연결(아핀 번들)

이 글에는 여러 가지 문제가 있다.이 문제를 개선하거나 대화 페이지에서 토의하십시오.(이러한 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기) 이 글은 수학 전문가의 주의가 필요하다.구체적인 문제는 다음과 같다.단서가 없고 더 잘 정리되어야 한다. 위키프로젝트 수학은 전문가 영입을 도울 수 있을 것이다. (2013년 10월) 이 글에는 참고문헌, 관련 독서 또는 외부 링크 목록이 수록되어 있으나 인라인 인용구가 부족하여 출처가 불분명하다. 좀 더 정확한 인용문을 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2013년 10월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기)

렛트 Y → X는 벡터 번들 Y → X에 걸쳐 모델링한 아핀 번들로 한다. Y → X에 대한 연결 γ은 γ : 제트 번들 JY¹ → Y의 섹션으로서¹ X에 대한 아핀 번들 형태론이라면 아핀 연결이라고 한다.특히, 이것은 매끄러운 다지관 X의 접선다발 TX에 대한 부속품 연결이다. (즉, 부속품다발에서의 연결은 부속품 연결의 예로서, 단, 부속품 연결의 일반적인 정의는 아니다.이러한 개념들은 연관되어 있지만, 불행히도 형용사 "아핀"을 사용하고 있다.

Y에 부착된 번들 좌표(x^λ, yⁱ)와 관련하여, 접선 값 연결 양식에 의해 Y → X에 부착된 연결부 γ이 주어진다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma &=dx^{\lambda }\otimes \left(\partial _{\lambda }+\Gamma _{\lambda }^{i}\partial _{i}\right)\,,\\\Gamma _{\lambda }^{i}&={{\Gamma _{\lambda }}^{i}}_{j}\left(x^{\nu }\right)y^{j}+\sigma _{\lambda }^{i}\left(x^{\nu }\right)\,.\end{정렬}}}$

아핀다발은 치수 m의 일반적인 섬유 V의 아핀 변환의 일반 아핀 구조 그룹 GA(m, ℝ)를 가진 섬유다발이다.그러므로 애프라인 연결은 주된 연결과 연관된다.그것은 항상 존재한다.

임의의 아핀 연결 : : Y → JY¹, 해당 선형 파생상품 γ : Y → JY는¹ 벡터 번들 Y → X에 대한 고유한 선형 연결을 정의한다. Y의 선형 번들 좌표(x^λ, yⁱ)에 관하여, 이 연결은 다음과 같다.

${\displaystyle {\overline {\Gamma }}=dx^{\lambda }\otimes \left(\partial _{\lambda }+{{\Gamma _{\lambda }}^{i}}_{j}\left(x^{\nu }\right){\overline {y}}^{j}{\overline {\partial }}_{i}\right)\,.}$

모든 벡터 번들은 아핀 번들이기 때문에, 벡터 번들의 어떤 선형 연결도 역시 아핀 연결이다.

Y → X가 벡터 번들인 경우, 어핀 연결부 γ과 관련 선형 연결부 γ은 모두 동일한 벡터 번들 Y → X에 연결된 연결부이며, 그 차이는 에 대한 기본 납땜 형태다.

${\displaystyle \probma =\disma _{\\boda }^{\nu }dx^{\notimes \i}\,}$

따라서 벡터 번들 Y → X의 모든 아핀 연결은 선형 연결과 Y → X의 기본 납땜 형태의 합이다.

표준 수직 분할 VY = Y × Y 때문에, 이 납땜 형태는 벡터 값 형태로 가져온다.

${\displaystyle \protema =\protema _{\\putda }^{}i}(x^{\nu }dx^{\putda }\otimes e_{i})}$

여기서 e는_i Y의 섬유 기반이다.

벡터 번들 Y → X에 부착된 연결부 γ이 주어진 경우, R과 R을 각각 연결부 γ과 관련 선형 연결부 γ의 곡선이 되게 한다.여기서 R = R + T라고 쉽게 관찰할 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}T&={\tfrac{1}{2}}T_{\lambda \mu }^{i}dx^{\lambda }\wedge dx^{\mu }\otimes \partial _{i}\,,\\T_{\lambda \mu }^{i}&=\partial _{\lambda }\sigma _{\mu }^{i}-\partial _{\mu }\sigma _{\lambda }^{i}+\sigma _{\lambda }^{h}{{\Gamma _{\mu }}^{i}}_{h}-\sigma _{\mu }^{h}{{\Gamma _{\lambda }}^{i}}_{h}\,,\end{aligned}}}$

기본 납땜 형태 σ에 대한 γ의 비틀림이다.

특히 (x^μ, ẋ^μ)에 의해 조정된 다지관 X의 접선 번들 TX를 고려한다.표준 납땜형식이 있다.

${\displaystyle \theta =dx^{\mu }\otimes {\dot{\mu }}}\dot {\mu }}}}}}$

tautological one-form과 일치하는 TX에.

${\displaystyle \theta _{X}=dx^{\mu }\otimes \partial _{\mu }}}}$

표준 수직 분할 VTX = TX × TX로 인한 X에.TX에서 임의 선형 연결 γ, 해당 연결부

${\displaystyle {\reasoned}A&=\감마 +\theta \##\\\lambda }^{\mu }&={\\감마 _{\lambda }}}}{\\lambda }}}}}{\nu }}{x}^{x}}}^{\lambda }}}}}}}$

TX에 카르탄 연결부가 있다.납땜 형태 θ에 대한 카르탄 연결부 A의 비틀림은 선형 연결부 γ의 비틀림과 일치하며, 곡률성은 γ의 곡률과 비틀림의 합계 R + T이다.

참고 항목

• 연결부(파이버형 매니폴드)
• 아핀 연결
• 연결(벡터 번들)
• 연결(수학)
• 아핀 게이지 이론

참조

• Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1996). Foundations of Differential Geometry. Vol. 1–2. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15733-3.
• Sardanashvily, G. (2013). Advanced Differential Geometry for Theoreticians. Fiber bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lambert Academic Publishing. arXiv:0908.1886. Bibcode:2009arXiv0908.1886S. ISBN 978-3-659-37815-7.

이 미분 기하학 관련 기사는 단조롭다.위키피디아를 확장하여 도울 수 있다.

• v
• t