공통 로그

0.1부터 100까지의 숫자의 일반 로그 그래프

수학에서, 일반적인 로그는 밑이 ^[1]10인 로그입니다.그것은 또한 십진수 로그와 십진수 로그로 알려져 있는데, 표준 로그뿐만 아니라 그것의 사용을 개척한 영국 수학자 헨리 브릭스의 이름을 따서 브릭스 로그 또는 브릭스 로그로 이름이 붙여졌다.역사적으로, 그것은 로그 십진법^[2] 또는 로그 ^[3]십진법으로 알려져 있었다.이는 $log ($ ^[4] $x 10),$ log $($ ^[5] $x$ ) 또는 $때로는$ $log$ $(x)$ 로 대문자 L로 $표시$ 됩니다(단, 이 표기법은 복잡한 자연 로그 다중값 함수를 의미할 수도 있기 때문에 모호합니다.계산기에서는 "log"로 인쇄되지만 수학자들은 보통 "log"를 쓸 때 일반적인 로그가 아니라 자연 로그(기본값이 e 2 2.71828인 로그)를 의미합니다.이 애매함을 완화하기 위해 ISO 80000 사양에서는 로그 $(x)$ 는 lg $(x)$ 로 $쓰고$ $로그 e (x)$ 는 ln $(x)$ 로 할 것을 $권장$ 합니다₁₀.

일반 로그 표의 페이지입니다.이 페이지에는 1000 ~1500 ~ 소수점 5자리 숫자의 로그가 표시됩니다.전체 표에는 최대 9999의 값이 포함됩니다.

1970년대 초 이전에는 휴대용 전자계산기를 사용할 수 없었고 곱셈이 가능한 기계식 계산기는 부피가 크고 비싸며 널리 보급되지 않았다.대신 과학, 엔지니어링 및 내비게이션 분야에서 10진수 로그 표를 사용했습니다. 계산에는 슬라이드 규칙으로 달성할 수 있는 것보다 더 높은 정확도가 요구됩니다.곱셈과 나눗셈을 덧셈과 뺄셈으로 전환함으로써 로그의 사용은 힘들고 오류가 발생하기 쉬운 종이와 연필의 곱셈과 ^[1]나눗셈을 피할 수 있었습니다.로그가 매우 유용했기 때문에, 많은 교과서의 부록에 10진수 로그 표가 주어졌다.수학 및 내비게이션 핸드북에는 삼각함수의 로그 표도 포함되어 있었다.^[6]이러한 테이블의 이력은 로그 테이블을 참조하십시오.

가수와 특성

10진수 로그의 중요한 특성은 1보다 큰 숫자의 로그가 10의 거듭제곱 배수로 모두 동일한 소수 부분을 갖는다는 것입니다.소수 부분은 ^{[note 1]}가수라고 알려져 있다.따라서 로그 테이블에는 소수 부분만 표시하면 됩니다.보통 로그 표는 일반적으로 범위 내의 각 숫자의 소수점 4~5자리 이상(예: 1000~999)까지 가수들을 나열했다.

특성이라고 불리는 정수 부분은 소수점을 이동해야 하는 자리 수를 세는 것만으로 계산할 수 있으며, 따라서 소수점은 첫 번째 유효 자릿수의 바로 오른쪽에 있습니다.예를 들어 로그 120은 다음과 같은 계산으로 구할 수 있습니다.

\displaystyle \log _{10}(120)=\log _{10}\left(10^{2}\times 1.2\right)=2+\log _{10}(1.2)\약 2+0.07918.}

마지막 숫자(0.07918) 즉, 일반 로그의 소수 부분 또는 가수 120은 표시된 표에서 찾을 수 있습니다.120의 소수점 위치는 공통 로그 120의 정수 부분, 즉 특성이 2임을 나타냅니다.

음의 로그

1보다 작은 양수에는 음의 로그가 있습니다.예를들면,

\displaystyle \log _{10}(0.012)=\log _{10}\left(10^{-2}\times 1.2\오른쪽)=-2+\log _{10}(1.2)\약 -2+0.07918=-1.92082.}

양의 로그와 음의 로그를 원래 숫자로 변환하기 위해 별도의 테이블이 필요하지 않도록 음의 정수 특성에 양의 가수 값을 더한 값으로 음의 로그를 표현할 수 있습니다.이를 용이하게 하기 위해 막대 표기법이라고 하는 특수한 표기법이 사용됩니다.

\log _{10}(0.012)\약 {2}}+0.07918=-1.92082.

특성 위에 있는 막대는 음수인 반면 가수상은 양수인 것을 나타냅니다.막대기호로 표시된 숫자를 큰 소리로 읽을 경우 ${\bar {n}}$ n ${\$ {\ $displaystyle {n}}$ 이 ${\bar {n}}$ (가) " $bar$ n"으로 읽히므로 ${\bar {2}}.07918$ 0. ${\display$ { $2}}.07918은$ "bar 2 point 07918…"로 읽힙니다.다른 규칙은 로그 모듈로 10을 표현하는 것이다.

\displaystyle \log _{10}(0.012)\약 8.07918gbmod {1}0,}

결과의 ^{[note 2]}합리적인 범위에 대한 지식에 의해 결정된 계산 결과의 실제 값을 사용하여 계산한다.

다음 예제에서는 막대 표기법을 사용하여 0.012 × 0.85 = 0.0102를 계산합니다.

{\displaystyle{\begin{배열}{rll}{\text{위에서 발견되}}&\log _ᆲ(0.012)\approx{\bar{2}}.07918\\{\text{이후로}}년^;\log _ᆵ(0.85)&, =\log _ᆶ\left(10^{-1}\times 8.5\right)=-1+\log _ᆷ(8.5)&, \approx -1+0.92942={\bar{1}}.92942\\\log _ᆹ(0.012\times 0.85)&, =\log _ᆺ(0.012)+\log _ᆻ(0.85)&, \approx{\bar{2}}.07918+{\bar.{1}}.92942\\&.)(-2+00.07918)+(-1+0.92942)+=-(2+1)+(0.07918+0.92942)\\&=-3+1.00860&=-2.00860\;^{*}\&\approx \log _{10}\left(10^{-2}\right)+{02}_log{02}_02.\end {array}}

* 이 스텝에서는 안티로그(10)를^mantissa 조회할 수 있도록 0에서 1 사이의 변위수를 만듭니다.

다음 표는 10의 거듭제곱에 따라 다른 숫자의 범위에서 동일한 가수(sortissa)를 사용하는 방법을 보여 줍니다.

공통 로그, 특성 및 숫자의 10배 거듭제곱의 가수
번호	로그	특성.	맨티사	복합형식
n = 5 × 10ⁱ	로그₁₀(n)	i = 플로어(log₁₀(n))	log₁₀(n) − i
5 000 000	6.698 970...	6	0.698 970...	6.698 970...
50	1.698 970...	1	0.698 970...	1.698 970...
5	0.698 970...	0	0.698 970...	0.698 970...
0.5	−0.301 029...	−1	0.698 970...	1.698970...
0.000 005	−5.301 029...	−6	0.698 970...	6.698970...

5 × $10은 i 모두$ 공통이라는 점에 유의하십시오.이 값은 임의의 양의 $실수$ x $(\style x)$ 에 $x$ 적용됩니다.

\displaystyle \log _{10}\left(x\times 10^{i}\right)=\log _{10}(x)+\log _{10}\left(10^{i}\right)=\log _{10}(x)+i.}

i는 상수이기 $때문$ 에, 사치는 log $\log _{10}(x)$ ( x $){displaystyle \log$ _ ${10}(x$ 에서 $\log _{10}(x)$ . $x$ 은 x{\ $displaystyle$ x $x$ 에 대해 일정합니다.따라서 로그 테이블에서 각 가수에 대해 하나의 항목만 포함할 수 있습니다.5 × $10$ 의ⁱ 예에서는 5(또는 0.5 또는 500 등)로 인덱싱되면 0.698970(004 336 018...)이 나열됩니다.

숫자는 슬라이드 규칙 척도에 로그 간의 차이에 비례하는 거리로 배치됩니다.낮은 눈금의 1에서 2까지의 거리를 위쪽 눈금의 1에서 3까지의 거리에 기계적으로 더하면 2 × 3

=

6

을 빠르게 결정할 수 있다.

역사

보통 로그는 17세기 영국 수학자 헨리 브릭스의 이름을 따서 "브리거 로그"라고도 불립니다.1616년과 1617년, 브릭스는 네이피어의 대수에 대한 변화를 제안하기 위해 에딘버러에 있는 존 네이피어를 방문했다.이 회의 동안 브릭스가 제안한 변경에 동의했고, 두 번째 방문에서 돌아온 후 그는 그의 로그 중 첫 번째 칠리앗을 출판했다.

10진수 로그가 계산에 가장 유용했기 때문에 엔지니어들은 일반적으로 $로그 ($ x)를₁₀ 의미할 때 단순히 $" log ($ x)"라고 적었다.반면 수학자들은 자연대수를 위해 로그 $(x)$ 를 $의미$ 할_e 때 " $log (x)"$ 를 썼다.현재 두 가지 표기가 모두 있습니다.핸드헬드 전자계산기는 수학자가 아닌 엔지니어에 의해 설계되기 때문에 엔지니어의 표기법을 따르는 것이 관례가 되었다.그래서 자연대수가 의도되었을 때 "ln $(x$ )"을 쓰는 표기법은 "일반대수"의 사용을 훨씬 덜 흔하게 만든 바로 그 발명품인 전자계산기에 의해 더욱 대중화되었을지도 모른다.

수치

일반적인 과학적 계산기의 로그 키(base-10의 경우

로그

, base-e의 경우 ln).휴대용 계산기의 등장으로 계산의 보조 수단으로 일반 대수를 사용하는 것이 크게 없어졌다.

밑수 10에 대한 로그 값은 다음 식별 ^[5]정보를 사용하여 계산할 수 있습니다.

\log _{10}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(10)}}\quad

10

\log _{10}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(10)}}\quad

\log _{10}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(10)}}\quad

)

\log _{10}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(10)}}\quad

\log _{10}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(10)}}\quad

（ x ) ln

\log _{10}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(10)}}\quad

10

）

\quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{2}(x)}{\log _{2}(10)}}\quad

ln

frac {

10 }{\ln

(

10

)

} logた

\quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{2}(x)}{\log _{2}(10)}}\quad

log

\quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{2}(x)}{\log _{2}(10)}}\quad

loglog (

\quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{2}(x)}{\log _{2}(10)}}\quad

)

=

\quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{2}(x)}{\log _{2}(10)}}\quad

2

（ 10

\quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{2}(x)}{\log _{2}(10)}}\quad

\

display style

\log _{10}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(10)}}\quad

\

log

_

10 ） _ frac

= frac 。

displaystyle \ log

사용 가능한 $\,B~.$ 의 로그를 사용합니다 $.$ {\ $displaystyle ",B~.}$

로그 $베이스$ e(자연 로그 efficient효율 계산 참조) 및 로그 베이스 2(이진 로그 계산을 위한 알고리즘 참조)에 대한 수치 결정 절차가 존재하기 때문입니다.

파생상품

밑이 b인 로그의 도함수는 다음과 같다.

${d \over dx}\log _{b}(x)={1 \over x\ln(b)}$ ${d \over dx}\log _{10}(x)={1 \over x\ln(10)}$ ${d \over dx}\log _{b}(x)={1 \over x\ln(b)}$ x ${d \over dx}\log _{b}(x)={1 \over x\ln(b)}$ b ${d \over dx}\log _{b}(x)={1 \over x\ln(b)}$ ( ( $x$ ) ${d \over dx}\log _{b}(x)={1 \over x\ln(b)}$ ${d \over dx}\log _{b}(x)={1 \over x\ln(b)}$ ${d \over dx}\log _{b}(x)={1 \over x\ln(b)}$ ln ${d \over dx}\log _{b}(x)={1 \over x\ln(b)}$ ${d \over dx}\log _{b}(x)={1 \over x\ln(b)}$ b ${d \over dx}\log _{b}(x)={1 \over x\ln(b)}$ ( ${d \over dx}\log _{b}(x)={1 \over x\ln(b)}$ b ) \ $log _$ { $b$ $}$ ( x ) $=$ { ${d \over dx}\log _{10}(x)={1 \over x\ln(10)}$ \ $over$ $x$ \ $ln$ ( b ) ${d \over dx}\log _{b}(x)={1 \over x\ln(b)}$ } $。$ d x ${d \over dx}\log _{10}(x)={1 \over x\ln(10)}$ $10$ ( ( x ${d \over dx}\log _{10}(x)={1 \over x\ln(10)}$ ) ${d \over dx}\log _{10}(x)={1 \over x\ln(10)}$ $1$ ${d \over dx}\log _{10}(x)={1 \over x\ln(10)}$ ln ${d \over dx}\log _{10}(x)={1 \over x\ln(10)}$ x ) \ $ln$ ( x 1 $over$ x ln $=$ { 1 over x ln ( x ln ） \ ln = { $1$ over $display$ styp ）

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 가수라는 단어는 오래된 숫자 이외의 단어에서 유래했습니다. 즉, 텍스트에 사소한 추가 또는 보충을 의미합니다.오늘날, 추천 용어가 유의하지만, 일반적으로 가수라는 단어는 컴퓨터에서 부동소수점 숫자의 소수 부분을 설명하기 위해 사용됩니다.
^ 예를들면,베셀, F.W.(1825년)."Über 죽다 Berechnung dergeographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermessungen".Astronomische Nachrichten.331(8):852–861. arXiv:0908.1823.Bibcode:1825AN...4..241B. doi:10.1002/asna.18260041601.)6.51335464{\displaystyle \log b=6.51335464}, 로그 ⁡ e)8.9054355{\displaystyle \log e=8.9054355}. 맥락에서, 그것은 eart의 b)106.51335464{\displaystyle b=10^{6.51335464}}, 반지름으로 알려져 있는 것은(섹션 8의 시작)로그 ⁡ b를 준다.반면에 e=10H토이즈( 많은 수)에서, 타원체. $e=10^{8.9054355-10}$ - $($ e $=10^{8.9054355-10}),$ 접지 타원체의 편심(소수).

레퍼런스

^ ^a ^b Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (1909). "Chapter IV. Logarithms [23] Common logarithms". Trigonometry. Vol. Part I: Plane Trigonometry. New York: Henry Holt and Company. p. 31.
^ Euler, Leonhard; Speiser, Andreas; du Pasquier, Louis Gustave; Brandt, Heinrich; Trost, Ernst (1945) [1748]. Speiser, Andreas (ed.). Introductio in Analysin Infinitorum (Part 2). Opera Omnia, Opera Mathematica. 1 (in Latin). Vol. 9. B.G. Teubner.
^ Scherffer, P. Carolo (1772). Institutionum Analyticarum Pars Secunda de Calculo Infinitesimali Liber Secundus de Calculo Integrali (in Latin). Vol. 2. Joannis Thomæ Nob. De Trattnern. p. 198.
^ "Introduction to Logarithms". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-08-29.
^ ^a ^b Weisstein, Eric W. "Common Logarithm". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-29.
^ Hedrick, Earle Raymond (1913). Logarithmic and Trigonometric Tables. New York, USA: Macmillan.
^ "Derivatives of Logarithmic Functions". Math24. 2021-04-14. Archived from the original on 2020-10-01.

참고 문헌

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Möser, Michael (2009). Engineering Acoustics: An Introduction to Noise Control. Springer. p. 448. ISBN 978-3-540-92722-8.
Poliyanin, Andrei Dmitrievich; Manzhirov, Alexander Vladimirovich (2007) [2006-11-27]. Handbook of mathematics for engineers and scientists. CRC Press. p. 9. ISBN 978-1-58488-502-3.

[7] 가수라는 단어는 오래된 숫자 이외의 단어에서 유래했습니다. 즉, 텍스트에 사소한 추가 또는 보충을 의미합니다.오늘날, 추천 용어가 유의하지만, 일반적으로 가수라는 단어는 컴퓨터에서 부동소수점 숫자의 소수 부분을 설명하기 위해 사용됩니다.

[8] 예를들면,베셀, F.W.(1825년)."Über 죽다 Berechnung dergeographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermessungen".Astronomische Nachrichten.331(8):852–861. arXiv:0908.1823.Bibcode:1825AN...4..241B. doi:10.1002/asna.18260041601.)6.51335464{\displaystyle \log b=6.51335464}, 로그 ⁡ e)8.9054355{\displaystyle \log e=8.9054355}. 맥락에서, 그것은 eart의 b)106.51335464{\displaystyle b=10^{6.51335464}}, 반지름으로 알려져 있는 것은(섹션 8의 시작)로그 ⁡ b를 준다.반면에 e=10H토이즈( 많은 수)에서, 타원체. $e=10^{8.9054355-10}$ - $($ e $=10^{8.9054355-10}),$ 접지 타원체의 편심(소수).

[Hall_1909-1] Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (1909). "Chapter IV. Logarithms [23] Common logarithms". Trigonometry. Vol. Part I: Plane Trigonometry. New York: Henry Holt and Company. p. 31.

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[4] "Introduction to Logarithms". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-08-29.

[:0-5] Weisstein, Eric W. "Common Logarithm". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-29.

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[9] "Derivatives of Logarithmic Functions". Math24. 2021-04-14. Archived from the original on 2020-10-01.

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