수학물리학의 일관된 상태

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일관성 있는 상태는 물리적 맥락에서 도입되었으며, 처음에는 양자역학에서 준분류적 상태로서, 그 다음에는 양자 광학의 중추로서 도입되었으며, 그러한 상태는 기사 Coistic 상태(또한^[1] 참조)에서 그 정신으로 설명된다.그러나 그들은 엄청나게 다양한 일반화를 만들어냈고, 그 결과 수학물리학에 엄청난 양의 문헌이 생겨났다.이 글에서 우리는 이 선에 대한 연구의 주요 방향을 스케치한다.자세한 내용은 기존의 여러 설문조사를 참조하십시오.^[2][3][4]

일반적 정의

Let ${\displaystyle {\mathfrak {H}}\,}$ be a complex, separable Hilbert space, ${\displaystyle X}$ a locally compact space and ${\displaystyle d\nu }$ a measure on ${\displaystyle X}$. For each ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X}$, denote ${\displaystyle x\rangle }$ a vect또는 $H{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이 벡터 집합이 다음 속성을 가지고 있다고 가정하십시오.

1. The mapping ${\displaystyle x\mapsto x\rangle }$ is weakly continuous, i.e., for each vector ${\displaystyle \psi \rangle }$ in ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$, the function ${\displaystyle \Psi (x)=\langle x \psi \rangle }$ is continuous (in the topology of ${\displ$$aystyle X}$ $$.
2. 신원 확인

${\dplaystyle \int _{X} x\angle \langle x \;d\nu (x)=I_{\mathfrak{H}}$

Hilbert 공간 $H{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ 즉 $H{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$$displaystyle$ H {\$displaystyle {\\mathfrak {H}$의 두 벡터에 대해 다음과 같은 약한 의미로 유지됨$:$

${\displaystyle \int_{X}\langle \pi x\langle \langle x \psi \;d\nu (x)=\langle \psi \langle \langle \;.}$

위의 두 속성을 만족시키는$$ 벡터 $⟩{\displaystyle x\rangele}$의 집합을 일반화된 일관성 상태의 집합이라고 한다.In order to recover the previous definition (given in the article Coherent state) of canonical or standard coherent states (CCS), it suffices to take ${\displaystyle X\equiv \mathbb {C} }$, the complex plane and ${\displaystyle d\nu (x)\equiv {\frac {1}{\pi }}d^{2}x.$$}$

때때로 그 정체성 조건의 해상도를 약한 상태 매개 곤충과{\displaystyle x\rangle}단순히}H{\displaystyle{\mathfrak{H}}\, 총 set[해명 필요한]형성 ⟩ x고 기능을,())=⟨)ψ⟩{\displaystyle \Psi())=\langle)\psi\rangle}Ψ 대체됩니다. ψ ⟩{\displays$tyle \psi \rangele }$은(는) H ${\${\$mathfrak{H}$을(를) 통과하여 재생성$$ 커널 Hilbert 공간을 형성한다$.$두 경우 모두 목표는 임의 벡터 ${\displaystyle vector}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \psi \rangele}$이(가) 이러한 벡터의 선형(통합) 조합으로 표현 가능한지$$ 확인하는 것이다.실제로, 그 정체성의 해결은 즉시 다음을 함축하고 있다.

${\displaystyle \psi \rangele =\int _{X}\PSI (x) x\rangele \;d\nu (x)\,}$

여기서 $\psi {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \Psi (x)=\langle$ x $\psi \angle$ $\}.$

이러한 벡터 $\psi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Psi}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 사각 통합이 가능하고 연속적인 기능으로 복제 속성을 충족함

${\displaystyle \int _{X}K(x,y)\PSI(y)\;d\nu(y)=\PSI(x)\...}$

여기서 $K{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle ⟨}$ x ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle K(x,y)=\langle$x$y\angle$ }은$($는) 재생성 커널이며, 다음과$$ 같은 속성을 만족한다.

${\displaystyle \quad K(x,y)={\overline {K(y,x)}}\,\qquad K(x,x)>0\,}$

${\displaystyle \int_{X}K(x,z)\;K(z,y)\;d\nu(z)=K(x,y)\;.}$

몇 가지 예

우리는 이 절에서 위에서 주어진 일반적인 구조의 삽화로, 보다 일반적으로 사용되는 일관성 있는 상태의 몇 가지 유형을 제시한다.

비선형 일관성 상태

CCS 일반화의 많은 종류는 그들의 분석 구조를 간단히 수정함으로써 얻어진다.Let ${\displaystyle \varepsilon _{1}\leq \varepsilon _{2}\leq \ldots \leq \varepsilon _{n}\leq \ldots }$ be an infinite sequence of positive numbers (${\displaystyle \varepsilon _{1}\neq 0}$).$\epsilon {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$! =${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$… ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$$=\barepsilon _{1}\varepsilon _{2}\ldots \varepsilon _{n}}$ 및$$ 컨벤션 세트 ${\displaystyle \mathrm{set}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$= 1 ${\displaystyle \varepsilon _{0}!=1$ CCS가 설명되었던 동일한 Fock 공간에서 이제 확장에 의해 관련 변형되거나 비선형적인 일관성 상태를 정의한다.

${\displaystyle \alpha \rangele ={\mathcal{N}^(\vert \alpha \vert ^{2})^{-{\frac {1}{2}}\\sum _{n=0}^{n}}{\frac {\lpha ^}{\sqrt}!}}} n\rangele \,}$

정규화 요인 $N{\displaystyle \mathcal{}{}^{}\alpha }$ ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$) ${\displaystyle {\mathcal {N}(\vert \alpha \vert ^{2})$을 선택하여${\displaystyle }$α ${\displaystyle \alpha }$ α${\displaystyle \mathrm{\alpha }}$ = 1 ${\displaystyle \langle \alpha$ \$vert \alpha \rangle =1$이러한 일반화된 일관성 있는 상태는 Fock 공간에서 지나치게 완전하며 정체성의 해결을 만족시킨다.

${\displaystyle \int_{\mathcal{D}\vert \langle \langle \alpha \vert \{{\mathcal{N}(\vert \alpha \nu)=I\;,}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ being an open disc in the complex plane of radius ${\displaystyle L}$, the radius of convergence of the series ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {\varepsilon _{n}!$$}}}}}}($CCS의 경우 $L{\displaystyle }$=$∞{\displaystyle$ L$=\inflt }.)$The measure ${\displaystyle d\nu }$ is generically of the form ${\displaystyle d\theta \;d\lambda (r)}$ (for ${\displaystyle \alpha =re^{i\theta }}$), where ${\displaystyle d\lambda }$ is related to the ${\displaystyle \varepsilon _{n}!}$ through the moment condition.

Once again, we see that for an arbitrary vector ${\displaystyle \phi \rangle }$ in the Fock space, the function ${\displaystyle \Phi (\alpha )=\langle \phi \alpha \rangle }$ is of the form ${\displaystyle \Phi (\alpha )={\mathcal {N}}(\vert \alp$$havert ^{2}^{-{\frac {1}{1}{$2}}$f(\alpha$ $)\},$ 여기서 $f{\displaystyle }$ ${\$는 $도메인{\displaystyle \mathcal{}}$ D ${\$ {$D}$의 분석 함수 입니다$.$이러한 일관성 있는 상태와 연관된 재생성 커널은

${\displaystyle K({\overline {\alpha }},\alpha ')=\langle \alpha \alpha '\rangle =\left[{\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2}){\mathcal {N}}(\vert \alpha '\vert ^{2})\right]^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({\overline {\alpha }}\alpha ')^{n}}{\varepsilon _{n}!}}\;.}$

바루트-기라델로 일관성 있는 상태

CCS 사례와 유사하게 벡터 ${\displaystyle \alpha }$⟩ ${\displaystyle \alpha \rangele}$ 에 대한 동작으로$$ 일반화된 소멸 $연산자{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$을 정의할 수 있다$.$

${\displaystyle A \alpha \rangele =\alpha \alpha \rangele \;,}$

조정 $연산자{\displaystyle {}^{}}$ A$†{\$ A$^{\daugger$ $\}\}\}.$$Fock$에 대한 $이러한$ 행위는 ${\displaystyle 다음}$과 같이 명시되어 있다$.$

${\displaystyle A n\rangele ={\sqrton _{n}n-1\rangele \;,\qquad A^{\dager }n\rangele = {\sqrt {\n+1}n+1}n+1}\rangele \;.}$

${\displaystyle {twon}_{}}$ {\$displaystyle \varepsilon _{n}$의 정확한 수량에 따라 이 두 연산자는 ID $I{\displaystyle }${\$displaystyle I}$ 및 모든$$ 정류자와 함께 다양한 유형의 변형 양자 알헤브라를 포함하여 광범위한 알헤브라를 생성할 수 있다$.$이러한 일반화된 일관성 상태에 흔히 적용되는 '비선형'이라는 용어는 그러한 상태의 많은 집단이 방사선장과 원자 사이의 상호작용을 연구하는데 사용되는 양자 광학에서 다시 유래하며, 여기서 상호작용 자체의 강도는 방사선의 빈도에 따라 달라진다.물론 이러한 일관성 있는 상태는 일반적으로 CCS의 이론적 특성이나 최소 불확실성 특성(일반적인 특성이 더 있을 수 있음)을 가지지 않을 것이다.

$위$에 정의된 일반 유형의$$ 연산자 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 및 A ${\displaystyle {†}^{}}$ ${\$ }}은$($는) 래더 연산자라고도 한다.그러한 연산자가 리알헤브라의 표현 생성자로 나타날 때, $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 고유 벡터를 보통 Barut-Girardello 일관성 있는 상태라고 부른다$$.^[5]대표적인 예가 Fock 공간의 SU(1,1)의 Lie 대수표현에서 얻어진다.

가이소-클라우더 일관성 있는 상태

비선형 일관성 상태의 위 표현식의 비분석적 확장은 종종 순수 포인트 스펙트럼을 갖는 물리적 해밀턴인과 관련된 일반화된 일관성 상태를 정의하는데 사용된다.Geasau-Klauder의 일관성 있는 상태로 알려진 이러한 일관성 있는 상태는 작용 각도 변수에 의해 라벨이 표시된다.^[6]Suppose that we are given the physical Hamiltonian ${\displaystyle H=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n} n\rangle \langle n }$, with ${\displaystyle E_{0}=0}$, i.e., it has the energy eigenvalues ${\displaystyle E_{n}}$ and eigenvectors ${\displaystyle n\rangle$$}$, which we assume to form an orthonormal basis for the Hilbert space of states ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$. Let us write the eigenvalues as ${\displaystyle E_{n}=\omega \varepsilon _{n}}$ by introducing a sequence of dimensionless quantities ${\displaystyle \{\varepsilon _{n}\}}$ orderred as: = 0 < ${$ … {\$displaystyle$ 0$=\varepsilon _{0}<\varepsilon _{1}<\varepsilon _{2}<\ldots \;}$.그런 다음, $모든{\displaystyle }$ J${\displaystyle 0}$ 0$${\$displaystyle J\geq$ 0$}$ 및$$ ${\displaystyle \gamma \mathbb{}}$R ${\$에 대해 Gaesau-Klauder의 일관성 상태는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle J,\gamma \rangle ={\mathcal {N}}(J)^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {J^{n/2}e^{-i\varepsilon _{n}\gamma }}{\sqrt {\varepsilon _{n}!}}} n\rangele \;,}$

여기서 다시 $N{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) 정규화 요인이며$$, 이는 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$에만 종속된 것으로 확인된다.이 일관된 상태는 시간적 안정 조건을 만족시키지만

${\displaystyle e^{-iHt}\vert J,\gamma \rangele =\vert J,\gamma +\omega t\regle \;,}$

그리고 행동 정체성,

${\displaystyle \langle J,\gamma H J,\gamma \angle _{\mathfak{H}=\omega J\;}$

이러한 일반화된 일관성 있는 $상태$는 H ${\${\$mathfrak{$H$\}\}$에 설정된 과완성을 형성하지만, 정체성의 분해능은 일반적으로 위에서와 같은 일체적 관계에 의해서가 아니라, 보어의 의미에 있어서 거의 주기적인 함수의 이론에서 사용되고 있는 것과 같은 일체적 관계에 의해서 주어진다.

실제로 가소-클라우더 CS의 구성은 알리와 바가렐로가 보여주듯이 벡터 CS와 퇴화된 스펙트럼으로 해밀턴인들에게 확장될 수 있다.^[7]

열 커널 일관성 상태

콤팩트한 Lie 그룹 K의 그룹 다지관이 구성 공간인 입자를 고려할 때 또 다른 유형의 일관성 상태가 발생한다.홀은 유클리드 공간의 일반적인 가우스인이 K의 열 알맹이로 대체되는 일관성 있는 상태를 도입했다.^[8]일관성 있는 상태를 위한 매개변수 공간은 K의 "복잡화"이다. 예를 들어, K가 SU(n)인 경우 복합화는 SL(n,C)이다.이러한 일관성 있는 상태들은 복잡화 위에 세갈-바그만 공간을 이끌어내는 정체성의 결의가 있다.홀의 결과는 스텐젤에 의해 구를 포함한 대칭 공간을 압축하도록 확장되었다.^[9][10]$K{\displaystyle }$= S ${\displaystyle \mathrm{U}}$( $){\displaystyle$ K$=\mathrm {SU}(2)}$ 사례에서 열 커널 일관성 있는 상태는 티만과 그의 협력자들에 의한 양자 중력 이론에 적용되었다$.$^[11]공사에 관여하는 두 개의 서로 다른 Lie 그룹이 있지만, 열 커널의 일관성 상태는 Perelomov 타입이 아니다.

집단 이론적 접근법

길모어와 페렐로모프는 독립적으로 일관성 있는 상태의 구성이 때로는 집단 이론적 문제로 비칠 수도 있다는 것을 깨달았다.^{[12][13][14][15][16][17]}

이를 보기 위해 잠시 CCS의 사례로 돌아가자.There, indeed, the displacement operator ${\displaystyle D(\alpha )\;}$ is nothing but the representative in Fock space of an element of the Heisenberg group (also called the Weyl–Heisenberg group), whose Lie algebra is generated by ${\displaystyle X,\,P}$ and ${\displaystyle I}$. However, before going on withCCS, 먼저 일반 사건을 맡아

Let ${\displaystyle G}$ be a locally compact group and suppose that it has a continuous, irreducible representation ${\displaystyle U}$ on a Hilbert space ${\displaystyle {\mathfrak {H}}\,}$ by unitary operators ${\displaystyle U(g),\;g\in G}$. This representation is called square integrable if t여기에 0이 아닌 벡터 $displaystyle \psi \rangele }$이(가) H $displaystyle${\$mathfrak {H}\};}$에 있으며, 여기에$$ 통합 벡터 vector${\}$이(가) 있다.

${\displaystyle c(\psi )=\int _{G}\vert \langle \psi U(g)\psi \rangle \vert ^{2}\;d\mu(g)}$

수렴하다여기 G{G\displaystyle}에 μ{\displaystyle d\mu}은 왼쪽 고정 하르 측도.에(ψ)<>c 벡터 ψ ⟩{\displaystyle \psi \rangle};∞{\displaystyle c(\psi)<,\infty}도 허용될 수 있는 것으로 분석되었으며, 그런 벡터의 존재는 enti의 존재를 보장한다 보여 줄 수 있다는 d.re 드$H{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$에 있는 그러한 벡터 집합$.$ 더욱이 $그룹{\displaystyle }$G {\$displaystyle G}$이(가) 단변형이라면, 즉, 왼쪽과 오른쪽 불변성이 일치하는 경우, 하나의 허용 벡터가 존재한다는 것은 $H{\displaystyle \mathfrak{}}$ $displaystyle {H}\mathfrak}\};}$의 모든 벡터가 허용된다는 것을$$ 의미한다.정사각형 통합형 표현 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$ 및$$ 허용 가능한 벡터 ${\displaystyle \psi }$ψ ${\displaystyle \psi \rangele }$을(를) 지정하면 벡터를 정의해 봅시다$.$

${\displaystyle g\rangele ={\frac {1}{\\sqrt {c(\psi )}\;U(g) \psi \rangele,{\mbox{ all }g\in G.}$

이러한 벡터는 하이젠베르크 집단의 대표성 측면에서 거기에 쓰여진 표준 일치 상태의 유사점이다(그러나, 아래의 길모어-페렐로모프 CS에 관한 절 참조).다음으로, 정체성의 분해능이 증명될 수 있다.

${\dplaystyle \int _{G} g\angle \langle g \;d\mu(g)=I_{\mathfrak{H}}$

$H{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$에 holds$.$ 따라서 벡터 ${\displaystyle g}$⟩ ${\displaystyle g\angle$}은$($는) 일반화된 일관성 있는 상태를 구성한다$$.The functions ${\displaystyle F(g)=\langle g \phi \rangle }$ for all vectors ${\displaystyle \phi \rangle }$ in ${\displaystyle {\mathfrak {H}}\;}$ are square integrable with respect to the measure ${\displaystyle d\mu }$ and the set of such functions, which in fact are continuous in the topology of ${\displaystyle G}$, forms a closed subspace of ${\displaystyle L^{2}(G,d\mu )}$. Furthermore, the mapping ${\displaystyle \phi \mapsto F}$ is a linear isometry between ${\displaystyle {\mathfrak {H}}\;}$ and ${\displaystyle L^{2}(G,d\mu )}$ and u$이{\displaystyle }$ 경우 표현 U ${\displaystyle U$$}$이(가$)$ $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}G}$, ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mu }$) ${\displaystyle L^{2}(G,d\mu )}$의 $왼쪽{\displaystyle }$ 정규 표현에 매핑된다$$$.$

예: 웨이블렛

위의 구성의 대표적인 예가 G ${\displaystyle {\text{App}}_{}}$ ${\$ 라인의 부속 그룹에 의해 제공된다$.$이것은 타입의 모든 2${\displaystyle }$×$${\$displaystyle \time }$ 매트릭스의 그룹이다.

${\displaystyle g={\pmatrix}a&b\0&1\end{pmatrix}\,}$

${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle b}$ being real numbers with ${\displaystyle a\neq 0}$. We shall also write ${\displaystyle g=(b,a)}$, with the action on ${\displaystyle \mathbb {R} }$ given by ${\displaystyle (b,a)\cdot x=b+ax}$.$이{\displaystyle }$ 그룹은 d ${\displaystyle \mu (b}$, a ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 2{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{b}}^{}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ a ${\displaystyle d\mu(b,a)=a^{-2}\;db$$\;da}($우측 불변 $측정값$은 $a{\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$1 ${\displaystyle b}$ d d ${\displaystyle d}$ d a$μ$ a, a)로 주어지는 비변형이다.$$The affine group has a unitary irreducible representation on the Hilbert space ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,dx)}$. Vectors in ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,dx)}$ are measurable functions ${\displaystyle \varphi (x)}$ of the real variable ${\displaystyle x}$ and 이 표현의 (단일$$) $연산자{\displaystyle }$ U${\displaystyle }$(${\displaystyle b}$, ${\displaystyle a}$) ${\디스플레이$ 스타일 $U(b,a)}$는 다음과 같이 작용한다.

${\displaystyle (U(b,a)\varphi )(x)={\frac {1}{\sqrt {\vert a\vert }}}\;\varphi \left({\frac {x-b}{a}}\right)={\frac {1}{\sqrt {\vert a\vert }}}\;\varphi \left((b,a)^{-1}\cdot x\right)\;.}$

$\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$이(가) ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle (R\mathbb{}}$ , ${\displaystyle d}$x )$${\$displaystyle L$^{2$}(\mathb {R},dx)$의 함수인 경우$$, 해당 푸리에 $^{\$이(어드라이브) 조건을 충족한다$$.

${\displaystyle \int_{\mathb {R}{\frac {\vert {\widehat {\psi }\}\{2}}: {\vert k\}\;dk<\inflt \,}$

허용 가능한 벡터(즉,

${\displaystyle c(\psi )=\int _{G_{\text{Aff}}\vert \langle \psi \langle \revert ^{2}\\\frac {db\;da}{a^}}}}}}<.}}$

따라서 위에서 설명한 일반적인 구조에 따라 벡터

${\displaystyle b,a\rangele ={\frac {1}{\\sqrt {c(\psi )}\;U(b,a)\;\qquad(b,a)\in G_{\text{Aff}}}}}$

일반화된 논리 정연한 상태의 가문을 정의하고 그 정체성의 해결책이 있다.

${\displaystyle \int_{G_{\text{Aff}}b,a\angle \langle b,a \;{\frac {db\;da}{a^{2}}=I}$

$L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( R${\displaystyle }$, ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$ L$^{2}(\mathb {R} ,dx$ 신호 분석 문헌에서 위의 수용성 조건을 만족하는 벡터를 모파(mother wavelet)라고 하고 일반화된 일치 상태 ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaysty b,a\angle }$이라고 한다.그런 다음 L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}R\mathbb{}}$, ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x}$)$${\$displaystyle$ $\varphi \rangele$ $}$의 벡터 $φ(\mathb {R} ,dx)$와 함수로 신호를 식별한다.

${\displaystyle F(b,a)=\langle b, a \varphi \angle \;,}$

$신호$의 연속 파장 변환이라고 한다. { ${\displaystyle \varphi$ $\}.$

이 개념은 두 가지 차원으로 확장될 수 있는데, $그룹{\displaystyle {}_{}}$ G ${\displaystyle {\text{Apps}}_{}}$ $displaystyle G_{\text{Aff}\;}$는 평면 번역, 회전 및 전역 확장으로 구성되는 소위 평면의 유사도 그룹으로 대체된다$$.결과적인 2D 웨이블렛과 그것들의 일부 일반화는 이미지 처리에 널리 사용된다.^[20]

길모어-페렐로모프 일관성 있는 상태

위에서 설명한 집단표현을 이용한 일관성 있는 상태의 구축은 충분하지 않다.이미 CCS는 CCS를 산출할 수 없다. CCS는 하이젠베르크 그룹의 요소에 의해 지수화되지 않고 오히려 하이젠베르크 그룹의 중심에 의해 지수화되기 때문이다. 그 지수는 정확히 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}이다$.$하이젠베르크 그룹의 중심은 진공 ${\displaystyle 벡터\mathrm{}}$ 0 $⟩[\displaystyle 0\rangele }$불변성을$$ 한 단계 위상까지 남기는 것이 핵심 관측이다.이 아이디어를 일반화하면서 길모어와 페렐로모프는 힐베르트 공간 H ${\$에서 국소적으로 컴팩트한 $그룹{\displaystyle }$ G$${\$displaystyle$G}과(와$)$의 단일적 표현 U ${\displaystyle U}$을(와) 고려하며^[13][14][15], 반드시 제곱합성이 가능한 것은 아니다.단위$$$규범$인${\displaystyle H}$$${\$displaystyle {\$$displaystyle$ ${\psi$$\rangele}$ 벡터를$$ 수정하고$,$ H {\$displaystyle$ $H$$}$에 따라$$ 모든 요소 h ${\displaystyle$ h$}$로 구성된$$ $부분군{\displaystyle }$(즉$$, 위상까지 불변함)을 표시한다.

${\displaystyle U(h)\mid \psi \rangele =e^{i\omega(h)}\mid \psi \rangele \...}$

where ${\displaystyle \omega }$ is a real-valued function of ${\displaystyle h}$. Let ${\displaystyle X=G/H}$ be the left coset space and ${\displaystyle x}$ an arbitrary element in ${\displaystyle X}$. Choosing a coset representative ${\displaystyle g(x)\in G}$, for each coset $$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$ x$\},$ 벡터를 정의함

${\displaystyle x\rangele =U(g(x)) \psi \rangele \in {\mathfak {H}.}$

이러한 벡터가 코셋 대표 $g{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle g(x)}$의 특정 선택에 의존하는 것은 한 단계를 통해서만 가능하다$$.Indeed, if instead of ${\displaystyle g(x)}$, we took a different representative ${\displaystyle g(x)'\in G}$ for the same coset ${\displaystyle x}$, then since ${\displaystyle g(x)'=g(x)h}$ for some ${\displaystyle h\in H}$, we would have ${\displaystyle U(g(x{)}^{\prime })}$${\displaystyle U(g(x)') \psi \rangle =e^{i\omega (h)} x\rangle }$. Hence, quantum mechanically, both ${\displaystyle x\rangle }$ and ${\displaystyle U(g(x)') \psi \rangle }$ represent the same physical state and in particular, the projection operator ${\displaystyle x⟩⟨}$${\displaystyle x}$ $displaystyle x\angle \langle$x$}$은(는) 코셋에만 의존한다$$.이러한 방식으로 정의된$$ 벡터 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle x\rangele }$을(를) 길모어-페렐로모프 일관성 있는 상태라고 한다.$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$은(는) 복구할 수 없는 것으로 가정하므로$$, $G{\displaystyle /H}$ ${\displaystyle G/H}$을(를) 통해 실행되는$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$G/H$}$로 구성된 이 벡터 집합은 $H{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\\$에 밀도가 있다$$$.$ 일반화된 일관성 상태의 정의에서 ID의 분해능은 가정되지 않는다.단, $X{\displaystyle }${\$displaystyle X}$이(가) G$${\$displaystyle$G$\}$의 자연 작용에 따라 불변 측정값을 수행하는$$ 경우 및 공식 연산자 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) 다음과 같이 정의되는$$ 경우

${\displaystyle B=\int _{X} x\angle \langle x \;d\mu(x)\;,}$

경계되고, 그러면 그것은 반드시 정체성의 배수가 되고, 그 정체성의 분해능이 다시 검색된다.

길모어-페렐로모프 일관성 있는 상태는 양자 집단으로 일반화되었지만, 이를 위해 우리는 문헌을 참조한다.^{[21][22][23][24][25][26]}

추가 일반화:코제트 공간의 일관된 상태

페렐로모프 구조는 지역적으로 콤팩트한 그룹의 일관된 상태를 정의하는 데 사용될 수 있다.한편, 특히 길모어-페렐로모프 건설의 실패의 경우, 집단의 균일한 공간에 대한 정사각형 통합성의 개념을 일반화하는 집단 표현을 사용하여 일반화된 일관성 상태의 다른 구성들이 존재한다.^[2][3]

간단히 말해서, 이 접근법에서는 단일 $표시법{\displaystyle }$ U ${\displaystyle U}$에서 시작하여$$ 벡터 ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi \rangele$ 하위 그룹 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{섹션<img\; alt="H"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:2.064ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="445">}}$ $\sigma {\displaystyle }$: ${\displaystyle G/H}$→ G ${\displaystyle \sigma :G/H\to G}$을 찾으려고 시도한다.

$\dplaystyle \int _{G/H} x\angle \langle x \;d\mu (x)=T\;,}$

where ${\displaystyle x\rangle =U(\sigma (x)) \psi \rangle }$, ${\displaystyle T\;}$ is a bounded, positive operator with bounded inverse and ${\displaystyle d\mu }$ is a quasi-invariant measure on ${\displaystyle X=G/H}$. It is not assumed that ${\displaystyle$$\psi \rangele }$은(는) $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 작용에 따라 한 단계까지 불변하며$$,$$가장 좋은 $상황$은 T {\$displaystyle$ T}이($)$ ID의 배수일$$ 때입니다.다소 기술적이긴 하지만, ${\displaystyle 이}$ 일반적인 구조는 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ K ${\displaystyle \mathb {R} ^{n}\rtimes K}$ 타입의 반직접 제품 그룹에 대해 엄청난 다용성을 가지고 있다$.$ $여기$서 K ${\\displaystyle K}$은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$(${\displaystyle n\mathbb{}}$, R${\displaystyle }$) ${\displaystylease GL(n,\mathb$ {$R}$의 닫힌 하위 그룹이다$.$따라서 초기 정의의 의미에서 사각형 통합형 표현을 가지고 있지 않은 푸앵카레 그룹이나 유클리드 그룹과 같이 물리적으로 중요한 많은 그룹에게 유용하다.특히 연산자 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$을(를) 정의하는 적분 조건은 $H{\displaystyle \mathfrak{}}$ $displaystyle {\mathfrak {H}\$$displaystyle \rangele$}의$$ 벡터 ϕ${\displaystyle }$${\displaystyle \varphi }$$${\$displaysty x\rangele }$을(를)로 작성할$$ 수 있음을$$ 보장한다.

${\displaystyle \phi \rangle =\int _{X}\psi (x) x\rangele \;;\qquad \psi (x)=\langle x T^{-1}\phi \rangle \;,}$

어떤 종류의 일관성 있는 국가의 주된 목표다.

일관성 있는 상태: 측정값 집합의 정량화를 위한 베이시안 구조

우리는 이제 표준 상황에서 출발하여 표준 CS의 고조파 발진기 해밀턴이 그랬던 것처럼, 일부 자기 적응 연산자의 고유성의 초상으로서 이들 물체의 구조에 관한 몇 가지 관찰에서 출발하여 일관성 있는 상태의 일반적인 구성 방법을 제시한다.이 중첩이 확률론적 풍미를 갖는 것이 양자역학의 본질이다.사실, 우리는 표준 일관성 상태의 확률론적 구조는 그 구성의 기초가 되는 두 가지 확률 분포를 수반한다는 점에 주목한다.포아송 분포는, 일종의 이중성으로, 양자 시스템이 일관성 있는 상태 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle$ z$\rangele}$에 있을 $때{\displaystyle }$ n$${\$displaystyle$z$$\\rangele} 및$$복잡한 파라미터의$$ 집합 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\\$에 감마 분포가 있을 확률을 지배하며, 보다 정확하게 표시된다.e $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$+ ${\$ 방사형 변수의 제곱$$.일반화는 그 이중성 계획을 따른다.Let ${\displaystyle X}$ be a set of parameters equipped with a measure ${\displaystyle \mu }$ and its associated Hilbert space ${\displaystyle L^{2}(X,d\mu )}$ of complex-valued functions, square integrable with respect to ${\displaystyle \mu }$. Let us choose in ${\displ$$aystyle L^{2}(X,d\mu )}$ 유한하거나$$ 카운트 가능한 정형외과적 $집합{\displaystyle \mathcal{}}$ O${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle {\varphi n}_{},{}_{}}$ ${\displaystyle n}$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1,\dots \}}$ ${\displaystyle {\\mathcal{O}=\\\\\\\n=0,1,\dots$ :

${\displaystyle \langle \phi _{m}\phi _{n}\angle =\int_{X}{\overline {\phi _{m}(x)}\,d\mu(x)=\delta _{mn}\}\,}$

무한 카운트 가능성의 경우, 이 집합은 (기준) 정밀도 조건을 준수해야 한다.

${\displaystyle 0<{\mathcal{N}(x):=\sum _{n}\vert \phi _{n}(x)\vert ^{2}<\infully \,\matrix \mathrm {a.e.} \,}$

Let ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ be a separable complex Hilbert space with orthonormal basis ${\displaystyle \{ e_{n}\rangle \,,\,n=0,1,\dots \}}$ in one-to-one correspondence with the elements of ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$. The two conditions above imply that the fam정상화된 일관성 상태 ${\displaystyle {FH}_{\mathfrak{}}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$display , x $style$ X${\displaystyle }$$} {\$$displaystyle {F}_{\$$mathfrak$${H}=\x\rangele\\,$$x\$$in X\}$에 의해 정의되며, 이 상태는 다음과 $같이{\displaystyle \mathfrak{}}$ 정의된다$.$

${\displaystyle x\rangele ={\frac {1}{\sqrt {{\mathcal{N}(x)}}\sum _{n}{n}{\phi _{n}}}}\, e_{n}\rangle#}}$

$H{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$에서 ID를 해결하십시오$.$

${\displaystyle \int_{X}d\mu(x)\,{\mathcal{N}(x)\, x\angle \langle x =I_{\mathfrak{H}\,.}$

그러한 관계를 통해 $우리$는 H ${\$에서 다음 연산자가 적절한 조건을 만족하는$$ $함수{\displaystyle }$ X${\displaystyle x}$ x${\displaystyle f}$ f${\displaystyle (x}$ $){\displaystyle$X\$ni$ x$\mapsto$ f$(x)}$에 연결함으로써$$ $변수{\displaystyle }$X {\\$displaystystyle X}$ 집합의 일관성 있는 상태 또는 프레임 정량화를 구현할 수 있다.$$

${\displaystyle f(x)\mapsto A_{f}:=\int_{X}\mu(dx)\,{\mathcal{N}(x)\,f(x)\, x\angle \langle x \,.}$

연산자 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}${\$displaystyle A_{f}$는${\displaystyle }$f ${\displaystyle (x}$ )$${\$displaystyle f(x)}$이(가) 실제 값이고 $f{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$이(가) 실제 값이고 반경계인 경우 (이차 형태로서) 자기 적응이다.The original ${\displaystyle f(x)}$ is an upper symbol, usually non-unique, for the operator ${\displaystyle A_{f}}$. It will be called a classical observable with respect to the family ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathfrak {H}}}$ if the so-called lower symbol of ${\displaystyle A$$_{f$ 로 정의됨

${\displaystyle {\check{f}(x):=\langle x_{f} x\rangle =\int _{X}\mu(dx')\,{\mathcal {{N}(x')\,f(x')\\\langle x'\angle \vert ^{2}\,\,\langle x'\langle \c,}$

원래 세트 $X{\displaystyle }${\$displaystyle X}$에 부여된 추가 위상학적 특성에 따라 정밀하게 만들어야 하는 경미한 기능적 특성을 가지고 있다$.$ 양자 상태의 공간구성의 마지막 부분은 통계적 측면에 관한 것이다.두 가지 확률 분포 사이에는 실제로 상호 작용이 있다.

(i) 거의 각 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x$에 대해 이산형 분포,

${\displaystyle n\mapsto {\frac {\vert \phi _{n}(x)\vert ^{{{\mathcal{N}}}}}$

이 확률은 특정 자가 적응 연산자 A ${\displaystyle A$ 즉 $양자{\displaystyle \mathfrak{}}$ 관측 가능으로 H ${\$에서 작동하고$$ 이산 스펙트럼 분해능을 갖는 어떤 실험 프로토콜 내에서 시스템에 수행되는 실험에 관한 것으로 간주할 수 있다.ution $A{\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{}{n}_{}}$ a n ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ e ${\displaystyle e_{}}$ e $displaystyle$ A$=\sum _{n} e_{n$} e_{n$}\랑글 \langle e_{n}}}$$}.$

(ii) 각$$$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 대해 $({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \mu }$) ${\displaystyle (X,\mu$ $)\},$

$\vert \phi _{n}(x)\vert ^{2}\,}$

여기서 우리는 논리 정연한 상태의 전형적인 베이지안 이중성을 관찰한다.두 가지 해석이 있는데, 일관성 있는 상태 $display$ {\$displaystyle$ x$\rangele}$이(가) 검증한 통합의 분해능은 이산형 분포의 매개변수 집합인 집합 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$\}$에 대해 선호되는 사전 조치를 도입하며$$, 이 분포 자체가 우도함수의 역할을 한다.연관 이산형 인덱스된 연속 분포는 관련 조건부 후방 분포가 된다.따라서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$과(와) 관련된 실험 관찰에 대한 확률론적 접근방식은$$${\displaystyle {\varphi n}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}x}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \phi _{n(x)}$s의 집합을 선택하는 지침이 되어야 한다$$.$우리$는 연속적인 사전 분포가 정량화와 관련이 있는 반면 이산 후분포는 ${\displaystyle {양자}_{}}$ $상태$의 ${\displaystyle 일관}$된 중첩이 $구축$된 물리적 스펙트럼의 측정을 특징짓는다는 점에 주목한다$.$^[1]

참고 항목

• 일관성 있는 상태
• 리브 추측
• 수량화

참조