해당한다는 것입니다.그러나 degree-Rips는 매개변수(예: 사전 선택된 밀도 매개변수, 결정하기 어려운 선험적인 매개변수)의 임의 선택에 의존하지 않기 때문에 데이터를 [8]분석하는 데 편리한 도구입니다.

데이터 분석에 대한 애플리케이션

Degree-Rips 바이필터링은 데이터 분석에 유용한 도구가 되는 몇 가지 특성을 가지고 있습니다.예를 들어, 각 골격은 다항식 크기를 갖습니다. D-립스의 k차원 골격은 Ok + 2의 를 서 는 점근적 [7]상한을 나타냅니다.게다가, 차수 립스 이중 여과는 기본 데이터 [7]세트의 섭동과 관련하여 상당히 강력한 안정성 특성을 가지고 있는 것으로 나타났습니다.도립 [9][10][11]복합체의 안정적인 구성 요소와 호모토피 유형을 조사하는 추가 작업도 수행되었습니다.

소프트웨어 RETB는 도 립스 이중 필터링의 지속적인 호몰로지 모듈을 포함하여 2 매개 변수 지속성 모듈의 여러 다중 매개 변수 불변량(즉, 데이터의 기본 기하학적 정보를 캡처하려는 데이터 구조)을 시각화하기 위해 만들어졌습니다.이러한 불변량에는 힐베르트 함수, 순위 불변량 및 섬유 [1]바코드가 포함됩니다.

원래 2015년 논문에서 학위 립스의 도입에 대한 후속 조치로, Lesnick과 Wright는 2022년에 지속적인 호몰로지 계산의 주요 구성 요소(즉, 최소 프레젠테이션 및 빅레이딩된 Betti 번호)가 다른 지속적인 호몰로지 [12]소프트웨어를 능가하는 방식으로 효율적으로 달성될 수 있음을 보여주었습니다.리벳과 [13]같은 데이터 분석 도구에 대해 상당한 속도 증가 가능성을 제시하는 다중 매개 변수 영구 호몰로지의 알고리듬 효율성을 개선하는 방법도 연구되었습니다.

도-립스 이중 필터링은 무작위 포인트 [14]클라우드의 데이터 분석뿐만 아니라 [15][16][17]밀도 변화와 관련된 데이터 클러스터를 분석하는 데 사용되었습니다.특히 특이치와 관련하여 디도 립스의 성능에 대한 예비 실험 분석이 있었지만,[18] 이는 2023년 2월 현재 진행 중인 연구 분야입니다.

레퍼런스

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